函数基本性质的易错点分析

贾中伟

(广东省佛山市容山中学 528303)

一、不理解定义域和单调性的联系

例1 已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2]，且在区间[-2,0]上递减，则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为( ).

①

又f(x)为奇函数，且在[-2,0]上单调递减，所以f(x)在[-2,2]上单调递减.所以f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).即1-m>m2-1，解得-2

②

综合①②可知，-1≤m<1.

故实数m的取值范围是[-1,1).

易错点分析只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域，即没有考虑满足1-m∈[-2,2]且1-m2∈[-2,2].

二、实际问题转化不当致误

例2 如图1所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm，点P以1 cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达点A时，P，Q两点同时停止移动.记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为s=f(t)，则f(t)的图象大致为( ).

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综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A.

易错点分析将函数图象与实际问题相结合，需要用数学语言描述实际问题，在这里极易出现转化不当致误.

三、对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误

例3若函数f(x)=x2+2ax+4的单调递减区间是(-∞，2]，则实数a的取值范围是____.

解析因为函数f(x)的单调递减区间是(-∞，2]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-a，所以有-a=2，即a=-2.

易错点分析单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义.

四、忽略分类讨论

解析因为函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，对称轴x=1，且f(x)在区间[a，a+2]上的最小值为4，所以当1≤a时，f(x)min=f(a)=(a-1)2=4，解得a=-1(舍去)或a=3.

当a+2≤1，即a≤-1时，f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4，解得a=1(舍去)或a=-3.

当a<1

易错点分析本题容易出现讨论不全，即不能够正确讨论对称轴在所给区间的左侧、右侧和中间三种情况.

五、求复合函数单调区间致误

易错点分析求复合函数的单调区间应按照“同增异减”的法则，因此在求解函数的单调性时首先要判断所给函数是不是复合而成的.

六、忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误

例6 判断下列函数的奇偶性：

易错点分析要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称).有时还需要在定义域制约条件下将f(x)进行变形，以利于判定其奇偶性.