让传统板书成为激发数学思维的支架

陈算荣 董琳琳 陈建祥

摘  要：在传统板书逐渐被现代媒体板书取代的当下，有必要为其发声. 等比数列前[n]项和公式是高中数学的重要公式之一，在引导学生探究等比数列前[n]项和公式的过程中，很多教师的处理浮于表面，没有达到探寻方法实质的效果，学生的思维并没有得到主动发展. 抓住知识的本质，巧妙利用传统板书，可以有效引导学生进行类比思考，从而帮助学生主动发现错位相减法，体验探寻公式推导方法的过程.

关键词：传统板书;等比数列;數学思维;教学支架

一、引言

“等比数列前[n]项和”经常出现在高中公开教学选题中，不仅因为等比数列前[n]项和公式是高中数学的一个重要公式，也因为其推导过程中蕴涵着类比、特殊到一般等数学思想方法，是培养学生数学运算和逻辑推理等素养的落地点. 然而，很多公开教学课在公式推导探究过程中出现“有形无实”的现象，忽略公式生成过程的教学，并没有很好地发展学生的数学思维，体现和落实核心素养.

在日常教学中，一些教师在引导学生探究等比数列前[n]项和公式的推导时，表面上让学生类比等差数列前[n]项和公式的推导，但是对于类比什么、如何类比的处理不尽如人意. 学生在等比数列前[n]项和公式的推导过程中虽然能够体会到倒序相加法行不通，但是寻找合适的方法的过程却被教师的“替代思维”给淹没了. 教师往往急于告知学生“是什么”，至于“怎么样”和“为什么”学生不得而知. 因此，学生并没有真实经历发现和理解错位相减法的过程. 这样的教学会导致学生死记硬背公式，而体会不到公式推导过程中的数学本质和数学之美.

上述现象的出现和问题的存在，究其原因，主要有以下三个方面：（1）教师对公式推导方法的知识本质分析不到位;（2）教师对启发学生思考及落实核心素养的路径不清晰;（3）很多教师在使用幻灯片等多媒体技术进行等比数列前[n]项和公式教学时，忽略了对传统板书的价值开发.

基于这些问题及诊断，我们开展了教学设计思考和教学实践. 本文旨在通过呈现公式推导关键部分的教学实施片断，以及相应的板书设计和使用，阐明如何在教学过程中抓住知识本质，巧用传统板书，引导学生思考和探索等比数列前[n]项和公式的推导方法，帮助学生把握错位相减法的实质，感悟数列求和过程中蕴涵的数学思想. 同时，让学生充分感受等比数列前[n]项和公式表露出来的数学之美，加深学生的印象，营造高效的数学课堂.

二、教学实施片断

课的开始，教师先给出问题情境：古印度的国王舍罕王打算重赏国际象棋的发明者宰相西萨·班·达依尔，问他想要得到什么赏赐. 这位宰相跪在国王面前说：“陛下，请您在国际象棋棋盘的第一个小格内赏给我1粒麦子，在第二个小格内赏给我2粒麦子，在第三个小格内赏给我4粒麦子，依此类推，每一个小格内的麦子数量都是前一个小格内的麦子数量的2倍. 陛下啊，请把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王能满足宰相的要求吗？

然后，教师引导学生从中提炼出要解决的数学问题：麦粒总数=[1+2+22+…+263]. 接着，教师引导学生表述：这是一个求以[1]为首项、[2]为公比的等比数列前[64]项和的问题. 由此引出本节课的课题.

下面是妙用板书促进学生思考和探索等比数列前[n]项和公式的教学过程.

1. 关联旧知

教师提出：为了探索等比数列前[n]项和公式，我们不妨先来解决这个具体的数学问题. 如何求以[1]为首项、[2]为公比的等比数列前[64]项的和？

教师将这个具体数列求和的式子板书在主板书左侧，编号为①.

教师在巡视过程中发现大部分学生借鉴等差数列求和的方法，运用倒序相加法得到等式[2Sn=263+1+][262+2+…+231+232]，但都无法继续求解.

教师启发：追本溯源，为什么等差数列可以用“倒序相加法”求和而等比数列却不能？请同学们回到这两类数列的定义进行思考.

经过启发，学生领悟到这两类数列的本质区别：等差数列是后一项与前一项的差为定值，等比数列则是后一项与前一项的比为定值. 在等差数列求和的过程中，由等差数列的通项公式可以得到[a1+an=2a1+][n-1d=a2+an-1=…]，然而在这个具体的等比数列问题里，则有[1+263≠2+262≠22+261≠…]，无法构造出类似等差数列中的两项和相等的形式，所以“倒序相加法”行不通.

教师在学生讲述的过程中用板书辅助，见副板书的右侧. 副板书如图1所示.

教师追问：等差数列能用“倒序相加法”求和是由等差数列的定义和通项公式的特点这个核心知识决定的. 那么，类比思考，要寻找适合求等比数列前[n]项和公式的推导方法，我们应该从等比数列的哪些知识入手呢？

教师追问的意图是让学生意识到要抓住等比数列的定义及通项公式，寻找适合的方法构造相同项.

为了进一步启发学生思考，教师指出：等差数列前[n]项求和公式的推导是通过构造相同的项，达到减少项数的目的，进而化简求和. 我们不妨借鉴这个思路，结合等比数列的特点进行求和. 教师在讲解过程中辅以板书，见图1的左侧.

【实施意图】图1是一幅完整的副板书，呈现的目的是将等差数列求和公式推导过程中的重要知识点有条理地罗列出来，作为学生类比思考和继续探究的支架. 既唤醒学生的先验知识经验，又启发学生迁移“减少项数”的思想，结合等比数列的特点进行公式推导. 简洁醒目的板书既能帮助学生迅速把握重点，也能够体现数学的简洁之美.

2. 问题解决

教师提问：让我们再次思考如何化简[S64=1+2+][22+…+263]. 同学们先独立思考，然后以四人为一个小组交流探讨.

教师巡视、聆听并参与个别小组的讨论，发现一部分学生尝试在等式两边同时乘以[2]，但没有考虑到关联原等式;也有部分学生写成[21=222=…=263262=2]，然而，学生没有学习过合分比定理，不能想到构造[2+22+…+2631+2+…+262]，故不知道后面如何继续探究.

在此情况下，教师进一步启发：有一些同学写成[21=222=…=263262=2]的形式，但是不知道如何利用. 能想到这个形式非常好，但是由于我们现有的知识有限，暂时还不能有效利用它，课后老师补充知识后再一起探究. 另外，还有些同学在等式两边同时乘以[2]，得到了一个新等式，得到的这个新等式与原等式之间有什么关系呢？请大家一起看黑板思考.

这时，教师板书两个等式，将学生构造出的新和式写在原和式①的正下方，让每一项对齐，并标编号②，如图2所示.

两个等式规整对齐能让学生感受数学的对称之美，也便于学生发现相同项之间的位置关系，为后续教学做铺垫.

在教师的启发下，学生发现两个等式中有很多相同项. 这时，教师及时追问：这些相同项的位置有什么特点？学生不难发现他们的位置是错开的. 这时，教师用斜线连接上下两项错位的相同项，帮助学生直观感受，并将两个等式重新写成相同项对齐的方式，框选相同项部分，如图3所示.

教师启发：怎样利用两个等式中的相同项，达到减少项数的目的呢？

教师一边启发一边指着副板书的左侧说：减少项数，构造相同的项.

经过启发，学生联系解方程时“消元”的经验，将两式相减消去相同项，计算得到结果[S64=264-1].

教师进一步启发：因为这些相同项的位置是错开的，我们给这个方法取个什么样的名字呢？在问题导引下，学生类比之前“倒序相加法”的起名方法，取名“错位相减法”，这个名称就自然诞生了.

接下来，教师在黑板上板书学生的思考过程，如图4所示.

【实施意图】在尝试自主探索的过程中，学生依据前一环节教师的启发铺垫，把思考的重点放在如何利用等式前后两项的关系上. 对于这一關系，学生自然会有不同的利用形式，其探索过程处在边走边看的态势，故而教师的适时引导很重要. 图2和图3是把学生的思维显性化和直观化，也给予学生更直接的视觉冲击.

3. 归纳提升

教师引导：梳理一下刚才的问题解决过程，能利用错位相减法解决等比数列求和问题的根本原因是什么？实现减少项数的过程中，我们利用了等比数列的什么知识？

在教师的引导下，学生总结得出：因为等比数列的前一项乘以公比[2]以后就变为了后一项，我们运用的是等比数列的定义和通项公式的特点. 教师这时在副板书左侧的图中增加“等比数列的定义”字样，再增加箭头，写上“错位相减法”，形成图5，从而在同一个图中体现两类数列求和过程的共性和区别.

【实施意图】图5是对副板书左侧的完善，呈现等差数列和等比数列前[n]项和公式的推导方法的探索路径，让学生意识到两者的基本路径是一样的，方法的不同取决于等差数列和等比数列定义的本质不同，这是一种类结构化路径的体现.

4. 类比迁移

教师提问：类比刚才的求和过程，如何求以[a1]为首项、以[q]为公比的等比数列的前[n]项和[Sn]呢？

教师在主板书上板书一般等比数列的求和式，便于学生类比首项为1、公比为2的等比数列的前64项和[S64=][1+2+…+263]的化简过程，如图6所示.

【实施意图】学生根据具体等比数列求和问题的解决经验，完全有能力主动进行知识迁移. 教师在此过程中注意引导学生对公比[q]讨论分析. 教师根据学生的汇报，完善求和公式的推导过程. 至此，公比[q≠1]的等比数列前[n]项和公式推导完成.

教师启发：利用错位相减法推导得到公比[q≠1]时等比数列前[n]项和公式[Sn=a11-qn1-q=a1-anq1-q]. 整体分析等差数列和等比数列的求和公式的推导过程，你是否把握了数列求和的关键？

本节课主板书和副板书最终呈现效果，如图7所示.

【实施意图】回顾本节课的探究经历，学生深切感受到数列求和应该结合数列本身的特征，在此基础上寻找适当的方法减少求和式的项数，以化简求和. 整个过程中主板书既引导学生进行数学思考，又再现学生的思维结果，将求和公式推导过程完整展示. 从板书布局上看，左右对比，体现由特殊到一般的数学思想;从公式书写上看，上下对称，体现数学的对称美与简洁美.

三、实践反思

在数学课堂教学中，教师不应该仅利用板书呈现知识和问题解决的过程，更应该注重利用板书激发学生进行数学思考. 上述实例中，教师利用副板书激活学生的先验知识经验，利用主板书启发学生进行数学思考，引导学生探索错位相减法的本质，推导等比数列求和公式，主、副板书巧妙联系起来，体现知识之间的联系与区别. 总体上看，整个板书是对数列求和知识点的浓缩，突出知识间的整体性和差异性，帮助学生构建完整的知识体系. 这样的数学教学不仅有利于提升学生的数学思维能力，让学生深刻体会到数学教学的形象性、审美性，而且自然地利用学生已有的先验知识，进行类比、迁移和创新，直至内化，有效达到了培养和发展学生数学学科核心素养的目的.

板书艺术作为数学教学艺术中不可缺少的一个组成元素，在数学课堂教学中发挥着重要作用. 它既是教师头脑中知识结构的再现和课堂设计的缩影，又是学生进行自主知识建构的模板和学生认知的“脚手架”. 同时，板书是促进师生互动、提高课堂教学效率的有效辅助手段. 巧妙运用板书，有助于启发、引导学生进行数学思考，帮助学生主动发现解决问题的方法和策略，从而促进学生数学学科核心素养的发展.

在信息技术迅猛发展的当下，传统板书逐渐被多媒体所取代，这一现象需要引起教师的重视. 数学学习重在培养学生的数学思维，传统板书有助于教师引导和呈现学生思维的发生、发展过程. 希望此文能给一线教师带来一些启迪，并引发对数学课堂传统板书的重视和研究.

参考文献：

[1]张倩. 中学数学几何教学板书设计研究[D]. 上海：上海师范大学，2018.

[2]陈算荣. 数学核心素养落地课堂：五“E”教学模式解析[J]. 中学数学教学参考（下旬）2017（11）：62-64.

[3]陈算荣. 核心素养视角下数学教学实施的理论与实践：基于“等比数列的前[n]项和”同课异构的比较与评价[J]. 教育研究与评论（中学教育教学），2019（5）：62-67.

[4]田文波，田静波. 新课程下板书设计的重要性[J]. 课程教育研究，2013（31）：55-56.