基于多元表征完善CPFS结构

陆建

摘  要：在数学概念教学中，实施多元表征教学，有利于学生完善CPFS结构，优化概念认知，促进概念的理解融通. 椭圆概念的表征形式有模型表征、操作表征、方程表征、轨迹表征等. 运用多元表征教学时要注意两点：增加结点，丰富连线;合理取舍，把握时机.

关键词：多元表征;CPFS结构;椭圆

南京师范大学喻平教授提出了CPFS结构理论，其中个体CPFS结构是指学生头脑中的知识网络，是学生在数学学习中特有的认知结构. 它由下列四个概念组成：概念域（Concept field），指学生在学习一个概念时头脑中形成了一组等价定义;概念系（Concept system），指学生在学习新概念时头脑中形成了一组相关概念及相互之间的关系;命题域（Proposition field），指学生在学习命题后头脑中形成了一组命题;命题系（Proposition system），指学生头脑中贮存了一组命题，以及相互存在的推理关系.“CPFS”即概念、命题、域、系四个单词的首字母缩写. 相关研究指出，CPFS结构对学生的数学理解、学习、迁移、探究问题、解决问题等能力都会产生直接的正面影响. 因此，CPFS结构理论对数学教学具有很好的指导意义，它要求教师努力完善学生的知识网络，帮助他们形成完备的认知结构.

多元表征是指对一个信息加工对象，通过心原码的建构过程，对信息进行编码并形成多种转译，从而形成对信息的多元化表征形式. 学生能用不同的形式表征数学概念，实现多元表征的融合转化，形成相对完善、精致的概念网络是对数学概念理解融通的标志. 有研究表明，个体形成的CPFS结构与问题表征有密切联系，具备优良CPFS结构的学生更能合理、正确地表征问题，进而有效地解决问题. 可见，在数学概念教学中，完善学生CPFS结构，有利于实施多元表征教学，优化概念认知，促进概念的理解融通. 下面以“椭圆”概念教学为例，谈谈这方面的思考，敬请批评指正.

一、“椭圆”概念的多元表征

1. 模型表征：追寻原始形态，感受几何魅力

数学概念是从大量数学现象甚至现实事物中比较、概括、抽象得到的，大多数概念都有一段厚重的历史，往往是经过数学家艰辛探索、反复求证、逐步完善得到的. 而在现实教学中，教师常常忽略概念的形成过程，直接教授学生现成的结论，学生无法体会到概念背后发现的曲折、探索的艰辛、思维的跌宕. 正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说，没有一种数学思想是以它们被发现时的样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解丢一边，使得火热的发现变成了冰冷的美丽. 数学概念教学应追寻概念产生背后的思考，挖掘数学家当年的思维轨迹，让学生感受数学家当初的困惑，重走数学概念发现之路，激起学生的认知冲突和探索兴趣，使数学概念的产生自然而然、水到渠成. 笔者从以下几个问题切入，引导学生理解椭圆的概念.

问题1：用一个既不与圆锥的轴平行、垂直，又不与母线平行的平面截圆锥面，所得到的截线具有什么几何特征呢？

若用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥面，所得截线是一个圆，此时若在截面的上方、下方各放一个球，两球与圆锥面及截面均相切，则两个球与截面的切点均与截面圆心重合，截线上任一点到切点的距离为定值（截面圆的半径）. 由此联想到问题1，如图1所示，若改变截面的位置，使截面既不与圆锥的轴平行、垂直，又不与母线平行，那么截线上的点满足什么几何性质呢？设点[M]为截线上任一点，由于此时切点由1个变为2个（点[F1]和点[F2]），类比前面的思考，自然想到需探究[MF1]与[MF2]的关系，抑或它们具有什么不变的性质.

1822年，比利时数学家旦德林构建了双球模型，该方法利用纯几何知识，构建了椭圆的概念，构思精巧、论证严谨，渗透了数学之美，充分彰显了几何知识的魅力. 教师充分利用模型表征，追寻数学家探究的历史轨迹，描绘椭圆概念发现的原始形态，在数学家的“废纸篓”里找回火热的思考，发展了学生的直观想象和数学抽象素养，渗透了数学文化教育.

2. 操作表征：积累活动经验，彰显概念内涵

建构主义认为，数学学习并非一个被动的接受过程，而是一个建立在学生已有知识结构和经验基础上的主动建构过程. 按照这种观点，最好的学习方法就是“做数学”. 正如弗赖登塔尔所说，数学是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳中学会游泳. 我们必须在“做数学”中学习数学. 没有经过比较分析、抽象概括、演绎归纳等深刻思维活动得到的概念是空洞的、标签式的，是没有灵魂的符号. 因此，在概念教学中，教师要以活动为载体，让学生在“做数学”中，经历深度的思维，学会数学地思考，积累数学活动经验，从而把握数学概念的内涵.

问题2：给你一根定长的细绳，两枚图钉，一支铅笔，能画出椭圆吗？

将细绳的两端分别利用图钉固定在点[F1，F2]，用铅笔尖将绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，观察笔尖的移动（即动点的变化），其数学特征是笔尖的每一个位置到两个定点的距离之和不变，都等于细绳的长度，显然画出的图形是一个椭圆.

问题3：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心O的点[F]，将纸片折起，使圆周过点[F]，如圖2所示. 然后将纸片展开，就得到一条折痕[l]. 这样继续折下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的图形的轮廓，它们形成了什么曲线？

学生形成了椭圆的概念后，并不代表学生真正理解了概念，还需要从不同的角度进行抽象概括，以固化概念本质属性，深化学生对概念的理解. 教师通过“画”“折”这两个活动，形成操作表征，让学生在“做数学”中感悟椭圆的定义，虽然我们在操作过程中花了很多时间，但学生积累了更多活动经验，丰富了认知结构，概念域也逐步趋于完善，发展了直观想象、逻辑推理素养.

3. 方程表征：构建数量关系，揭示本质特征

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，坐标系的建立，使得点可以用坐标表示，曲线可以用方程刻画，进而使得通过代数方法研究曲线成为可能. 建立椭圆的概念后，仅从形的方面我们尚不能全面地认识、理解它，还需要从数的方面探索椭圆的代数表示，使得数与形完美结合，从而使形的研究能够插上数的翅膀. 正如法国数学家拉格朗日所指出的，代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当两门科学结成伴侣时，它们就能相互吸收新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善.于是接下来要探究的自然是：围绕椭圆的几何条件，挖掘椭圆上动点坐标满足的数量规律，建立椭圆的方程，进而发挥代数的力量，借助方程研究椭圆的几何性质.

问题4： 如何建立椭圆的方程？（推导过程略.）

这里，我们用数量关系与符号语言准确、简洁地表征了椭圆的概念和椭圆的标准方程，建立了椭圆的几何特征与数量关系之间的有机联系. 椭圆的概念从几何特征上反映了椭圆的本质属性，而椭圆的标准方程则从数量关系上抽象出椭圆的本质规律. 运用椭圆的标准方程可以帮助学生从不同视角理解椭圆的概念，完善其概念域，解释和验证不同情境中椭圆不同呈现形式的同一性.

问题5与问题6都是从椭圆的方程表征入手，进行等价变形，从距离与斜率出发，由数到形认识椭圆的几何特征. 通过椭圆的方程表征建立统一结构，打通多种几何刻画之间的相互联系，把椭圆的相关性质予以统一，既抽象了椭圆的本质属性，又丰富了椭圆的CPFS结构.

4. 轨迹表征：注重知识关联，完善概念体系

世界是联系的，联系是有规律的，站在联系的角度认识事物，有利于把握事物的本质与规律. 由于数学知识联系紧密、逻辑严谨、结构紧凑，因此数学学习要突出知识之间的相互关联，在联系中理解知识的整体性和逻辑性，从而认识数学对象的本质，形成良好的认知结构. 学习、理解椭圆的概念，要基于联系的视角，立足圆锥曲线整章学习，做到“瞻前顾后”，绝不能单打独斗、孤立片面. 接下来，要进一步探索椭圆的多种表征方式，以丰富概念域，完善概念系.

此处，我们仍然是从运动变化的角度探究椭圆与双曲线的联系，展现了数学的统一美与和谐美. 其实，椭圆可以由双曲线生成，双曲线也可以由椭圆类似地生成，它们是互为“伴随曲线”的. 全新的视角、多元的表征，带给学生一个“不一样”的、超凡脱俗的椭圆，至此对椭圆的理解透彻深刻，完善的CPFS结构悄然生成.

二、两点思考

1. 增加结点，丰富连线

CPFS结构理论启示我们，数学概念教学的重要目标是形成和完善学生的概念域、概念系及相关的知识网络. 在CPFS结构中，数学概念等知识点处于结点的位置，而结点之间的连线常包含着重要的数学思想方法，由此形成的知识网络结构是知识与方法的复合体. 结点和连线越多，任意两个结点之间的通路也就越多，网络也就越有效、越强大. 因此，形成和完善概念域和概念系的基本途径是增加概念结点的数量，丰富概念之间的方法连线.

椭圆概念的多元表征，提供了认识椭圆的不同视角，使得围绕椭圆的知识结点充足有效，而多种表征形式之间的相互沟通、融合、转化，使结点之间的联系更加紧密. 在表征转换过程中，运用了定义法、直接法、转移法、参数法、交轨法等求动点轨迹的基本方法，渗透了运动变化、选参消参、对立统一等数学思想，极大地丰富了知识结点之间的连线，有利于形成多元联系、结构紧密的CPFS结构，有利于发展学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象、数学运算等素养.

2. 合理取舍，把握时机

尽管椭圆的概念有多种表征，但并非越多越好，由于学生在一节课中所能接受的内容是有限的，故不可能把所有的表征形式全教给学生，事实上，过多的表征信息可能会造成学生理解上的困难和混乱，反而得不偿失. 因此，教师要根据教情和学情，合理选择表征形式，同时要把握好各种表征形式出现的时机. 模型表征是渗透数学文化、优化直观想象素養的好素材，但图形复杂且过于抽象，因此教学中要做好铺垫，使探究自然、过渡顺畅、避免突兀. 同时，要发挥多媒体的作用，尽量减轻学生认知上的负担. 对于操作表征，“画椭圆”可以借助几何画板软件来完成，“折纸片”可以让学生课后实践操作，体验感悟. 三种形式的方程表征是教学的重点，要认真探究，要突出代数式的变形，培养学生的数学运算能力，引导学生挖掘代数式的几何背景，深刻体会方程是曲线的“代数表示”. 对于轨迹表征，要结合具体的例题、习题，循环往复、螺旋上升，在不同的学习阶段分散讲解，让学生在问题解决中体会椭圆的本质属性. 在高三复习阶段，可以围绕椭圆概念的表征，专门设计微专题复习，力求见微知著，帮助学生系统地总结归纳，使学生对椭圆的认知由分散、不完整的印象上升到集中、完整的理解，形成更加牢固的、关于概念对象和结构的陈述性知识，再通过椭圆概念在解决相关问题中的反复应用，巩固程序性知识，最后逐步完善概念域和概念系，形成结构优良，易于提取、迁移的CPFS结构.

参考文献：

[1]喻平. 数学学习心理的CPFS结构理论[M]. 南宁：广西教育出版社，2008.

[2]吕程，周莹，唐剑岚. 多元表征：探寻数学智慧课堂的一把密钥[J]. 教育与教学研究，2012，26（6）：107-110，114.

[3]喻平. 个体CPFS结构与数学问题表征的相关性研究[J]. 数学教育学报，2003，12（3）：10-12，16.