高中数学辩证思维赏析(立体几何篇)

杨 娟

(四川师范大学附属中学 610066)

在《普通高中数学课程标准(2017年版)》修订的基本原则中也要求：“坚持正确的政治方向……充分体现马克思主义的指导地位和基本立场……”.课程标准全书的表述中也渗透了辩证法的很多观点，所以在高中数学的教学中，教师要结合数学学科的特点潜移默化的给学生渗透辩证法的基本思想，坚持用“辩证观点分析和解决数学问题”，逐步培养高中学生运用辩证思维解决数学问题的能力.辩证思维是一种重要的思维方法，在高中数学中随处可见，当然在立体几何版块中也有它的身影.

知识赏析一：柱、锥、台的体积公式蕴含着量变质变规律

知识赏析二：对长方体的研究中蕴含着整体与局部的关系

一、对立统一规律

对立统一规律是唯物辩证法的三大规律之一.根据对立统一规律矛盾双方既相互依赖，又相互排斥，并在一定条件下可以相互转化.“分割法”与“补形法”就是对立统一的辩证思维在解决立体几何问题中的具体体现.

例1 如图1,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠A=60°,E,F分别为AB,CD的中点,将ΔADE和△CBF沿着DE和BF折起,使得平面ADE和平面CBF均垂直于平面BEDF.

(1)求证:AC//平面BEDF；

(2)求几何体ACFBED的体积.

赏析(1)略；(2)几何体ACFBED是不规则几何体,其体积只能通过分割或补形来实现.

补形法如图2,分别过点B,D作AE的平行相等线BP,DQ,连接AP,PC,CQ,QA, 形成一个底面为菱形的直四棱柱.

二、否定之否定规律

否定之否定规律表明事物自身发展的整个过程是由肯定、否定和否定之否定诸环节构成的，揭示了事物发展的全过程和总趋势.事物都有肯定方面和否定方面，当肯定方面居于主导地位时，事物保持现有的性质、特征和倾向，当事物内部的否定方面战胜肯定方面时，旧事物就需要转化为新事物.

例2 如图3,不共面的直线a,b,c相交于点O,M,N∈a,P∈b,Q∈c.

证明:MP,NQ是异面直线.

赏析假设MP与NQ不是异面直线,则MP与NQ共面,设MP⊂平面α,NQ⊂平面α

∵M,N∈a，M,N∈α,∴a⊂α,∴O∈α,

∵P∈α,∴b⊂α,同理c⊂α,与已知条件矛盾,

∴MP与NQ是异面直线.

三、普遍联系的观点

事物的联系具有普遍性，任何事物或现象之间以及事物的内部要素之间都是相互影响，相互依赖，相互作用的.

例3 棱长为4的正四面体A-BCD与正三棱锥E-BCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在球O的球面上,则球心O到平面EBC的距离为____.

四、矛盾分析的方法

矛盾分析法是我们认识世界和改造世界的根本方法.唯物辩证法认为矛盾具有普遍性，矛盾双方在一定条件下可以相互转化.高中数学中矛盾无处不在，无时不有！因此我们在解决数学问题时既要看到矛盾的主要方面，也要看到矛盾的次要方面，坚持具体问题具体分析，还要善于将矛盾双方进行恰当的转化.

例4 如图5,在Rt△ABC中,AB=BC=1,D和E分别是边BC和AC上异于端点的点,且DE⊥BC,将ΔCDE沿DE折起,使点C到点P的位置,得到四棱锥P-ABDE,则四棱锥P-ABDE体积的最大值为____.

赏析假设点D位于线段BC的某一位置,只考虑ΔCDE的折起,此时四棱锥P-ABDE的底面ABDE的面积为定值.对ΔCDE的不同折起位置,显然当平面CDE⊥平面ABDE时,点P到平面ABDE的距离最远,即相对点D的位置,四棱锥P-ABDE的体积最大.

如图6对点D的所有位置,均有PD⊥平面ABDE即可.

说明本文是四川师范大学附属中学校级科研课题：《指向高阶能力培养的行动——高中生数学辩证思维能力的培养策略研究》(课题组成员：黄光鑫、武婷、李莉莉、杨娟)的阶段性成果.