一道三角形面积最值问题的多种解法

谢梅林

三角形面积的最值问题是各类试题的常见考点.此类问题的综合性较强，侧重于考查同学们的逻辑思维能力和综合分析能力.本文以一道题为例，探讨一下求解三角形面积最值问题的解法.

例题：求过点M（2，3）的直线l与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及直线l的方程.

本题主要考查了直线与方程、三角形面积公式以及求最值的方法.要求得三角形的最值，我们需先分别求出直线l与x轴、y轴的交点坐标，然后运用三角形的面积公式求得三角形的面积，再根据面积的表达式求其最值.有如下四种方法：

一、基本不等式法

基本不等式是求最值问题的重要工具，运用基本不等式求最值需把握三个条件：一正、二定、三相等.即一要确保两个变量或式子为正值;二是通过恒等变换构造出两个变量或式子的和或积，使其一为定值;三是确保两个变量或式子相等时等号成立.在运用基本不等式求三角形面积的最值时，我们需先根据题意列出三角形的面积表达式，然后构造出两式的和或积，再利用基本不等式求出最值.

解法一：设直线l：y=k（x-2）+3（k<0），直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则，B（0，3-2k），

则，

由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，

此时，l的方程为3x+2y-12=0.

我们先设出直线的斜截式方程，然后分别求出直线l与x轴、y轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求得所求三角形的面积，通过恒等变换配凑出，进而利用基本不等式求得最值.

解法二：设l的方程为，

因为M（2，3）在直线l上，

所以，即ab≥24，当且仅当，即a=4，b=6时等号成立，

这时，因此三角形的最小面积为12，方程为3x+2y-12=0.

解法二與解法一的思路基本一致，只是解法二采用直线的截距式方程来设出直线的方程，然后利用基本不等式建立新的关系式，求得a，b的值以及三角形面积的最值.

二、判别式法

判别式法是指利用一元二次方程的根的判别式建立不等式，通过解不等式求得最值的方法.在求三角形面积的最值时，需将三角形的面积S看作一元二次方程中的参数，然后根据S的取值范围为实数建立关系式△≥0，解不等式即可求得S的取值范围.

解：设直线l：y=k（x-2）+3（k<0），直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则，B（0，3-2k）.

则，化简得4k2+2Sk-12k+9=0，

由题意可知方程有实数解，所以△=（2S-12）2-4×4×9≥0，解得S≥12，

即三角形面积的最小值为12.当等号成立时，l的方程为3x+2y-12=0.

运用判别式法解题看似简单，其实运算量太大，很容易出错，同学们在解题要注意谨慎计算.

三、导数法

运用导数法求三角形面积最值的常规思路是，首先根据题意列出三角形面积的表达式，然后对表达式求导，分析导函数与0之间的关系，进而判定函数的单调性，再利用函数的单调性求得最值.

解：设直线l：y=k（x-2）+3（k<0），直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A、B两点，则，B（0，3-2k）.

则，对其求导得    .

令S′=0，解得，

又因为k<0，所以，

当时，S′<0;当时，S′>0;

所以S′在处有最小值，即△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y-12=0.

我们通过分析导函数能快速分析出函数的单调性、最值、顶点等，进而明确函数的变化趋势，求得最值.

四、参数方程法

参数方程法是指借助直线的参数方程解题的方法.一般地，过点M（x￥￥0，y￥￥0）、倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数）对于本题，我们可以根据直线的参数方程来设出直线与x、y轴交点的坐标，根据三角形面积公式求出所求面积的表达式，然后根据三角函数中的公式、性质来求得最值.

解：设直线的参数方程为t为参数，θ为倾斜角，且，

则直线与两坐标轴的交点为A（2-3cotθ，0），B（0，3-2tanθ），

.

此时，l的方程为3x+2y-12=0.

采用参数方程法解题，我们可以直接根据θ的值确定直线与坐标轴之间的夹角以及直线的斜率.若遇到曲线问题，用参数方程法求解会很简单.运用参数方程法解题，需灵活运用三角恒等变换技巧，但解题过程中的计算量有点大，同学们要小心运算.

通过对上述问题的研究可以看出，对于此类有关直线与方程的三角形面积问题，可以分别从基本不等式、函数、导数、参数方程等不同角度进行探究，寻找解题的思路.在解题的过程中我们要合理运用已学过的知识深入研究，这样解题一定有显著的效果.

（作者单位：江西省赣州市南康区第三中学）