求解极值点偏移问题的两个技巧

申一鸣

所谓极值点偏移，是指函数f（x）的极值点x0与区间（x1，x2）上的中点不相等.极值点偏移问题主要考查函数的图象和性质、不等式的性质、方程的根的判别式、韦达定理等.解答极值点偏移问题的关键在于，正确处理两根之间的关系，确保不等式恒成立.解答此类问题主要有两个技巧：差值代换和比值代换.下面，我们结合一道典型例题来进行探讨.

例题：已知函数f（x）=xe-x，若0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），求证：3x1+x2>3.

题目中出现了两个变量x1、x2，求解的难度较大.我们需根据已知条件建立关于x1、x2的关系式，灵活运用函数的图象和性质、不等式的性质、方程的根的判别式、韦达定理等进行推理、运算，由已知条件逐步向目标式靠近.我们可以运用差值代換和比值代换两个技巧来求解.

一、差值代换

运用差值代换技巧求解极值点偏移问题，需首先令t=x2-x1，消去其中的一个变量x1或x2，将函数转化关于变量t的式子，通过探讨函数的单调性、极值，从而证明结论.在解答本题时，要先设t=x2-x1，而3x1+x2>3等价于，可构造函数g（t）（t-3）et+3t+3，并运用导数法对其性质和图象进行深入探讨，从而证明结论成立.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2），

∴，，

令t=X2-X1，t=（et-1）X1

∴，，

∴3x1+x2>3等价于，

设g（t）=（t-3）et+3t+3（t>0）

∴g′（t）=（t-2）et+3，

令h（t）=（t-2）et+3，∴h′（t）=（t-1）et

当0<t<1时，h′（t）<0，h（t）在（0，1）上单调递减;当t>1时，h′（t）>0，h（t）在（1，+∞）上单调递增;h（t）≥h（1）=3-e>0，

∴g′（t）>0，g（t）在（0，+∞）上单调递增，g（t）>0，∴3x1+x2>3.

二、比值代换

所谓比值代换，是指通过引入变量，将极值点偏移问题转变为关于t的函数问题来求解的技巧.在研究f（t）时，可先对其进行求导，分析导函数与0之间的关系，进而判断出函数的单调性，求得最值，从而证明结论.对于本题，可先令，则、，而目标式可等价于，构造函数，研究其导函数，便可确定g（t）的极值和单调性，进而证明3x1+x2>3.

解：∵0<x1<x2，且f（x1）=f（x2）

∴，，

∴，设，

∴，，

∴3x1+x2>3等价于，

设，

∴，

令，

∴，

当1<t<3时，h′（t）<0，h（t）在（1，3）上单调递减;当t>3时，h′（t）>0，h（t）在（3，+∞）上单调递增;

∵h（3）=4-4ln3<0，h（e2）>0，∴在（3，e2）上存在唯一零点t0使h（t0）=0，即，

当1<t<t0时，g′（t）<0，g（t）在（1，t0）上单调递减;当t>t0时，g′（t）>0，g（t）在（t0，+∞）上单调递增，，

∵t0>3，在（3，+∞）上单调递增，

∴，∴3x1+x2>3.

比值代换、差值代换都是求解极值点偏移问题的常用技巧，也是同学们应该学习和掌握的重要内容.通过上述分析，我们不难发现解答极值点偏移问题，需灵活运用换元、消参的技巧，将问题转化为关于t的函数问题，然后运用导数法来求解.

（作者单位：陕西省渭南经开区渭南中学）