补形在立体几何问题中的应用

李秀元 武 刚

(1.湖北省武穴市实验高级中学 435400；2.湖北省武穴中学 435400)

直观性是立体几何问题的一个突出特点.借助几何图形，感知空间点、线、面的位置关系、形态变化与运动规律.图形残缺不明是制约学生认知的一个关键因素.补全图形是基于逻辑推理，发展学生空间想象能力的重要手段.下面从7个角度，展示补形为问题解决带来的好处.

一、补形判断位置关系

线面位置关系的判断，是立体几何发展空间想象能力的重要方式，主要涉及到线面平行和线面垂直.图形残缺会影响到学生对关系判断依据的确认，补全图形可以很好地解决直观判断这一问题.

例1 如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是棱DD1、C1D1的中点.试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果不平行，说明理由；如果平行，请在平面内作出一条与B1F平行的直线，并说明理由.

图1 图2

解析线面平行最直接的判断方法是线线平行，用△A1BE表示平面，较难发现与B1F平行的直线.考虑将△A1BE延展成正方体的截面A1BME(M为CD的中点)，如图2，问题便一目了然，与B1F平行的直线即为BM.

二、补形确定点的位置

例2如图3所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1内的动点，且B1F∥平面A1BE，则点F在侧面CDD1C1内的轨迹长度是____.

图3 图4

解析由于直线B1F是过定点B1的动直线，要满足B1F∥平面A1BE，则需要寻找过点B1且与平面A1BE平行的平面.平面平行的判定是由线面平行来完成的.直接过B1作平面A1BE的平行线，最多只找到一条A1E，无法确定平面.

三、补形确定平面的交线

例3 如图5，点E、F在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1、BB1上(不是端点)，试画出平面AEF与平面ABCD的交线.

图5 图6

解析确定两个平面交线的理论依据在于公理3和公理1.由于平面AEF和平面ABCD有公共点A，故只需找到两平面另外的一个公共点即可.过点E作EN⊥DC，交DC于点N，连接NB，则BF∥EN，而BF≠EN，所以EF和NB延长必相交，设交点为M，连接AM.因为M∈EF，所以M∈平面AEF.同理，M∈平面ABCD，即点M为平面AEF和平面ABCD的公共点.所以，直线AM为平面AEF与平面ABCD的交线.

四、补形求二面角的大小

图7 图8

(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；

(2)分析4个条件，发现①和④是等价的.选两个条件就只有2种组合：①②和①③.

五、补形求线段比

图9 图10

(1)求证：平面PBM⊥平面PAC；

(2)若以A为原点建立空间直角坐标系，则A、B、C、D、M的坐标可求，但点P坐标未知，既影响到平面PAB法向量的计算，也影响到N点坐标的确定，能不能确定，计算之前心里没底.

由于点N存在性待定，即使存在，位置也是待定的.因此，考虑寻求过点O且与平面PAB平行的平面，此平面与PM相交，即得N点.

图11

六、补形求点面距离

例6 如图12所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

图12 图13

(1)求BF的长；

(2)求点C到平面AEC1F的距离.

解析依题意，知四边形AEC1F为平行四边形.

七、补形求外接球的体积(表面积)

我们知道，任何三棱锥都有外接球.我们更知道，任何长方体都有外接球，且球心为对角线的中点.一般情形下三棱锥的外接球球心是不易确定的，如果能将三棱锥补形成长方体，解决问题也就轻而易举了.

图14