三类常见的三角函数最值问题及其解法

王国顺

在近几年的高考数学试题中，三角函数最值问题屡见不鲜.此类问题一般具有较强的综合性、抽象性，侧重于考查同学们的抽象思维能力和综合处理问题的能力.本文重点谈一谈三类常见的三角函数最值问题及其求法

一、求一次三角函数的最值

一次三角函数最值问题属于常规题目.解答此类问题，需灵活运用三角函数中的诱导公式、两角和差公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，将三角函数式转化为只含有一个角、一种函数名称的式子，然后根据三角函数的图象和性质来求得函数的最值.

例1.求函数f（x）=cosx（2sinx+3cosx）的最值.

解：    .由于，因此，那么函数的最大值是，最小值为    .

第一步，我们要仔细观察三角函数的形式，将其进行适当的变形.若三角函数式中含有括号就要先将括号去掉;若含有两种不同的函数名称，就需用辅助角公式或将函数名称统一;若含有两个不同的角，就需用诱导公式、两角和差公式将角统一，最后根据三角函数的图象和性质求得最值.

二、求二次三角函数的最值

解答二次三角函数最值问题，我们一般要先利用二倍角sin2x=2sinxcosx、cos2x=2cos2-1=1-2sin2x或其变形式2cos2x=cos2x-1、等，将三角函数式的幂或角统一，将其转化成为f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式，或者只含有一种函数名称的二次式，然后利用三角函数的有界性和二次函数的性质来求最值.

例2.已知函数    .试求出函数f（x）的最小正周期，以及当时f（x）的最大值与最小值.

分析：该三角函数式中含有二次式，需先用正弦、余弦的二倍角公式将其化简，然后利用辅助角公式，将其转化为只含有一种函数名称的函数式，再根据正余弦函数的单调性和有界性便可求得原函数的最值.

解：    .

因此这个函数的最小正周期是    .

当，即时，函数f（x）单调递增;而当，即时，函数f（x）单调递减，

因此当时，函数取最大值;当时，函数取最小值    .

三、求含有分式的三角函数的最值

求含有分式的三角函数的最值有两种思路，第一种思路是尝试将常数分离，求得分离后含有变量式子的最值便可解题;第二种思路是，将函数y=f（x）看作參数，将函数式变形为整式，然后运用辅助角公式，将其转化为Asin（ωX+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的形式，再利用正余弦函数的有界性来建立关系式，解不等式便可求得y的取值范围，进而确定函数的最值.

例3.求函数的最值.

解：将变形可得，即    .

又因为，则，

将其两边同时平方可得（3y+2）2≤（2y+1）2，

解得，

因此函数的最大值为，最小值为-1.

我们先将函数式变形为一边只含有sinx、一边不含有sinx的式子，然后根据y=sinx的有界性求的取值范围，求出y的取值范围便可以确定函数的最值.

总之，要想顺利求得三角函数的最值，我们需熟练掌握三角函数中的基本公式以及三角恒等变换的技巧，先将所求函数式化简为只含有一个角、一种函数名称、次数统一的最简形式，然后根据三角函数的单调性和有界性来求得原函数的最值.

（作者单位：福建省泉州第十七中学）