数学抽象素养的培育实践

周先华

摘  要：数学抽象是数学学科核心素养的六大内容之一. 在均值不等式教学中，通过对均值不等式的几何意义、证明和拓展问题的探究，发现不等式与平面几何、三角、函数与导数等知识之间的内在联系，进行了一次有效的数学抽象素养培育尝试.

关键词：数学抽象;高考评价体系;均值不等式;核心素养;实践探索

2019年11月出版的《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）明确构建了“一核”“四层”“四翼”用于指导高考改革与高考命题的测评体系. 其中，“四层”是高考的考查内容，而学科素养在这“四层”中起着承上启下的作用，既承接核心价值的方向引领，又统摄关键能力与必备知识等内容. 学科素养既是基础教育的培养目标，也是高等学校选拔人才的要求. 它把《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中的学科核心素养与高校选拔人才时的素养要求进行了完美融合，构建出了适合高考的测评体系，并分为学习掌握、实践探索和思维方法这三个一级指标. 其中，思维方法又分为科学思维、人文思维和创新思维这三个二级指标. 而数学抽象是数学学科中最重要的一种思维方法，也是高考数学命题中最受关注的数学学科核心素养.

一、数学学科核心素养培育视角下的数学抽象

数学抽象，是通过观察与分析，抛开数学对象外部的、偶然的东西而抽象出其本原，从空间形式与数量关系上揭示数学对象本质的一种数学思维方法. 作为《标准》中规定的高中数学学科核心素养之首，数学抽象是高中数学中最重要的思维方法. 作为一种创造性思维方法，数学抽象主要包括同向思维、逆向思维、悖向思维和审美直觉思维这四种基本方法. 从学科素养培育的角度观察，数学抽象主要表现在以下四个方面：获得数学概念和规则，提出数学命题与模型，形成数学思想与方法，认识数学结构与体系.

培育数学抽象素养，就是积累从具体到抽象的活动经验，从而达到下列目标：使学生能更好地理解数学概念、命题、方法和体系;能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质;能逐渐养成一般性思考问题的习惯;能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题.

《标准》对数学抽象的上述目标进行了细化，分为从弱到强的水平一、水平二、水平三，其量化标准对高中数学教学具有极强的指导意义. 下面通过均值不等式的教学，对数学抽象素养的培育进行实践探索.

二、均值不等式的探究

故结论得证.

【评析】问题2是问题1的拓展与延伸，使用分析法容易得证. 在证明结论的同时，我们要认真体会拓展均值不等式中的四个代数式的本质的一致性，即[a-b2≥0]. 在理解前面的命题及其推证的基础上，仍然通过类比解决新的问题，体现了《标准》中数学抽象素养的水平二：能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则;能够将已知数学命题推广到更一般的情形;能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题;能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法，理解其中的数学思想. 根据已经证明的数学命题推导出新的命题，意味着数学概念与规则的获得;延伸命题的推证，意味着数学命题与模型的提出，并在此推导过程中初步形成数学思想与方法.

【评析】本探究将不等式、平面几何、三角函数、导函数等知识与方法进行整合，寻求在知识的交会处探究问题的内在联系. 探究均值不等式的代数本质和几何本质，既体现了《体系》中构建的“四翼”中的综合性和创新性要求，也体现了《标准》中数学抽象素养的水平三的要求：能够在得到的数学结论的基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题……能够感悟通性、通法的数学原理和其中蕴涵的数学思想.

在比较[P，Q，R]的大小时，以角度为自变量来构造函数，再利用研究函数最值的一般性方法——导数法求得函数的最值，从而比较大小. 这是对学生的创新性思维的要求. 不等式判断（或证明）本质上是函数的最值问题. 数学抽象就是要剥去所研究的数学对象的“外衣”，寻求其数量与空间的本质，并在此过程中形成数学思想与方法，从整体上认识数学知识的结构. 因此，上述探究过程的核心就是数学抽象能力的形成过程.

在上述四个问题的探究过程中，我们可以感受到，在高中数学教学过程中，数学抽象素养的生长点非常多. 从数学概念的生成、数学命題与数学规律的获得、数学模型的提出与建构，到数学思想方法的形成，再到对数学结构与体系的感悟与认识，数学抽象无处不在. 在教学中，教师要善于发现并充分利用这样的契机，以核心价值为引领、以数学知识为载体，培育学生的数学学科核心素养.

参考文献：

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