构造法在高中数学解题中的应用

蔡飞

构造法是高中数学常用的解题方法之一，是指根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学模型，使问题获解的一种方法.运用构造法解题能有效降低学生理解问题的难度，提高解题的效率.运用此方法解题的关键是：（l）要有明确的方向，即为达到什么目的而构造;（2）要弄清条件的本质、特点，以便重新进行组合、构造.在解题时，学生可根据题意构造合适的函数式、图形、数列、方程、不等式等模型.

例1.设x，y为实数，且

有解，则x+y=（ ）.

解析：很多学生对三次方程并不了解，采用常规的方法解题较为困难，并且耗时较长.仔细观察两个方程，会发现这两个方程的结构相似，可尝试运用构造法解答，即构造函数f（t） =t3+ 1997t，分析f（t）=1和f（t）=-1时t的取值即可求得x +y的值.

解：设f（t）= t3+ 1997t，

f（-t）= （-t）3+ 1997（-t）= -（t3+ 1997t）=-f（t），

则f（t）为奇函数，

又f（x - 1）=1，所以f（l-x）=-1，

而f（y - l）=-l，所以f（l -x） =f（y -1）.

所以x-1=l-y，故x+y=2.

例2.奇函数f（x）定义在R上，且它的导函数为f'（x），当x<0时，f（x）符合2f（x）+xf'（x）

解析：由2f（x）+xf'（x）= X2f（x）可想到构造函数g（x）= X2f（X），然后根据导数的性质判断其单调性，再根据奇函数的性质便可获得最终的结果.

解：设g（x） =X2f（X）

数列{an+1）是公比为2，首项为2的等比数列，

由等比数列的通项公式，可得（an+l= 2.2n-l=2n，

（an=2n-1.

例4.若o≤x≤4，求

的最小值.

解析：该式中含有两个根式，我们采用常规方法很难得解，需要另辟蹊径，深入挖掘两个根式的几何意义：由两定点之间的距离，构造出相应的几何图形，采用构造法解题.

解：如图所示，设AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，令AC=1，BD=2，P是AB中任意一点，设AP=x，则PC=

，PD=

，此时上述问题转变为当P在何处时，PC+PD取最小值.

作C点关于AB的对称点C'，连接C'D与AB相交于点P，此时△PAC’与△PBD是相似三角形，则

，解得x=

，此时PC+ PD=5，所以

的最小值为5.

由此可见，運用构造法解题不仅可以拓宽解题的思路，还能提升解题的效率.在运用构造法解题时，需要将已知条件与所求目标关联起来，积极展开联想，灵活运用发散思维，方能寻找到合理的数学模型.

（作者单位：江苏省镇江市扬中市第二高级中学）