深化问题研究 优化思维品质

张振兴

摘  要：把一个正方形通过分割拼接成为一个矩形，很多情况下它们的面积看似相等但并不相等. 研究发现，改进分割拼接方案后可以使两者的面积更接近，甚至相等，这与“黄金分割”密切相关，据此能找到不同整数范围内理想的分割方案. 对此类问题的研究，能有效培养学生良好的数学思维品质.

关键词：面积问题;黄金分割;数学思维

一、问题呈现

日本当代著名数学教育家远山启在《数学与生活》一书中指出，面积的测量基于一个潜在的原理，即把图形分割、排列后其面积不变. 这个观点其实就是我国魏晋时期的著名数学家刘徽（约225年—约295年）提出的“出入相补”原理. 远山启在书中用了下面的例子加以说明.

例  把边长为8 cm的正方形按照如图1所示的实线进行分割，然后拼接成如图2所示的矩形，则正方形的面积与矩形的面积看起来好像相等，但事实却并非如此.

[S正方形=82=64 cm2， S矩形=5×5+8=5×13=65 cm2，]

[S矩形-S正方形=1 cm2.] 可见，它们的面积并不相等，拼接后的矩形面积比原来的正方形面积增加了1 cm2，但是增加的面积仅占矩形面积的[165，] 肉眼很難发现.

究其原因，是图2中矩形的对角线并非拼接线，拼接后的真正图形如图3所示，对角线变成了一个四边形（阴影部分）.

二、问题探讨

1. 中间的四边形是什么形状？

由图1中的分割方案可知，两个直角三角形全等，两个直角梯形全等，则它们的对应边相等. 所以可知中间四边形的两组对边分别相等，所以这个四边形是平行四边形.

2. 为什么中间可以出现四边形？

四边形的邻边必定不在同一条直线上，在图2所示的矩形对角线附近，直角三角形的斜边AB与直角梯形的腰BC不共线，就会得到如图3所示的中间的四边形. 究其原因，根源在于图1中的两个锐角不相等，理由如下.

在图1中，[∠α]所在的直角三角形中（作如图1虚线所示的垂线段），[∠α]的对边长为5 cm，邻边长为2 cm，故[tan α=52;] [∠β]所在的直角三角形中，[∠β]的对边长为8 cm，邻边长为3 cm，故[tan β=83≠52.] 所以[∠α≠∠β.]

此时，由“两直线平行，同旁内角互补”可知，直角梯形中[∠α+∠CBD=180°，] 则[∠β+∠CBD≠180°.] 所以图3中的AB与BC不共线，它们只能成为多边形的两边. 同理可知，还有另外两边，所以存在阴影部分的四边形.

3. 中间的四边形能更加不易察觉吗？

我们改变图1中的数据，把边长为13 cm的正方形按照如图4所示的方法进行分割，然后拼接成如图5所示的矩形.

则有[S正方形=132=169 cm2，S矩形=8×8+13=168 cm2，]

所以，[S矩形-S正方形=168-169=-1 cm2.] 结果出现了负数，说明矩形面积比正方形的面积减少了1 cm2，而减少的面积仅占矩形面积的[1168，] 单凭直觉更加难以发现. 此时，中间的四边形不是空缺部分，而是重叠部分，其形状仍为平行四边形.

4. 中间的四边形可能不存在吗？

不失一般性，用图6表示边长为a + b的正方形分割方案[b>a>0，] 要想将其既无空隙，又不重叠地拼接成如图7所示的矩形，则需要[∠α=∠β.]

由图6可知，[tan α=bb-a，tan β=a+ba.] 当[∠α=∠β]时，[tan α=tan β，] 即[bb-a=a+ba.] 则[ab=a+bb-a，] 即[ab=b2-a2.] 整理，得[a2+ab-b2=0.] 将其视为关于[a]的一元二次方程，解得[a=±5-12b.] 还可以着眼于两个图形面积相等列方程，则有[a+b2=ba+2b，] 进一步整理得到. 因为a，b均为正数，所以[a=5-12b.] 因此，当a与b的比值为黄金分割比时，把边长为a + b的正方形按图6所示方法分割后，能镶嵌成如图7所示的矩形.

5. 图中有哪些线段的黄金分割点？

在图6中，[AE=a，AD=b.] 由[ab=5-12]可知，点E是线段AD的黄金分割点.

我们更关心的是分割线的位置，在图6中，点A把正方形的一边分成长度分别为a，b的两条线段，因为[a=][5-12b，] 所以正方形边长为[a+b=5-12b+b=5+12b.]

则[ba+b=b5+12b=5-12.] 可见，点A是正方形一边的黄金分割点. 同理，点B，C也是正方形对应边的黄金分割点;点D是分割线段AB的黄金分割点.

同时，以上推导也表明：当线段上一点把这条线段分成的两部分之比为[5-12]时，该分割点是这条线段的黄金分割点. 因此，由[ba+b=5-12]可知，图7中的点M，N分别是矩形两条对边的黄金分割点. 进一步，由平行线分线段成比例定理可知，点P，Q是矩形对角线的黄金分割点.

6. 怎样找到不同整数范围内的理想分割方案？

理想的分割方案中，拼接出的矩形内部空缺或重叠的面积，与矩形面积之比越小越好. 由以上研究可知，a与b的比值越接近黄金分割比[5-12，] 方案就越好. 特别地，如果a与b均为整数，那么正方形的边长a + b在不同范围内，理想的分割方案就是[ab]的值比较接近[5-12]的情况.

因为[ab=5-12≈0.618，] 所以若正方形的边长在10以内，由[5-12≈0.618，] 考虑到[ab=610=0.6，] 分子、分母同时除以公约数2，使a + b在10以内，则当[a=3，b=5]时，[ab=35=0.6]与[5-12]比较接近，故有理想方案：对于边长为8的正方形按照[a=3，b=5]进行分割拼接.

若正方形的边长在100以内，由[5-12≈0.618，] 考虑到[ab=62100=0.62，] 分子、分母同时除以公约数2，使a + b在100以内，则当[a=31，b=50]时，[ab=3150=]0.62与[5-12]比较接近，故有理想方案：对于边长为81的正方形按照[a=31，b=50]进行分割拼接.

若正方形的边长在1 000以内，由[5-12≈0.618，] 考虑到[ab=6181 000=0.618，] 分子、分母同时除以公约数2，使a + b在1 000以内，则当[a=309，b=500]时，[ab=309500=]0.618与[5-12]比较接近，故有理想方案：对于边长为809的正方形按照[a=309，b=500]进行分割拼接.

依此类推，就能得到正方形的边长a + b在不同整数范围内的理想分割方案. 当然，如果能够像圆周率的密率与疏率一样，找到在指定范围内最理想的分割方案，也是我们要积极探索的.

三、思维剖析

这里，我们仅从数学思维品质的角度进行反思. 数学思维品质包括思维的宽度（深刻性和广阔性）、思维的速度（敏捷性和灵活性）、思维的力度（批判性和独创性）三个方面.

在对问题的探索过程中，进行不仅限于表面问题的研究，从图形分割与拼接的变化中抓住问题的本质特征深入挖掘. 例如，图1与图2中两个图形面积是否相等的本质是AB与BC是否共线，而AB与BC是否共线的本质是[∠α]与[∠β]是否相等，逐步抽丝剥茧，找到根源所在. 在数据分析的基础上，从整数范围到实数范围，从具体数值到用字母表示数，通过观察、计算和推理，得到确定正方形边长在不同整数范围内理想分割方案的普适方法，这些体现的都是思维的深刻性.

我们构造不同的正方形分割方案，从矩形对角线四周空缺、重叠、密铺三个视角展开研究问题，使思维不仅局限于解决原题，而且达到更高程度的发散. 判断线段的黄金分割点时，有的根据黄金分割的意义，通过计算被分得的较长部分与整条线段的比值直接判断;有的根据研究过程中得出的结论，通过计算被分成的两部分线段的比值间接判断. 这种多方面、多角度思考问题的方式，有利于培养学生思维的广阔性.

思维敏捷性的特点是直接而快速. 例如，得到关于[a]的一元二次方程[a2+ab-b2=0，] 相对于承接前面的思路利用[tan α=tan β]得到该方程而言，根据分割拼接前后的正方形和矩形面积相等得到这个方程，直接指向并利用了“等积变形”的解题目的，列出方程的过程更显轻松方便，直击目标，因而突出了思维的敏捷性.

培养思维的灵活性，常利用“一题多解”“一题多变”等方法. 把一个常见的经典图形作为起点，对中间的四边形的形状、出现的原因、直观发现的难易程度、存在性（最小值）与黄金分割的关系及理想的方案等问题的变式探究，使得每个问题的解决方法之间既有联系也有不同，需要对解题思路进行重组、迁移，跳出思维定势的负面干扰.

对于“权威”已经确认的结论，是仅仅铭记在心，还是试图改进优化？遇到问题，能否独立思考？有无自己的见解？是否敢于质疑、深究原因？无不反映了思维的批判性. 研究正方形分割拼接矩形的问题，如果因其图形“经典”，只想“拿来主义”，就不会产生更好的方案，不能发现面积不相等的根源，也不会想到会有面积相等的可能性，更不能得出具有普遍意义的理想分割方案.

思维的独创性是思维的高级状态，最重要的指标是新颖程度. 通过对这类图形拼接问题的研究，我们发现了黄金分割竟然与之密切相关，它既是保证图形实现真正意义上等积变形的“定海神针”，又是找到正方形边长在不同范围内理想分割方案的“金钥匙”. 这样得到的研究结果，往往让人始料未及，能带来意外之喜，也令人对数学知识的广泛联系和数学中的图形与数字之美赞叹不已.

四、教学建议

数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学. 在数学教学中，应加强思维训练，對数学问题的研究不要过分追求数量的多少，更要着眼于思维含量的高低.

1. 在预设与反思中注重对学生数学思维品质的培养

教师要从数学思维品质的不同角度寻找理论依据，解读教材文本、研究数学知识、分析数学问题，深入挖掘其中承载的思维训练价值，在教学目标的确定、教学内容的甄别、教学方法的选择、教学过程的设计、教学效果的评价等各个方面，都要把数学思维作为一项重要内容纳入其中，提前谋划，做到心中有数. 在课后反思或研讨中，对照培养数学思维品质的预设达成情况，总结成功的经验，探讨其背后的理论依据;梳理存在的问题与教训，研究改进的方法.

2. 在课堂教学中采取多种方式优化学生的数学思维品质

在数学课堂教学的实践过程中，要以学生为主体，以知识为载体，强化数学问题和数学活动中基本思维方式的培养力度，组织和引导学生进行发散思维与收敛思维、正向思维与逆向思维、直觉思维与逻辑思维、归纳思维与演绎思维、联想思维与类比思维、再现思维与创造思维的训练，培养学生良好的思维品质，有效发挥数学育人的功能.

3. 数学思维品质与思想方法共同发力提高教学效率

很多教师通过对《义务教育数学课程标准（2011年版）》和中学数学学科核心素养的理论学习及教学实践，已经认识到了数学思想方法的重要意义，此处不再赘述. 数学思维有不同层次的模式，其中，数学方法是数学思维的操作模式，数学思维的最初级模式是法则、方法和公式的直接应用. 例如，依据有理数的运算法则、待定系数法的一般步骤、“左加右减、上加下减”的抛物线平移规律解答代数问题，利用截长法、补短法、倍长中线法进行有关线段的证明，这种思维操作模式有利于学生熟悉数学知识，形成数学技能，掌握基本的数学方法. 相对而言，数学思想属于更高层次的数学思维模式，它是数学思维的动态模式，表现为辩证性、运动性、总体性的思维形式，沟通了数学知识之间、数学知识和实践之间的内在联系. 数学抽象、逻辑推理、数学建模三大数学思想的形成过程，无一不是数学思维发生、发展的动态过程. 在具体的教学中数学思想与数学思维相辅相成、融为一体，共同为实现“高立意”的数学教学贡献力量. 例如，求同为依据的类化思维、一一对应的配对思维、运动为特点的函数思维、把握不变性的整体思维、建构可实现的构造思维等重要的数学思维，分别与分类思想、对应思想、函数思想、整体思想、转化思想等重要的数学思想相互契合. 由它们支撑形成的数学教学，不仅是为了完成数学知识技能的传授，而是更关注学生的思维发展，着眼于学生的终身学习、综合素养和长远利益. 在达成教学目标、实现数学育人的道路上，重视数学思想方法、优化数学思维品质的“双思”型课堂，应该成为初中数学课堂教学努力的方向.

参考文献：

[1]远山启. 数学与生活[M]. 吕砚山，李诵雪，译. 北京：人民邮电出版社，2010.

[2]周春荔. 数学思维概论[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.