高中数学解题中分类讨论思想的应用

段继华

摘 要：在高中阶段的学习中，数学解题是较为困难的内容，也是学生能力较为薄弱的方面，对解题方法不能够做到灵活使用，加上教学方式不合理，使得学生知识理解和掌握不牢。随着新课程改革的深入，为了满足新课程改革要求，弥补以往教学中的不足，应当加强学生解题能力培养，转变课堂教学观念，引入分类讨论思维，强化学生数学思维，深刻体会数学问题内涵，提高课堂学习效率。本文阐述分类讨论思想的概念，分析应用的原则，探究高中数学解题中分类讨论思想的应用策略。

关键词：高中数学;解题教学;分类讨论思想;应用策略

高中数学解题中，分类讨论是重要的数学思想方法，特别是一些结论不是唯一的题目，不能对其统一形式的研究，部分题目需要使用字母表示数，字母取值不同，其解决也会不同。因此，在实际的数学问题解答中，需要根据问题的情况进行分类，将复杂问题转化成小问题，完成问题思考和解答，简化解题过程，提高学生解题能力。

一、利用分类讨论思想解决函数问题

在高中数学教学中，函数是教学的重点内容，函数解题是重要的解题类型，要求学生具备一定的思维能力，函数题目在高考中占有较高的比重。因此，在函数问题解题教学中，注重分类讨论思想的引入，简化问题复杂程度，帮助学生理解题目。一般来说，函数题目复杂多变，涉及的变量参数较多，对解题结果有着很大的影响。在解题中，引导学生利用分类思想，对不同参数产生的结果进行逐一探索，创新学生解题方式。例如，人教A版高中数学“函数的概念和表示”的教学中，为了加深学生函数性质和概念的掌握，引入例题开展分类讨论活动。例题：已知函数，且x≠0，当a的值是多少时，函数是一次函数。

此题是属于典型变量问题，作为教师需要引导学生分三种情况讨论，第一：当2a+1=1且a+3≠0时，即a=0时，函数是一次函数，y=7x-5;第二：当2a+1=0时，即a=式，函数是一次函数，解析式为y=4x-5;第三：当a+3=0时，函数是一次函数，解析式为y=4x-5。通过这样的分类讨论活动，对确定函数是一次函数的已知条件进行分析讨论，通过对其进行逐一的讨论分析，完成函数问题的思考和解答，提高学生解题能力。在上述解题过程中，结合一次函数概念开展分类讨论，得到问题的答案，实现学生数学综合能力培养。

再如，已知函数f（x）=2x²-2ax+3，在区间[-1，1]上有最小值，记作g（a），求解g（a）的函数表达式。

此题涉及二次函数的对称轴知识，在解题时，需要根据对称轴的不同位置，开展分类讨论，完成题目思考和解答。

将原式进行配方可以得到y=2（）²+3-，其对称轴是x=。

当≤-1时，y在区间[-1，1]上单调递增，当x=-1时，g（a）=2a+5

当-1<<1时，x=有最小值，g（a）=3-。

当≥1时，y在区间[-1，1]上单调递减，当x=1时，g（a）=5-2a。

当a的取值不同，g（a）的表达式不同。

二、借助分类讨论思想解答概率问题

概率是高中数学中的重要内容，是高考中必考的考点之一，为了提高学生概率解题效率，引入分类讨论思想，培养学生分类讨论意识，寻找概率问题解题方式，提高学生解题能力。例如，人教A版高中数学“概率”教学中，教师可以引入古典概率问题，开展分类讨论活动。例题：在某个学校高三班级中，为了参加学校运动会，选出18名学生作为接力赛预备选手，从1到18进行编号，如果从中任意选择3人，选出运动员编号是以3为公差的等差数列的概率是多少？为了保证学生能够准确解题，教师可以引导学生利用分类讨论思想进行解题，首先，让学生计算出基本事件是17×16×3，并且运动员编号设为Yn=Y1+3（n-1），当Y1=1时，运动员从1、4、7、10、13、16选择，可以有四种组合方式。其次，当Y1=2时，同样有四种选择，当Y1=3时，依然存在四种选择方式。通过这样的方式，可以准确计算出本题的答案。通过分类讨论的方式，优化概率教学方式，考虑变量的变化形式，保证计算的准确性。在概率问题解答中，注重学生读题习惯培养，根据具体问题进行分类讨论，采取正确的分类方式，明确问题解题思路，分类讨论思想的应用，帮助学生准确解题，锻炼学生问题思考能力，强化学生数学思维能。

三、利用分类讨论思想解答排列组合问题

排列组合是高中数学学习中的难点内容，排列组合问题是学生非常头疼的题目，特别是排列组合类型的综合题，教师可以以问题作为基础，根据实际情况让学生灵活利用知识，完成问题的分析和解答。在解题过程中，注重学生审题，从题目中发掘有效信息，对其进行整合，寻找问题解答方式。在实际的解题中，让学生深入理解题目，发掘题干中的有效信息，通过归纳和总结，开展分类讨论，最终完成问题解答。例题：在1到9中，任意选出3个数，其和是3的倍数，合适的选择方式有（ ）种。

在题目解答中，需要对题目进行分析，对1到9的数字按照除以3余数的不同可以分成3组，想要选出3个数字的和是3的倍数，要么在同一组选3个，要么是3个组各选1个，同组选3个有3种选择方式，3组各选1个的选法有27种，因此，一共有30种选择方式。

再如，在四面体上，頂点和各棱中点一共有10个点，从中任意选择四个，不同的取法有（ ）种。

在解题时，引导学生对题目进行分析，从10个点中任意取4个点，可以分成四点同面和不同面两种情况，四点共面可以分成三种情况，第一：在四面体的同一个面的有10种选择方式;第二，取棱上3点以及该棱对棱的中点的有6种;第三，由中位线构成的平行四边形有3种。将总的取点总数减去不符合题干要求的3类，一共有141种取法。面对此种类型题目，乍一看很难找到解题思路，通过对题干进行发掘分析，找出隐藏的信息内容，寻找正确的解题方式，利用分类讨论思想，正确解答出答案。

四、借助分类讨论思想解决不等式问题

不等式问题是学生解题中的难点，面对不等式问题解题，需要引导学生进行不等式的变形或者位置变换，将未知数和已知数分开，便于计算。对于简单的数字和未知數的不等式，可以通过变形移位的方式解答，对于复杂的不等式，需要引导学生考虑数字或者式子的符号，对于不等式存在根号的情况，引导学生引入分类讨论思想，根号内的结果不能小于零，这些内容是不等式学习时具备的知识。例题：求解不等式[（n-1）×（n-5）]÷[（n+2）×（n-6）]>0。

在解题时，需要让学生知道，含分母的题目，首先要考虑分母不为零的情况，首先可以确定n≠-2、n≠6，接下来是去分母的问题，两边同时乘以分母，这时需要考虑同时乘以一个式子，其结果是正还是负，考虑分母（n+2）×（n-6）的正负问题，开展分类讨论分析。通过分母大于零和小于零两种情况的结果，通过数轴展示出来，完成n的取值范围的计算。

再如，假设m∈R，求解关于x的不等式：m²x²+2mx-3<0。

分析：在此题解答中，需要对m是否为零进行讨论，通过分类讨论找出对应不等式的解集。

当m=0时，原不等式为-3<0，对于任意x∈R都成立。

当m≠0时，不等式转化成（mx-1）（mx+3）<0，求解得-3

当m>0时，求解得出，当m<0时，求解的。综上可知，当m=0时，不等式的解集是R。当m>0时，不等式的解集是{x|}，当m<时，不等式的解集是{x|}。

题目主要考查学生对字母表示的一元二次不等式的解法和应用，根据字母系数开展分类讨论，夯实学生基础知识，提高学生知识应用能力，锻炼学生解题能力。

五、利用分类讨论思想解决集合问题

在高中数学题目中，集合题目是重要的内容，占据的比例相对较多，在集合问题解题时，需要根据集合之间的关系，以及集合和集合元素的关系，对其进行合理分类，完成问题的思考和解答。一般来说，集合题目的形式大多是填空和选择，需要学生计算解决问题。在实际解题教学中，需要对集合分类标准进行明确，考虑集合的特殊情况，扩展学生解题思路，提高学生解题效率。例题：设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x²，x∈A}，且B包含C，求解实数a的取值范围。

解析：当-2≤x≤a时，z=x²的范围和实数a的正负号有关，|a|和2的大小有关，对a进行分类讨论。因此，A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，所以B={y|-1≤y≤2a+3}。

当-2≤a≤0时，C={z|a²≤z≤4}。因为B包含C，所以，4≤2a+3，a≥，与-2≤a≤0矛盾。

当0

当a>2时，C={z|0≤z≤a²}，因为B包含C，所以a²≤2a+3，-1≤a≤3，所以2

在集合问题解题中，利用分类讨论思想解题，根据特定的集合概念，对其进行分类讨论，寻找问题解题思路，完成问题的思考和解答。

结束语

在高中数学解题中，引入分类讨论思想，提高学生课堂学习效率，构建高效数学课堂，推动高中数学教学进一步发展。因此，作为高中数学教师，需要全面分析分类讨论思想，将其和数学解题有效结合，加强学生解题训练，帮助学生掌握分类讨论应用方法，让学生能够做到举一反三，培养学生创新思维，提高学生数学综合素养。

参考文献

[1]张玉杰.高中数学解题教学中分类讨论思想的培养思路浅述[J].求知导刊，2020（1）：52-53.

[2]胡向斌.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].学周刊A版，2020，008（008）：85-86.

[3]田文英.分类讨论思想在高中数学解题中的应用实践[J].软件（教育现代化）（电子版），2020，000（001）：177.

[4]史雪梅.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].数学大世界（上旬版），2018（2）.