解答数列求和问题的三个妙招

骆国峰

数列求和问题是数学高考试卷中必考的问题，也是同学们必须熟练掌握的题目.一般地，数列求和问题中给出的通项公式都较为复杂，涉及的数列都是非常规的等差、等比、常数数列，因此在求数列的和时，我们需将通项公式或者和式变形，运用倒序相加、错位相减、裂项相消等技巧，将问题转化为常规的等比、等差、常数数列的求和问题或简单的运算问题，这样才能顺利求得数列的和.

一、倒序相加

有些数列的首尾两端等距离的两项之和等于首尾两项之和，即a1 +an=a2+an-2=a3 +an-3…=an-m+am此时可采用倒序相加的技巧来解题，分别列出数列的正序和Sn=a1+a2+…+an与倒序和Sn=an+an-1+…+a1，然后将两式相加，使得2Sn=（a1+an）+（a2+an-2）+…+（an-1+a1）=n（an-1+a1），只要求得a1+an的值，便可求出数列的和Sn.

例1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=l，S4 =4S2，若am+am+l+am+2+…+am=9=180 （m∈N'），求m的值.

解：设数列{an}公差为d，由s4=4S2可得4a1+6d= 8a1+4d，即d=2a1.

①

②

将①+②可得，

{an}为等差数列，

解答本题运用了倒序相加的技巧，根据等差数列的性质得到首尾等距离的两项之间的关系am+am+9=am+1+am+8=…=am=9+am，从而建立了新的关系式，求得m的值.

二、错位相減

错位相减的技巧常用于解答an=bncn，其巾{bn}为等差数列，{cn}为等比数列的求和问题.在解题时，我们需要在和式的左右同乘以等比数列的公比，然后错开一位，将两式作差，再利用等比数列的求和公式求得{an}的通项公式.若等比数列的公比为参数，需分公比为0和不为O两种情况进行讨论.

例2.已知数列{an}满足a1+ 2a2+3a3+…+nan

若数列{bn}满足bn=

，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：

①

②

将①一②可得，

解答本题两次运用了错位相减的技巧，首先运用错位相减的技巧求得an的通项公式，然后再次利用错位相减的技巧求得数列{bn}的前n项和Sn.

三、裂项相消

一般而言，裂项相消的技巧常用于解答含有分式或者对数的数列问题.首先，需将数列的通项公式裂为两项之差的形式，然后进行求和.这样在求和时，中间的部分项会被抵消，通过化简就可求得数列的和.

例3.已知an=（一2）n，若数列{bn}中bn=

之差的形式，然后进行求和，便能快速求得结果.

运用倒序相加、错位相减、裂项相消三种技巧都能解答数列求和问题.但是三种技巧适用的问题并不相同，同学们要注意总结归纳，这样在解题时才能快速找到正确的解题方法和思路.

（作者单位：江苏省大港中学）