多法并用，求解一类解析几何问题

杨凯

解析几何问题主要考查直线的方程以及圆、抛物线、椭圆、双曲线的方程和性质等.此类问题的运算量较大，对同学们的运算、推理能力要求较高.如何简化运算、合理进行推理是解题的关键.本文从一道例题出发，谈一谈解答一类解析几何问题的方法.

题目：已知椭圆的两个焦点分别为F1、F2，且A（2，3）.求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.

本题主要考查了椭圆的标准方程、角平分线的性质以及直线的方程，属于一类综合问题.解答本题的关键需从∠F1AF2的角平分线入手，可分别利用角平分线的性质、三角函数法、向量法来解题.

一、利用角平分线的性质

角平分线的性质有很多，如角平分线上的点到角两边的距离相等;三角形一个角的平分线分对边的两条线段与这个角的两条邻边对应成比例;三角形的三条角平分线交于三角形内接圆的圆心.对于本题，我们可以分别求出AF1、AF2的直线方程，利用点到直线的距离公式求得角平分线上的点到AF1、AF2的距离，利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”来建立关系式，求得B的坐标，便可运用直线的两点式方程求得角平分线所在直线的方程.

解法一：设所求角平分线的直线为l，斜率为k，l与x轴交于B（x0，0），因为，所以F1（-2，0），F2（2，0），所以AF2⊥F1F2，直线AF1的方程为3x-4y+6=0，直线AF2的方程为x=2.由角平分线的性质可知点B到直线AF1的距离等于它到直线AF2的距离，即，解得，即B点的坐标为，所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1.

我们还可以利用“三角形的三条角平分线交于三角形内接圆的圆心”的性质来解题.根据题意构造三角形的内接圆，利用内接圆的性质来求得角平分线所在直线的方程.

解法二：因为，所以F1（-2，0），F2（2，0）则AF2⊥F1F2，即△AF2F1是直角三角形，且三角形三边长为3，4，5，所以这个三角形的内切圆的半径r=1，内切圆圆心O得坐标为（1，1），所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1.

二、三角函数法

三角函数法是解答与角有關问题的常用方法.在解题时，我们可以根据几何图形用三角函数表示出相应的边、角以及所求目标，通过三角恒等变换简化目标式，再利用三角函数的性质和图象求得问题的答案.对于本题，我们可以用三角函数表示出∠F1AF2，然后利用二倍角公式化简函数式求得∠F1AF2的正切值，再根据斜率公式以及直线的斜截式方程求得∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.

解：因为，所以F1（-2，0），F2（2，0）

则AF2⊥F1F2，

设∠F1AF2=2α∈（0°，90°），

则，

解得或tan=-2（舍），

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1.

三、向量法

向量法是指构造出合适的向量，利用向量的坐标运算来解题的方法.运用向量法解题能将解析几何问题转化为向量问题，有利于转化解题的思路.对于本题，我们可以分别求出各点的坐标，给各条线段赋予方向，运用向量的坐标运算来解题.

解：因为，所以F1（-2，0），F2（2，0），

而A（2，3），所以，，

又，

可得B点坐标，

所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为y=2x-1.

通过对这道解析几何题的研究与探讨，我们发现解答解析几何问题可以从多个方向进行研究，如利用角平分线的性质、运用三角函数知识、向量知识来解题.

在解答综合性较强的解析几何问题时，我们应注意发散思维，从多个角度寻求解题的方法.

（作者单位：江苏省泰兴市第一高级中学）