形式花样迷人眼 拨开云雾见分明——浅析定义型试题的分类解答

王苏文

(浙江省诸暨市浬浦中学 311824)

自深化高考改革以来，高考考查从知识立意转移到能力立意上，特别是随着新教材中研究性课题的引入，高考也加强了对创新意识的考查力度.所谓创新就是对新颖的信息、情境，能选择有效的方法和手段，综合地运用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的方法.在高考中经常可见一类题型的考查，即定义型试题，这些试题时常令部分学生束手无策，尤其是平时依赖于题型套路解题的这类学生更是如此.从平时的高考题中可将此类定义型试题分为三类：机械型定义题、拓展型定义题、概念型定义题，下面通过一些实例来浅析试题的分类解答.

一、机械型定义题

所谓机械型定义题，就是所给信息以一种运算形式，按照给定的运算规则进行运算，此类问题按部就班进行运算就可得到正确结果，一般易解答.

例1 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d；运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)；运算“⊕”为：(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d)，设p,q∈R，若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)，则(1,2)⊕(p,q)=( ).

A.(4，0) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，-4)

分析解决此题的关键主要是对“⊗” “⊕”两种运算符所表达的运算理解是否正确.

解析由(1,2)⊗(p,q)=(5,0)，结合(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad)，得 (p-2q,2p+q)=(5,0).

根据规定,得p-2q=5,2p+q=0.

故p=1,q=-2.

由(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),得(1,2)⊕(p,q)=(2,0).故选B.

例2 设集合S={A0,A1,A2,A3}，在S上定义运算“⊕”为：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3.则满足关系(x⊕x)⊕A2=A0的x(x∈S)的个数为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

分析本题是对⊕的运算及下标的正确理解.

解析根据题意“⊕”的运算为Ai,Aj间的运算，因此设x⊕x=Ak，则(x⊕x)⊕A2=A0变为Ak⊕A2=A0.由k=0,1,2,3，结合余数为0，则k=2.即x⊕x=A2.

又被4除的余数为2，故x=A1或x=A3，故选B.

二、拓展型定义题

所谓拓展型定义题，根据题目所给的信息与我们所学的知识具有一定的类似性，希望利用所学知识中类似的方法灵活变通地去求在新定义下的结论.

例3定义集合A-B={x|x∈A且x∉B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,3,6}，则N-M为( ).

A.MB.NC.{6} D.{1,2,4,5}

分析借助于集合运算，得出新的集合运算形式.

解析根据A-B的定义，N-M表示为集合N中的元素除去在M中的元素，因此N-M={6}.

例4 对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1| ，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||;②在△ABC中，若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;③在△ABC中，||AC||+||CB||>||AB||.其中真命题的个数为( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

分析本题是对“距离”的一种新定义，结合原有距离概念下的相关知识，获得结论进行拓展是否也同样成立.

解析1 对于①，若点C在线段AB上，设点C坐标为(x0,y0)，则x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，所以||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x1-x2|+|y1-y2|=||AB||成立，故①正确.

对于②，在直角坐标系下如图1所示，||AC||=c+d,||CB||=a+b,||AB||=e+f，则||AC||2=c2+d2+2cd，||CB||2=a2+b2+2ab.

结合图形，a+c=f,d-b=e,||AB||2=e2+f2+2ef=(d-b)2+(a+c)2+2(b-d)(a+c)，显然||AC||2+||CB||2=||AB||2不一定成立，此命题不成立.

对于③，在△ABC中，||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|,利用不等式|a|+|b|≥|a±b|,得||AC||+||CB||≥|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，故③不一定成立.所以真命题的个数为1，故选B.

解析2 本题中的②③真假判断可用赋值法进行甄别，如②：取A(-1,2),B(4,2),C(0,0)，显然，||AC||2+||CB||2>||AB||2;③取A(-1,0),B(0,1),C(0,0)，显然||AC||+||CB||=||AB||.

三、概念型定义题

所谓概念型定义题，简单地讲就是对一个题目的新包装，只是一个名称，具体还是要利用原有的知识和方法来求解，此类型不在于具体称作什么，仅仅是个代号.

A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.

例6 一个函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在f(x)的定义域内，就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.

解析(1)f1(x),f2(x)是“保三角形函数”，f3(x)不是“保三角形函数”.

对于f3(x)，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32<52，所以不存在三角形以32,32,52为三边长，故f3(x)不是“保三角形函数”.

总之，对于定义型试题的求解，关键还是如何正确理解题意，从中获取有用的信息，在明晰运算对象的基础上，准确把握运算规则，从而有效解决问题.