两类函数定义域的求法

计康

在学习函数时，我们经常会遇到函数定义域问题.此类问题属于基础题目，难度一般不大，解题的关键在于充分研究函数的解析式，挖掘隐含条件.很多同学在解答此类问题时经常得到不完整的或错误的答案，对此笔者总结了两类函数定义域的求法，以供大家参考.

一、求初等函数的定义域

初等函数主要包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数.在求初等函数的定义域时，我们要仔细观察函数的解析式，尤其要关注其中是否含有分式、根号、绝对值、指数幂等.因为函数解析式中一般含有隐含的条件，如根号下的式子必须大于或等于0，分式的分母不为0、绝对值必须大于或等于0、指数幂的底数必须不为0等.然后建立相应的关系式，求得x的取值范围.

例1.求以下函数的定义域：

（1）    ;（2）    .

分析（1）中的函数为分式函数，且分子中含有根式，因此分母x+1≠0，x2-4x≥0，然后取两个不等式的交集即可得到函数的定义域.（2）式中不仅含有分式、根式，还含有指数幂、绝对值，因此需使X+1≠0，，最后取其交集即可.

解：（1）∵    ，

∴X2-4X≥0，且X≠-1，

解得X≤0，且X≠-1，或X≥4，

∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，0）∪[4，+∞）.

（2）∵    ，∴x≠-1，且，

可得X<0，且x≠-1，

∴函数的定义域为（-∞，-1）∪（-1，0）.

二、求复合函数的定义域

复合函数一般是由两个或者两个以上的函数组成的.此类函数较为复杂，我们需先明确复合函数是由哪几个初等函数构成，然后分别求出每个初等函数的定义域，再将外部函数的定义域看作内部函数的值域，建立关系式，最后综合所得的结果即可得到函数的定义域.一般地，若已知y=f（X）的定义域是[m，n]，求函数y=f[g（X）]的定义域，可建立关系式：所得的结果即为函数y=f[g（X）]的定义域.

例2.已知函数y=f（x）的定义域是（-1，4），求函数y=f（X2-3）的定义域.

解：∵函数y=f（x）的定义域是（-1，4），

∴-1<x2-3<4，

解得或，

∴y=f（X2-3）的定义域为    .

该函数由函数y=f（X）和y=X2-3复合而成.需将函数y=f（X）的定义域的定义域看作函数y=X2-3的值域来求解.

例3.已知函数f（X）的定义域为[1，9]，求函数的定义域.

分析：该函数是两个复合函数的和，函数y=f（X-1）是由函数y=f（X）、y=X-1复合而成，函数是由和y=X2-5X-6复合而成.我们需分别求得两个复合函数的定义域，再取它们的交集.

解：由函数f（X）的定义域为[1，9]

可得1≤x-1≤9，

而中含有根式，所以X2-5X+6≥0，

则

解得X=2或3≤X≤10，

故函数的定义域为    .

虽然函数定义域问题的难度不大，但题目中常常会涉及很多的隐含条件.因此同学们在解题的过程中，千萬不可掉以轻心，要细心观察、仔细考量，确保分析问题全面，这样才能求得正确的答案.

（作者单位：陕西省西安市东方中学）