例析实际应用中与球相关的最值问题

谢新华

(福建省莆田第二中学 351100)

图1

例1 (2020·湖北襄阳模拟)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙．从外观上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称；六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)( ).

评析本题以数学文化为背景，考查多面体与外接球球的计算，需要根据几何体的对称性确定一组长方体的外接球也就是整体的外接球.

例2 (2020 ·河南省模拟)在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为____，大球半径R的最小值为____.

解析当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径r最大，大球半径R最小，由2r·2=8可得r的最大值为2，下面分析r=2时R的取值. 如图所示，由对称性知，大球球心O与四个小球球心O1,O2,O3,O4均为一个正四棱锥的顶点，且OO1=R+r=R+2,O1O2=2r=4.

图2

评析本题通过数学问题与实际问题相结合，考查球与球，球与多面体的切接问题，一题两空是新高考特色题型，分析球与球之间切接可得r的最大值，剖析球与多面体切接问题，结合对称性计算出R的最小值.

例3(2020·福建莆田市质检)有一根高为30厘米，底面半径为5厘米的圆柱体原木(图3).某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四棱柱(图4).问该工艺品体积的最大值是____立方厘米.

图3 图4

当x变化时，f(x),f′(x)变化情况如下表：

x(0,25π)25π(25π,5)f′(x)-0+f(x)↘极小值↗

评析本小题以劳动技术、生活实践为背景，考查立体几何中与球有关的最值问题，是一类既富思考性，又融众多知识和技巧于一体，综合性强、灵活性高的问题．解答时，需仔细分析题设中的所有条件，在充分审清题目意思的基础上，从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决.

图5

解析根据三视图知原工件形状为圆锥，如图.

图6 图7

当x变化时，V(x),V′(x)变化情况如下表：

x(0,23)23(23,2)V′(x)+0-V(x)↗极大值↘

评析本题融合多个知识点，考查立体几何中球的切接问题，考查运用导数求函数的最值问题，考查概率的计算，综合性较强.