解答二面角问题的两种途径

华恩亨

二面角问题是高中立体几何中的一类常见题目.虽然此类问题的命题方式多种多样，但解题的方法却是大同小异.因此在解答二面角问题时，我们要学会“以不变应万变”，牢牢抓住题目的特点，选择合适的解题方法和思路进行求解.本文主要介绍以下两个求解二面角的办法.

一、构造三垂线

在解题时，我们常根据二面角的平面角的定义来添加辅助线，构造三垂线，利用三垂线定理来解题.如图1所示，已知平面α、平面β和線段l，假设α-l-β为锐二面角，过平面α内一点P作一条垂直于面β的垂线PA交平面β于A点，过点A作线段l的垂线AB交线段l于B点，连接P、B就可以得到一个直角三角形PAB，根据三垂线定理可知，线段PB⊥l，那么∠PAB就是锐二面角α-l-β的平面角.通过解直角三角形PAB，便可求得∠PAB的大小.

例1.已知一个棱长都等于4的正三棱柱ABC-A1B1C1，BC的中点是E点，侧棱CC1上有一动点F，且不会与C点重合.假设二面角C-AF-E的大小是θ，求二面角的正切的最小值.

解：如图2所示，过E作EN⊥AC于点N，过N作MN⊥AF于M，连接M，E.

由正三棱柱的性质可得EN⊥侧面A1C，由三垂线定理可知EM⊥AF，因此∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ.

设∠CAF=α，那么0°<α≤45°，

在Rt△CNE中，    .

在Rt△AMN中，MN=AN·sinα=3sinα，

因此    .

又因为0°<α≤45°，所以，

因此当时，tanθ的最小值为    .

解答本题主要根据二面角的平面角的定义构造出三垂线，然后运用三垂线定理证明∠EMN是二面角C-AF-E的平面角.在构造三垂线时，要注意抓住几何体的特点和几何图形中的垂直关系.

二、构造垂面

构造二面角棱的垂面也是解答二面角问题的常用办法.有些二面角的平面角借助二面角棱的垂面更加方便作出.作二面角棱的一个垂面，需过棱上一点分别作两个半平面的垂线，将两个垂足和已知点连接起来所形成的平面就是垂直于二面角棱的一个垂面.然后在垂面内运用平面几何知识就可求得二面角的大小.

例2.空间中有一点P到二面角α-l-β中的两个半平面α，β和棱l的距离分别是4，3，，求二面角α-l-β的大小.

解：如图3所示，分别作平面α，β的垂线PA垂直于平面α交于A点，PB垂直于平面β交于B点，连接P，A，B，则l⊥平面PAB，设l与平面PAB相交于点C，连接P，C，可得l⊥PC.

在直角三角形PAC，PBC中，，PA=4，PB=3，

那么，    .

因为P，A，C，B四点共圆，则PC是直径，

设PC=2R，二面角α-l-β的大小是θ.

根据余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosθ=PA2+PB2-2PA·PB·cos（π-θ），解得，θ=120°，

因此二面角α-l-β的大小是120°.

我们通过作二面角的两个半平面的垂线，构造出二面角平面角的垂面PABC，再在平面PABC内，运用直角三角形和圆的性质，以及余弦定理求得二面角α-l-β的大小.

解答二面角问题的办法，还有很多如采用面积法、投影法等.一般来讲，求解二面角问题主要有三个步骤，即先作出二面角的平面角，然后证明这个角为二面角的平面角，最后求出这个平面角的大小.在这三个步骤里面，前面两个步骤是解题的关键，只要做好这两步，就能轻松解题.

（作者单位：安徽省砀山第二中学）