分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用分析

朱晓芬

摘要：分类讨论思想指的是在数学解题过程中，由于问题的特殊性和数学本身的内在规律，答案不具有唯一性，这时就应该采用分类讨论思想，对于每一种符合题目要求的情况逐一分析，通过分类讨论，可以有效地将数学问题“化繁为简”，利用分类思想将困难的问题转化为各个简单的小问题，不仅能提高学生的学习效率，还能锻炼学生举一反三的思维能力。

关键词：分类讨论思想;初中数学;解题教学;运用分析

中图分类号：A 文献标识码：A 文章编号：（2021）-34-477

引言

数学学科的解题方式比较灵活，同一道题可能有多种解题思路，不同题目的解题思路也有可能相同，所以要想采取最合适的方法解决数学问题，就要在平时学习过程中，注重数学思想在解题中的应用。分类讨论思想作为一种重要的数学思想，在生活和学习中的应用非常广泛，能够帮助学生了解数学知识的体系，对提高学生思维能力和逻辑能力具有重要意义。分类讨论思想可以辅助学生对知识点的整理，并能够探索其内在规律，简化难题，真正做到举一反三。

一、利用分类讨论思想解决三角几何问题

三角形问题也是学生在解决数学问题中经常遇到题型，因为几何知识的抽象性和逻辑性，学生在解决这类问题时存在一定的难度。而且因为学生的空间想象力不足，难以准确理解此类问题的具体意思，解题思路自然存在偏差。因此，教师在教学时，需要有意识、有目的地培养学生的逻辑思维能力，锻炼学生的空间想象力。将分类讨论思想方法运用到几何问题解决中，有效帮助学生解决数学问题，提高学生的数学解题技能，确保学生的数学解题效率，增强学生的解题信心。

例2如图所示，已知两条直线l1和l2，以及一条线段AB，两条直线相交，假设两条线段上存在一点P，在什么情况下，能够满足△PAB为等腰三角形？解析学生在求解上述数几何问题时，因为缺乏较强的想象力，在解决问题上存在一定的难度，如果学生继续运用传统的解题方法，可能会导致答案错误。因此，教师需要指导学生正确解决上述问题，首先，教师需要帮助学生回忆有关等腰三角形的定义和相关知识，然后指导学生利用课堂所学知识进行求解，正确运用分类讨论思想方法，已知AB为等腰三角形的一条边，现在需要进行分类。首先，假设AB为等腰三角形的底边，在此条件下，作线段AB的中垂线，分别与直线l1和l2相交于点P2和P1，此时满足要求，即△PAB为等腰三角形。继续假设，当线段AB为等腰三角形的腰时，又需要进行分类。首先假设当∠A为顶角时，教师引导学生利用课堂中与等腰三角形的定义知识，指导学生作图.以点A为圆心，线段AB为半径画一个圆，和直线l1和l2相交于点P3、P4、P5和P6，即满足上述题目的要求。当∠B为顶角时，同理，以点B为圆心，线段AB为半径作圆，可得到和直线l1和l2的交点P7、P8、P9和P10，满足数学题目要求，△PAB为等腰三角形。由此可见，学生在解决初中数学三角问题时，应当正确指导学生利用分类讨论思想解决数学问题，提高学生的数学解题效率，确保初中数学课堂教学质量。

二、分类讨论与圆

根据圆心到直线的距离与半径的数量关系将其划分为：直线与圆相离、相切、相交这三种位置关系。这就是使用分类讨论思想进行几何知识教学最常见的例子，通过分类讨论，可以较容易的解答与圆相关的数学题。

例如，在直角坐标系中，直线y=（槡3/3）x上有一个圆，半径为1，圆心P的坐标为（2槡3，m），然后，让圆P沿着直线向斜下方移动，速度为每秒1个单位，问经过多少秒后圆P与x轴相切。我们已经知道什么是相切了，即直线与圆有且仅有唯一的一个公共点.题目说到让圆P向斜下方移动，那么圆P经过移动后，会同x轴相切，此时圆P在第一象限，这是第一种情况，大多数学生都能考虑到，但是还有第二种情况，即圆P同x轴相交后，还可以接着向斜下方移动，移动到第三象限时同样会同x轴相切，以上是教师通过运用分类讨论思维对题目进行的一个综合分析，接下来就可以给学生讲解具体的解题步骤。题干已经给了我们坐标和解析式，下一步应该将坐标代入到解析式中，这样就得到了m的数值为2，接下来过点P做一条垂直于x轴的线段，设这条线段与x轴的焦点为D，那么线段PD的数值就是m的数值，为2。将原点O，圆心P以及垂足D相连，我们得到的是一个直角三角形，根据勾股定理，可以得出线段OP的数值，角POD为30度，根据这些信息，可以依次算出两种情况下的答案，即2秒或者6秒。由于本文并非为习题参考答案且篇幅有限，具体解题步骤就不再一一赘述。

在解决初中数学中的几何问题时，教师还可以在分类讨论的基础上，叠加数形结合的教学方式来进行教学，这样就可以将抽象的数学理论具象化，增加学生对知识的理解，提高学生的学习效率。

三、在函数解题中的应用

初中数学教学中，函数问题占据着很大一个比例，也是考试难点之一.但学生在分类讨论时，经常会考虑不周。例如求解有关x的函数问题：y=ax2+2x+3，若a为常数，则保证函数图像和x轴存在一个交点时，a的取值是多少.其实这道题的本质考察的就是分类讨论思想，由于对二次函数概念理解的不准确，很多学生看到这种题就会走入一个误区，直接将该函数看做二次函数，但二次函数的定义必须保证a不为0，所以这道题目的难点就在于a是否为零。

作为比较经典的题目，可以在初步讲授分类思想时，当作例题讲给学生听，首先要让学生准确的对课本概念进行记忆，明白一次函数和二次函数的区别，其次就是观察参数所在的位置，当参数处在比较特殊的位置时，一定要特别注意，最后通过分类讨论的思想，对题目进行分类讨论，主要需要考虑的有两类，参数a为0和不为0的情况，通过详细的分析就能快速准确的将题目解答出来。

结束语

综上所述，分类讨论思想作为重要的解题思路，不是通过几节课的讲述就掌握的，这需要教师在日常教学过程中，不断进行指导，使这种思想逐渐渗透到学生的解题过程。所以，初中阶段的数学学习必须加强分类讨论思想的灌输，并不断培养学生的思维能力和解题的周密性，为讨论过程打下坚实的基础，进一步提高学生的数学思维能力，从而提升數学课堂教学的效率。

参考文献

[1]王晓玲.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].理科爱好者（教育教学），2020（03）：99+101.

[2]但雪莲.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].新课程（中学），2019（05）：63.

[3]朱华梅.分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究[J].考试周刊，2018（95）：101.