数学运算视角下的解析几何复习教学

摘  要：以数学运算素养为主要视角，在剖析解析几何学科特点、分析学生认知基础的基础上，确定解析几何复习教学的目标，构建解析几何复习教学的思路与框架.

关键词：数学运算;解析几何;复习教学

运算既是数学的基本特征，也是解决数学问题的基本手段. 解析几何与数学运算具有天然的联系. 一方面，解析几何是发展学生数学运算素养的良好载体;另一方面，解析几何问题往往需要借助数学运算来解决. 与新課教学相比，复习教学不仅涉及面广、内容多，而且处于学生学习“总—分—总”中第二个“总”的阶段，更需要强化知识的整体性与联系性，需要从数学学科核心素养视角加以审视和设计.

一、数学运算视角下的解析几何学科特点

数学运算素养具有思想性、概念性、综合性、技能性与层次性;数学运算过程可分为理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果、检验运算结果七个环节.

解析几何中的数学运算与其他数学运算相比，既有共性，也有差异. 解析几何中，运算对象通常是点和曲线所对应的坐标与方程，以及长度、角度、面积等几何量. 运算目标是弄清楚曲线的大小、形状与位置关系，证明几何结论或求得几何结果. 运算条件是点、直线、圆锥曲线及其形状、大小和位置关系. 运算思路：一是坐标化，把几何条件转化为代数方程，通过方程运算来解决问题;二是数形互助，即由“形”启“数”、寻找运算的目标、思路与方法，再借助“数”对“形”进行定量研究和精准分析. 运算方法通常是解方程或方程组，并对刻画几何对象的代数表示式进行变形. 运算结果是得到相应的代数结论. 运算结果检验是指检查方程的适用条件与适用范围、方程与曲线的等价性，给出代数结论的几何解释.

解析几何中的运算是借助几何条件与图形性质，为解决几何问题而进行的运算，不是纯代数运算. 这在很大程度上决定了解析几何中的运算应充分发挥“数”与“形”两方面的特点与优势，尤其是应充分利用图形的性质来发现运算思路、简化运算程序.

二、数学运算视角下的学生解析几何认知基础

学生已经学习了高考所要求的高中解析几何全部内容，对直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程已经有基本的了解或理解，也能借助方程进行求解或证明，但他们对解析几何基本思想的理解还很肤浅，解题往往停留在通过机械训练获得的条件反射水平，对解题思维的自然性、合理性缺乏应有的理解. 在数学运算方面，学生通常有较强的运算技能，但缺少运算思想、运算策略的指引，运算过程往往是“摸着石头过河”，比较盲目，数学运算素养并不高.

学生解决解析几何问题的难点往往不在于解析几何知识本身，而在于解析几何与其他知识的综合;不在于运算技巧与方法，而在于思维，在于如何寻找合理的运算思路与方法;不在于运算的难与繁，而在于心理上怕难、怕繁. 为此，在复习教学时，教师应该加强解析几何知识与其他相关数学知识的联系，尤其应建立非人为的、实质性的联系;应在运算思路与方法的寻找、运算思维的自然性与合理性上下功夫;应把作为知识和技能的运算教学与作为习惯和品性的运算教学有机结合起来.

三、数学运算视角下的解析几何复习教学目标

数学运算视角下的解析几何复习教学目标是学生能深化对解析几何基本思想与基本方法、曲线与方程关系的理解，能用代数语言把几何条件和几何问题转化为代数条件和代数问题;能根据具体问题的情境与特点，建立适当的平面直角坐标系，并自觉通过建立方程、求解方程解决有关几何问题;能自觉按数学运算的基本步骤（理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果、检验运算结果）求解，能通过数学运算促进规范化思考问题的习惯、一丝不苟的科学精神和工作不怕繁难的个性品质的养成.

四、数学运算视角下的解析几何复习教学指导思想

数学运算视角下的解析几何复习教学指导思想是强化数学运算素养教学与坐标法思想教学的融合、智力因素与非智力因素的融合、探究运算主导思想与突破运算特定难点的融合;强化把几何条件、几何问题转化为代数条件、代数问题的思路与方法，强化运算思路、运算方法形成的缘由、依据、过程与方法，并让学生经历包括理解运算对象、探索运算思路、检验运算结果等在内的完整运算过程.

五、数学运算视角下的解析几何复习教学框架

1. 解析几何中数学运算的背景与缘由

数与形是同一数学对象的两个不同方面. 数具有精确、便于计算的优势;形具有形象、直观的优势. 正所谓“数缺形时少直观，形缺数时难入微”. 数与形的优势互补是解决数学问题的制胜法宝. 例如，借助图形，我们可以猜想图1中点A，B，C很可能共线，图2中点D，E，F，G很可能共圆，图3中直线l与圆[O]很可能相切，但很难准确判定.

运算是数学的“基本功”，对以上问题的定量研究、精确刻画离不开数学运算. 在解析几何中，我们把曲线看作是点按一定条件运动所成的轨迹，把方程看作是点的坐标按一定条件变化所成的关系式. 由于点与有序数对之间存在一一对应关系，因此点的坐标与方程的解之间也存在一一对应关系，我们可以通过方程来研究曲线，进而解决图形的“计算”问题.

【设计说明】深化学生对解析几何产生背景与缘由、坐标法的理解，帮助学生学会判断在怎样的情形下该用坐标法，促进学生自觉运用坐标法解决相关几何问题. 因为解析几何的核心不在于求解方程，而在于面对没有坐标系和方程的几何问题，怎样想到借助曲线的方程来解决. 另外，明确解析几何中数学运算的背景与缘由，有助于增强数学运算的思想性，进而更好地用运算的“道”引领运算的“术”.

2. 解析几何中数学运算的条件与目标

明确几何条件的含义与特征是把几何条件转化为代数条件的前提和基础. 例如，我们基于直线的“直”及圆上的点到定点的距离等于定长，建立直线和圆的方程;基于点在曲线上，得到点的坐标满足该曲线的方程. 在把几何条件转化为代数条件的过程中，应把优化曲线的方程作为优化运算的一部分. 为了使曲线的方程更简洁、更便于研究曲线的性质，受直线方程[y=kx，] 圆的方程[x2+y2=r2，] 关于原点和坐标轴对称的两个点的坐标关系的启发，通常以曲线的中心为原点、对称轴为坐标轴建立平面直角坐标系.

除了明确如何把几何条件转化为代数条件外，还需要明确如何把几何目标转化为代数目标. 例如，要判断曲线的类型和形状，只需要弄清楚相应方程的特征;求证两直线平行或垂直只要证明它们的斜率相等或互为负倒数;求证曲线关于某点或某直线对称只要证明该曲线上任一点关于某点或某直线的对称点也在该曲线上，即该曲线上任一点关于某点或某直线的对称点的坐标满足该曲线的方程;要求某几何量的最值或取值范围需要建立该几何量与另一个几何量的聯系，用代数表达式刻画这种联系，再利用函数性质、函数工具等求出.

【设计说明】揭示将几何条件、几何目标转化为代数条件、代数目标的策略与方法;明确方程的本质是曲线几何特征的代数表示，弄清楚建立曲线方程的策略、方法与注意点;促进学生自觉、自然地把几何问题转化为代数问题.

3. 解析几何中数学运算的思路与方法

解析几何中数学运算的思路与方法首推坐标法. 即借助坐标系和方程，把几何条件、几何目标“翻译”成代数条件、代数目标.

例1 （2019年浙江卷·15）已知椭圆[x29+y25=1]的左焦点为[F，] 点[P]在椭圆上且在[x]轴的上方，若线段[PF]的中点在以原点[O]为圆心，[OF]为半径的圆上，则直线[PF]的斜率是      .

分析：（1）观察已知条件，并把它们转化为代数形式. 由点F为椭圆[x29+y25=1]的左焦点知，点F的坐标为[-2，0.] 点[P]在椭圆上且在[x]轴的上方，即点[P]的坐标[x，y]满足[x29+y25=1 y>0.] 以原点[O]为圆心，[OF]为半径的圆用方程表示即[x2+y2=4]. 线段[PF]的中点即[x-22， y2.] 此中点在圆[x2+y2=4]上，即[x-222+][y22=4.]（2）观察目标，并明晰达成此目标所需要解决的代数问题. 要求直线[PF]的斜率，由于点F的坐标可知，因此只要求点P的坐标[x，y，] 这样只需解方程组[x29+y25=1 y>0，x-222+y22=4.]

解析几何中的数学运算应充分利用几何图形内在的性质. 因为解析几何要解决的是几何问题，解析几何最大的特点与优势就是数与形的融合. 在例1的解决中，如果能意识到圆的直径所对的圆周角是直角，并由“中点 + 直角”想到△EFF2是等腰三角形（如图4），再利用椭圆的定义求解，则运算量会减少很多.

例2 （2020年浙江卷·15）直线[y=kx+b k>0]同时与圆[x2+y2=1]和[x-42+y2=1]相切，则k的值为       ，b的值为       .

分析：此题如果直接把几何条件“翻译”成代数条件[bk2+1=1， 4k+bk2+1=1，] 则运算量相对大一些. 如果画出图形（如图5），并注意到这两个圆关于切线对称，则能快速求得结果. 为了能有效发现和利用图形的几何性质，审题和解题时不仅需要细致地观察，也需要在观察的基础上展开想象，尤其是从运动变化的视角进行想象.

例3 （2020年全国Ⅰ卷·理20）已知点A，B分别是椭圆[E： x2a2+y2=1 a>1]的左、右顶点，点G为椭圆E的上顶点，[AG ∙ GB=8.] 点P为直线[x=6]上的动点，PA与椭圆E的另一个交点为点C，PB与椭圆E的另一个交点为点D.

（1）求椭圆E的方程;

（2）证明：直线CD过定点.

分析：易求椭圆E的方程为[x29+y2=1]. 要证明直线CD过定点，不仅需要通过观察图形弄清楚点与点、点与直线、直线与椭圆的关系，还需要借助想象弄清楚直线CD是由哪个量决定的，甚至猜想定点是什么. 由椭圆关于x轴对称和点P关于x轴的对称点也符合条件可知，定点必在x轴上（如图6）.

解析几何中的数学运算应充分挖掘和利用曲线及其方程中所蕴含的条件. 例如，椭圆[x2a2+y2b2=1]中不仅蕴含着它上面任一点到两焦点的距离之和为2a，也蕴含着条件[b2+c2=a2.] 因此，求椭圆的离心率只需要再找一个关于a，b，c的方程，求椭圆离心率的取值范围只需要再找一个关于a，b，c的不等式.

解析几何中的数学运算应注意借助方程思想和函数思想. 所谓方程思想，就是考虑问题中含有几个未知量，为了求出这些未知量能列出几个关系式（即方程），然后借助方程求解. 解析几何中，不仅求点的坐标、曲线方程，以及椭圆、双曲线的离心率经常用到方程思想，消去众多关系式中的参数也经常用到方程思想. 由于解析几何问题中的几何量是相互联系的，一个量的变化会引起并决定另一个量的变化，因此许多解析几何问题需要利用函数思想、函数方法来解决. 例如，解析几何中的最值问题、一个量的取值范围问题实际上往往是以解析几何知识为背景的函数问题. 这些问题需要在列出相关函数关系式的基础上，利用函数性质和函数工具求解.

解析几何中的数学运算应避免不必要的繁杂计算和讨论. 有时可以对一些在解题过程中出现的中间量“设而不求”. 例如，对含有字母的直线方程与圆锥曲线方程，如果已知它们的一个交点或易求它们的一个交点，那么利用根与系数关系求解另一个交点的坐标，往往可以避免在后续运算中出现根号;再如，例3中，设点P坐标为[6，t，] 由于点A，B是直线与椭圆的公共点，因此点C，D的坐标宜借助根与系数关系得到. 有时为了避免讨论直线的斜率是否存在，会设与x轴相交的直线的方程为x = my + n;设焦点在哪条坐标轴上不确定的椭圆的标准方程为[x2m2+][y2n2=1 m>0，n>0，m≠n.]

4. 解析几何中数学运算经验的积累与优化

解析几何中的数学运算应在弄清楚运算对象、运算条件、运算目标、运算思路的基础上，形成清晰的解题主导思想和思维框架，然后实施具体运算. 例如，要想证明例3中的直线CD过定点，可以先明晰如下解题主导思想.

（1）基本方法：坐标法，即通过求出直线CD的方程来证明.

（2）要证直线过定点，只要证明它的方程中只含有一个参数. 因为不含参数的直线方程表示特定的直线，含有两个参数的直线方程几乎可以表示平面内的任意直线.

（3）为了得到只含有一个参数的直线CD的方程，可以设法用点P的坐标[6，t]表示点C，D的坐标，也可以设直线CD的方程为[y=kx+b，] 然后利用题设建立关于k，b的关系式，再消去它们中的一个.

当然，例3也可以先探求得到定点[32，0，] 然后证明这个定点在直线CD上. 但是无论怎样，具体运算前应尽可能明晰解题的主导思想，应有意识地培养学生三思而后行的运算习惯，并鼓励学生在坚定信念的支撑下完成繁难运算.

解析几何中数学运算的核心在于运算思维，而不是运算技巧. 教学时，教师要引导学生在运算对象、运算条件、运算目标的分析上多花时间，在运算思路与方法的探索和寻找上多花时间，在运算难点的突破上多花时间. 应该鼓励学生通过对解题思路与方法的反思，有意識地积累运算经验、优化运算方法、提升运算素养. 真正做到为迁移而教、为迁移而学.

5. 解析几何中数学运算心理和习惯的优化

任何问题的解决都离不开认知与情感两个方面. 针对学生普遍存在的运算怕难、怕繁心理，教师应做好运算不怕难、不怕繁的示范和表率，并通过具体运算案例破除学生运算怕难、怕繁的心理. 针对学生运算粗心大意、低级错误经常发生的现象，教师不仅要培养学生一丝不苟、严谨细致的运算习惯，还要控制作业总量，为学生养成良好的运算习惯提供时间上的保障. 应通过具体的运算案例和解题感悟，有意识地培养学生运算的信心、细心、耐心，培养学生有条理、程序化地解决问题，以及检查与复核的习惯.

六、结束语

六大数学学科核心素养是一个既相对独立、又相互交融的整体，教师应该清楚地看到数学运算素养背后蕴涵的数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学建模，应清醒地意识到解析几何教学需要培养学生包括数学运算素养在内的六大数学学科核心素养. 为了使六大数学学科核心素养的培养都能落到实处，数学教学宜统筹规划、整体安排，根据不同内容中所蕴涵的数学思想方法，系统地、各有侧重地对学生加以培养.

参考文献：

[1]李昌官. 数学运算素养及其培养[J]. 数学通讯（下半月），2019（9）：1-5.