“三招”破解一类数列求和问题

林世锦 冯帆

数列求和问题常以壓轴题的形式出现在各类试卷中，此类问题一般较为复杂，且难度系数较大.当遇到递推式中含有（-1）n的数列求和问题时，很多同学在解题时常常找不到正确的解题思路.本文结合实例来探讨一下解答此类数列求和问题的方法.

例题：数列{an}满足an+1+（-1）nan=2n-1，则{an}的前60项和为________.

题目只给出了数列的递推公式，却没有给出数列的首项，只能根据递推公式得到两项之间的关系式，解题的难度较大.通过研究，笔者得到如下三种求解方法.

一、直接法

直接法是解答数学问题的常用方法，是指根据题意，直接运用相关的定理、公式、定义来进行推理、运算，进而得到问题答案的方法.对于本题，我们可以由数列的递推公式得到数列的前几项，再由其和猜想数列的前60项和的规律.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a3+a2=3，a5+a4=7，a7+a6=11，a61+a60=119.

由an+1+（-1）nan=2n-1①，

得an+2+（-1）n+1an+1=2n+1②，

由①②两式可得an+2+an=2n+1+（-1）n（2n-1），

则an+4+an+2=2（n+2）+1+（-1）n+2（2n+3）③，

联立②③式可得an+4-an=4+4（-1）n，

因此当n为奇数时，an+4=an，则a61=a1，

当n为偶数时，an+4-an=8.

所以a3+a2+a5+a4+a7+a6+…+a61+a60=a1+a2+a3+…+a60=1830.

我们从已知递推公式出发，通过消元得到②③式，进而发现数列各项之间的规律：当n为奇数时an+4=an;当n为偶数时an+4-an=8，求得数列前几项的和，便可求得数列的前60项的和.

二、转化法

转化法是指通过等价转化将复杂、难度较大的问题转化为简单、易于求解的问题的方法.在解答复杂的数学求和问题时，我们可以通过发现规律或借助数列的性质将问题转化为简单的，易于求解的问题.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1，可得a2=1+a1，a3=2-a1，a4=7-a1，a5=a1，a6=9+a1，a7=2-a1，a8=15-a1，…，

所以a1+a2+a3+a4=10，a5+a6+a7+a8=26，

所以该数列从第一项开始，每四项的和排列起来就是一个以10为首项，16为公差的等差数列，

因此a1+a2+…+a60=10+26+…+234=1830.

我们从已知递推公式出发，分别用a1表示数列的前几项，发现从第一项开始，每四项相加可以消掉未知的a1，且其和构成一个等差数列，运用等差数列的前n项求和公式便可求得数列的前60项和.

三、特殊值法

特殊值法是解答选择、填空题的一种常用方法.有些问题较为复杂，且运算量较大，此时我们可以根据题意选择几个满足题意的特殊值，将其代入题设中进行求解，便可快速求得问题的答案.

解：由an+1+（-1）nan=2n-1可得an+1=2n-1-（-1）nan，发现该数列无法确定，即a1不确定，要求数列的前60项之和，需先确定a1的值.不妨令a1=1，则a2=2，a3=1，a4=6，a5=1，a6=10，…，所以奇数项均为1，偶数项是以2为首项，4为公差的等差数列，所以    .

我们通过研究可以发现问题的本质：前60项之和与a1的取值有关，于是给a1=1赋予特殊值，使无法确定的数列变成熟悉的数列，从而快速且准确地获得问题的答案.

相比较而言，运用第一种方法，推导过程较为繁琐，对同学们的逻辑推理、数学运算能力有很高的要求;第二方法较为灵活，对同学们的计算能力和数学思维都有所要求;而第三种方法最为简单、有效，运用该方法能快速、准确地解题.因此，对于递推式中含有（-1）n的数列求和问题，我们要充分挖掘题目的本质，找出问题中变量与不变量，认清变量之间的关系，从而找到数列的规律，快速求得问题的答案.

（作者单位：闽南师范大学数学与统计学院）