2021年普通高等学校招生全国统一考试(甲卷)理科数学

一、选择题

1.设集合，，则M∩N=（    ）.

A.    B.

C.    D.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）.

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知（1-i）2z=3+2i，则z=（    ）.

A.    B.    C.    D.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，贝其视力的小数记录法的数据为（    ）（    ）.

A.1.5    B.1.2    C.0.8    D.0.6

5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，，则C的离心率为（    ）.

A.    B.    C.    D.

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图1所示，则相应的侧视图是（    ）

7.等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则（    ）.

A.甲是乙的充分条件，但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件，但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图2是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′=45°，∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两點到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为（    ）（    ）.

A.346    B.373    C.446    D.473

9.若，，则tanα=（    ）.

A.    B.    C.    D.

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）.

A.    B.    C.    D.

11.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（    ）.

A.    B.    C.    D.

12.设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）=a2+b.若f（0）+f（3）=6，则    （    ）.

A.    B.    C.    D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.曲线在点（-1，-3）处的切线方程为________.

14.已知向量，，    .若，则k=________.

15.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形PF1QF2的面积为________.

16.已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）的部分图象如图3所示，则满足条件的最小正整数x为________.

三、解答题：共70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：

18.已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列：②数列是等差数列;③a2=3a1.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

19.如图4，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点.BF⊥A1B1.

（1）证明：BF⊥DE;

（2）当B1D為何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

20.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线l：x=1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M（2，0），且⊙M与l相切.

（1）求C，⊙M的方程;

（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切.判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由.

21.已知a>0且a≠1，函数    .

（1）当a=2时，求f（x）的单调区间;

（2）若曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为    .

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程;

（2）设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知函数，    .

（1）画出y=f（x）和y=g（x）的图象;

（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

参考答案与解析

一、选择题

1-12    BCBCA    DBBAC    AD

二、填空题

13.5x-y+2=0;14.    ;15.8;16.2.

三、解答题

（一）必考题

17.解：（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为，

乙机床生产的产品中的一级品的频率为    .

（2）    ，

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.解：选①②作条件证明③：

设，则Sn=（an+b）2

当n=1时，a1=S1=（a+b）2;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（an+b）2-（an-a+b）2=a，（2an-a+2b）;

因为{an}也是等差数列，所以（a+b）2=a（2a-a+2b），解得b=0;

所以an=a2（2n-1），所以a2=3a1，

选①③作条件证明②：

因为a2=3a1，{an}是等差数列，

所以公差d=a2-a1=2a1，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

设，则Sn=（an+b）2，

当n=1时，a1=S1=（a+b）2;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（an+b）2-（an-a+b）2=a（2an-a+2b）;

因为a2=3a1，所以a（3a+2b）=3（a+b）2，

解得b=0或;

当b=0时，a1=a2，an=a2（2n-1），当n≥2时，an-an-1=2a2满足等差数列的定义，此时{an}为等差数列;

当时，，不合题意，舍去.

综上可知{an}为等差数列.

19.解：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB

因为A1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，

又BB1∩BF=B，

所以AB⊥平面BCC1B1.

所以BA，BC，BB1两两垂直.

以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图5.

所以B（0，0，0），4（2，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，2），A1（2，0，2），C1（0，2，2），E（1，1，0），F（0，2，1）

由题设D（a，0，2）（0≤a≤2）.

（1）因为，，

所以，

所以BF⊥DE.

（2）设平面DFE的法向量为，

因为，，

所以即

令z=2-a，则，

因为平面BCC1B1的法向量为，

设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为θ，

则    .

当时，2a2-2a+4取最小值为，

此时cosθ取最大值为    .

所以，此时    .

20.解：（1）依题意设抛物线C：y2=2px（p>0），P（1，yn），Q（1，-y0）

因为OP⊥OQ，所以，

所以2p=1，

所以抛物线C的方程为y2=x，

因为M（0，2），⊙M与x=1相切，所以半径为1，

所以⊙M的方程为（x-2）2+y2=1;

（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）

若A1A2斜率不存在，则A1A2方程为x=1或x=3，

若A1A2方程为x=1，根据对称性不妨设A1（1，1），

则过A1与圆M相切的另一条直线方程为y=1，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3，不合题意;

若A1A2方程为x=3，根据对称性不妨设，，

则过A1与圆M相切的直线A1A3为，

又，则y3=0，

x3=0，A3（0，0），此时直线A1A3，A2A3关于x轴对称，

所以直线A2A3与圆M相切;

若直线A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，

则，，，

所以直线A1A2方程為，

整理得x-（y1+y2）y+y1y2=0，

同理直线A1A3的方程为x-（y1+y3）y+y1y3=0，

直线A2A3的方程为x-（y2+y3）y+y2y3=0，

因为A1A2与圆M相切，所以，

整理得，

则A1A3与圆M相切，同理，

所以y2，y3为方程的两根，

则，，

M到直线A2A3的距离为：，

所以直线A2A3与圆M相切;

综上若直线A1A2，A1A3与圆M相切，则直线A2A3与圆M相切.

21.解：⑴当a=2时，，

，

令f（x）=0得，当时，f（x）>0，当时，f（x）<0，

则函数f（x）在上单调递增;在上单调递减;

（2）由可得ax=xa两边取对数可得，

设函数，

则，令g（x）=0，得x=e，

在（0，e）内g（x）>0，g（x）单调递增;

在（e，+∞）上g（x）<0，g（x）单调递减;

∴，

又g（1）=0，当x趋近于+∞时，g（x）趋近于0，

所以曲线y=f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g（x）与直线有两个交点的充分必要条件是，这即是0<g（a）<g（e），

所以a的取值范围是（1，e）∪（e，+∞）.

（二）选考题

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.解：（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为;

（2）设P（x，y），，

∵，

∴

，

∴

即

∴P的轨迹C1的参数方程为    （θ为参数）

∵曲线C的圆心为，半径为，曲线C1的圆心为，半径为2，

∴圆心距为，

而，∴两圆内含，

∴曲线C与C1没有公共点.

[选修4-5：不等式选讲]

23.解：（1）可得画出图象如图6所示，

，画出函数图象如图7所示，

（2）    ，

在同一个坐标系里画出f（x），g（x）图象，如图8，

y=f（x+a）是由y=f（x）平移了个单位得到，

则要使f（x+a）≥g（x），需将y=f（x）向左平移，即a>0，

当y=f（x+a）过时，，

解得或    （舍去），

则数形结合可得需至少将y=f（x）向左平移个单位，所以    .