切中肯綮，培养数学逻辑思维能力

李飞

【摘 要】逻辑思维是以抽象概念、判断和推理为基本形式，通过分析、综合、比较、抽象、概括等思维过程将思维内容加以联结和组织，从而反映事物的本质特征和规律性联系的一种高阶思维模式，对于培养及提升学生的数学思维具有积极的教学效用。因此，本文以培养学生的逻辑思维能力为切入点，探讨在数学课堂中系统性地引导学生逻辑思维发展的可行措施，以真正建构起高品质的高中数学课堂。

【关键词】高中数学;逻辑思维;核心素养

逻辑思维是一种理性思维，也是一种学习数学必须具备的高阶思维。在引导学生从感性认识上升为反映客观事物本质及规律性联系的理性认识的过程中，学生思维的有序性、系统性、发散性等诸多方面的思维品质都能获得良好的发展与提升。因此，从这个思路出发，本文主要围绕推导公式、抓住特征、举一反三、多元猜想、归纳演绎、分析综合这几个方面进行具体探讨，以引导学生逐步建构起逻辑思维模型，实现从具象思维到抽象思维、低阶思维到高阶思维的提升与跨越。

一、推导公式，探讨因果话题

逻辑思维可以理解为学生运用表象和概念进行分析、综合、判断、推理等认识活动的思维形式。具体到高中数学的教学过程中，我们可以通过对公式的推导来帮助学生经历与体验知识的建构过程，让学生不仅“知其然”，更能“知其所以然”，以此来推动学生逻辑推理水平的提升。

例如，以等比数列的前n项和来讲，求和公式比较复杂，当公比q=1时，Sn=na1;当q不等于1时，Sn=a1（1-qn）/（1-q）或 Sn=（a1-an*q）/（1-q），学生在应用这一公式的时候很容易混淆或者是记不起来，这很大一部分原因就在于学生并没有真正理解这一公式的实际意义。因此，教师要在课堂上让学生自主探索经历这一公式的推导过程。其实在推导等比数列前n项和公式的时候，我们运用的是错位相减法，写出Sn=a1+a2+a3+...+an（公比为q）及q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a（n+1），兩式相减，再经过计算化简就可以得到求和公式。这样学生不仅能加深对这一公式的理解，了解公式的形成过程，也能在记不起公式的时候根据这一推导过程再进行推理，这对学生来说效果会更好。

数学公式是表征事物数量之间关系的一种表达形式，对于公式的推导可以引导学生将公式的学习由被动的接受知识转化为主动的思维训练，这样学生才能理解公式的形成过程与其中隐含的数学思想和方法，加深对公式的理解，并为公式的灵活运用打好基础。

二、抓住特征，引导层层递推

数学推理的过程中很重要的就是要层层递推，避免出现自相矛盾、混乱或者跳跃的情况，把握其中的递推关系，这讲究的就是思维的逻辑性。因此要想从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题，教师就要引导学生把握思维过程与思维方法的逻辑性，遵循严密的逻辑规则展开层层推理，确保有根有据、条理分明、前后连贯。

以一道数学题目来讲：函数f（x）=-x2+（2-b）x，x≤0;（2b-1）+b-1，x>0在R上为增函数，则实数b的取值范围为（   ）

A.[1，2]           B.（ 1/2，2 ]

C.（1，2]           D.（1，2）

很明显这是一个分段函数，分为x≤0和x>0两个区间。这道题切入点也就是要抓住的特征就是函数为增函数，那么要想满足这个条件，首先函数在x≤0的范围内是单调递增的，这时候函数为二次函数，要满足对称轴大于等于0这一条件：2-b/2≥0。第二个函数在x>0时也是单调递增的，这时函数为一次函数，需满足斜率大于0的条件：2b-1>0。最后函数的区分点，也就是x=0时也要满足递增的趋势，可以得到0≤b-1的式子，三个等式一联立，便可求出实数b的取值范围。

也就是说，教师可以通过问题引领的方式，通过设计由浅入深、由易到难、环环相扣、前后呼应的问题链，引导学生在问题的驱动下抓住知识的本质特征，主动探索与触及知识的本质，这样学生才能完整经历分析问题、思考问题、解答问题的逻辑性推理过程，进行有意义的知识建构。

三、举一反三，尝试逆向推理

《论语》有云：“举一隅，不以三隅反，则不复也。”这说明的就是学生举一反三能力的重要性与其非凡的价值。而要想有计划、有意识地提升学生举一反三的能力，教师就要善于引导学生不断挖掘思考的深度和广度，也就是垂直思考和发散性思考的意识与能力，让学生做一题，学一法，会一类，通一片，以此来提升数学思维的灵活性与变通性。

以一道数学题目来讲：若关于x的三个二次方程：2x2+3ax-4a+3=0，x2+（a-5）x+2a2=0，x2+2ax-7a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。如果按照常规思路去解题的话，我们要去考虑的情况是非常多的，包括方程1有实数根或者方程2或者方程3只有一个方程有实根，以及方程1、方程2与方程3中任意两个有实根以及三个方程都有实根的情况，可以说是非常繁琐且复杂的。但要想解答这道题，我们可以反其道而行之，只去计算三个方程都没有实根这一种情况，再取它的补集即可，这也是我们在解答一些数学题目的时候要应用的解题新思路。

同时，教师也不能忽略对学生的逆向推理能力的培养。这也是引导学生从多种角度、多个方向去思考问题的时候要囊括进去的思维类型。逆向也就是反向，当常规思路不能或者是不便于推理出最后结论时，学生要树立起“反其道而行之”的意识，敢于打破常规思路，摆脱思维定势，这样反而会起到意想不到的效果。

四、多元猜想，学会想象发散

爱因斯坦曾经说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力则概括了世界上的一切，它推动着进步，并且是知识进化的源泉。”这在一定程度上揭示了“猜想”在知识学习特别是在数学教学中的重要性。教师要善于引导学生在已有的知识积累与事实经验的基础之上，合理恰当地运用猜想去探究数学知识、解答数学问题。