巧设妙解 殊途同归——谈一道与圆有关最值试题的求解策略

李小蛟

(四川省成都市树德中学 610091)

问题呈现如图1，两同心圆圆心为O，r1=6,r2=8，矩形ABCD内接于圆，AB，CD分别为两圆的弦，求矩形ABCD面积最大值？(2021年四川省数学会高三模拟测试题)

图1 图2

分析本题为2021年四川省数学会命制的高三文科模拟测试题填空压轴题，求解本题时学生对平面几何相关知识忘记太多，对问题转化的能力欠缺，求解四边形面积策略单一(转化为长度之积)，计算量大，利用不等式相关知识不易处理.下面我们从不同角度探究一下本题的解法策略.

图3 图4

评注直接利用边长之积求四边形面积直观明晰，利用题目中圆内相关关系找到两边之间关系，通过同一未知数代换，这一种求解策略解题时易思维入手，但运算较为不易，若不利用柯西不等式则极不方便求解最值，对考生不等式知识要求较高.

解法4 (转化为三角函数求最值)连接OA,OD，过O作OE⊥AD于E，如图4，记∠OAE=α,∠ODE=β，则OE=6sinα=8sinβ,AE=6cosα,ED=8cosβ，则AD=6cosα+8cosβ,于是S=AB·AD=12sinα(6cosα+8cosβ)=72sinαcosα+96sinαcoxβ=96sinβcosα+96sinαcosβ(因为6sinα=8sinβ)=96sin(α+β)≤96(当且仅当sin(α+β)=1时取等号).

评注将几何问题转化为代数中三角问题求解，是由初中到高中思维能力提升的一个标志，利用同一长度建立不同角度之间的等量关系，进而将几何问题转化为三角函数最值求解.充分利用角度之间的等量关系，利用三角变换，辅助角公式将三角函数化为“三个一”(同一角度、同一函数、一次式)便于求解.

从初中平面几何到高中解析几何的学习，实质上是从几何到代数的一个学习大一统，从不同角度去思考平面图形的相关性质，充分利用数形结合，简化思维，提升运算能力.利用三角，向量，不等式、函数等策略去思考与圆相关问题，其本质上殊途同归，但能起到事半功倍的效果，虽解法策略有所不同，但本质上均利用了化归与转化的思想，殊途同归.