如何证明不等式

吴春乔

不等式证明问题的综合性比较强，侧重于考查同学们的逻辑思维能力和分析推理能力.要顺利证明不等式，同学们不仅要熟练掌握不等式的性质、放缩不等式的技巧，还要学会一些证明不等式的常规方法.本文重点探讨了证明不等式的三种常规方法：作差法、分析法以及反证法.

一、作差法

作差法常用于证明含有多项式的不等式问题.在证明不等式时，可将不等式两边的式子相减，再进行合理的变形、化简、因式分解，直至得到能容易判别出差式的正负符号的式子.一般地，若A-B<0，则A<B;若A-B>0，则A>B.

例1.已知0<a<b，那么正确的有（    ）.

A.    ;    B.    ;

C.;    D.

分析：首先根据已知条件0<a<b和基本不等式就可以直接得出    .对于和a，可先将两者同时平方去掉根号再作差，即，因此    .同理可得，，因此;接下来需要对b和的大小进行比较，还是用作差法，，因此可以得出    .综上所述，，因此正确选项为B.

解答本题，主要利用了不等式的性质、基本不等式以及作差法.

二、分析法

运用分析法证明不等式的主要步骤是：要证明……只需要证明……就需要证明……用分析法证明不等式的关键是，找寻能够证明题目中的结论成立的充分条件或者充分必要条件.在证明不等式时，首先应从需要证明的结论入手，运用所学的公式、定理、定义等一步一步地进行推理、运算，最后得出与已知条件相符的结论，那么就意味着所要证明的不等式成立.

例2.已知x≥1，y≥1，试证明：    .

证明：要证明，

只需证明xy（x+y）+1≤y+x+（xy）2，

就需证明：（xy）2-1+（x+y）-xy（x+y）≥0，

则证明：（xy-1）（xy+1-x-y）≥0，

即证明：（xy-1）（x-1）（y-1）≥0.

因为x≥1，y≥1，因此上式是成立的.

综上所述，成立.

运用分析法解题，需严格按照上述步骤来进行求证，这样才更有说服力.

三、反证法

有些不等式较为复杂，若从正面直接证明较为困难，我们可采用反证法去证明结论.在运用反证法证明不等式时，需先假设原不等式不成立，得出否定的结论;然后从这个结论出发，将其当作已知的结论，利用相关的定理、公式、定义等逐步进行推理，直到得出与已知条件、公理等相矛盾的结论，从而间接证明原来的結论是成立的.

例3.已知a、b∈R，且a+b=1，求证：    .

证明：假设，

那么就有    .

又因为a+b=1，则b=1-a，

则，所以，

这个结论就与相矛盾.

因此成立.

运用反证法解题能有效地转换解题的方向，拓宽解题的思路.

不等式证明问题是高中数学中比较难的一部分内容，同学们要熟悉常见的题目，整理和归纳相对应的解题方法.在进行不等式的证明时，要将已知条件和所证目标关联起来，将相关的定理、公式、定义作为推理、证明的依据，选择合适的证明方法来证明结论.同时要训练自己的逻辑思维能力和分析推理能力，这样才能有效地提升解答不等式证明问题的能力.

（作者单位：江苏省大港中学）