基于多元表征 促进全面理解

陆建

[摘 要] 两角差的余弦公式有多种表征形式，从多元表征的视角实施两角差余弦公式的教学，有助于学生从多角度深刻理解公式、把握公式，从而发展学生的数学思维能力，提升学生的数学核心素养. 本文从多元表征的教学价值、表征形式的合理选择、表征出现的顺序设计、表征理解的持续深化等方面对两角差余弦公式的教学提出了建议.

[关键词] 表征；多元表征；理解；两角差的余弦公式

表征作为认知心理学的核心概念之一，是指在对象不呈现的情况下，替代这个对象的任何符号或符号集[1] . 在数学教育领域，数学表征本质上是指能够反复替代某一数学学习对象的任何符号或符号集. 数学表征可区分为内在表征和外在表征，即以语言、文字、图形、符号、具体物或实际情境等反映数学学习对象的外在形式和存在于个体头脑里而无法直接观察的心理活动的表征[2] .

根据认知心理学和教育心理学领域中对多元表征的定义：同一学习对象用叙述性表征和描绘性表征的多种形式表现出来，数学多元表征的定义基本上与认知心理学、教育心理学中一致，是指同一数学学习对象应该具有的多种表征形式. 它能够具体形象地刻画一个数学对象的多元属性，而且各种表征形式之间往往是相互渗透、相互联系、相互转化的. 运用多元表征有助于学生全面理解数学对象的本质、加深对数学对象的认识，从而完善认知结构，形成稳固的知识体系，进一步提升数学素养.

两角差的余弦公式是高中数学必修4第三章第1节的内容，此前学生已经学习了任意角三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式，具备了公式推导的基础. 同时它又是推导和角余弦公式、和（差）角正弦及正切公式、倍角公式的基础，不仅公式本身渗透了转化与化归的思想，而且公式的推导过程也蕴含了丰富的数学思想方法，具有较高的思维价值和教学价值. 高一年级学生刚刚从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡，是运用多元表征形式优化思维训练、深入理解数学对象的关键阶段.从多元表征的视角理解两角差余弦公式的教学，对于学生提高对公式的理解，发展学生的数学思维能力，顺利实现初高中数学学习的衔接都有积极的意义. 本文拟从多元表征的视角，谈谈对两角差余弦公式教学的一些思考，恳请同仁批评指正.

“两角差的余弦公式”的多元表征

两角差的余弦公式具有丰富的表征形式，可以用叙述性表征和描绘性表征进行刻画，教师应尽可能全面地梳理它的多种表征形式，为合理设计课堂教学方案准备充足的素材.

1. 符号表征：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，也可简略地刻画为“cc+ss”. 符号化是数学高度抽象性和概括性的反映，运用符号表征，可以帮助学生牢固掌握公式的结构特征，培养学生的理性思维能力；简洁优美的公式蕴含了数学之美、数学之简、数学之奇，有利于提高学生的数学审美情趣和数学鉴赏能力.

2. 文字表征：两角差的余弦等于它们的余弦之积加上正弦之积的和，也有教师为便于记忆，把它形象地描述为“阔阔加莎莎”. 学生能够多用精练准确的文字语言表述公式，这不仅有利于对公式的准确理解和长时记忆，还有助于提升学生数学语言的修养和表达交流的能力.

3. 向量表征：构造起点为原点O，终点分别在单位圆上的向量a，b，并设a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），则a·b=cosαcosβ+sinαsinβ，可以证明a·b=cos（α-β），于是就有cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.运用向量表征，充分发挥了向量数形兼具的本质属性，揭示了向量与三角函数的联系，体会向量在解决三角问题中的工具性作用，为后续学习奠定基础.

4. 距离表征：在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于点P0，以Ox轴为始边分别作出角α，β，α-β，其终边分别和单位圆交于点P1，P2，P3（如图1），则这几个点的坐标分别是（1，0），（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），（cos（α-β），sin（α-β））.

由△P1OP2？艿△P0OP3得，P1P2=P0P3. 再根據两点间距离公式可得P1P =2-2（cosαcosβ+sinαsinβ），P0P =2-2cos（α-β），从而公式成立. 距离表征沟通了三角函数定义与公式的联系，运用两点间的距离公式表征等式两端，巩固了解析法的应用，渗透了解析几何的基本思想.

图1

5. 图形表征：通过构造平面几何图形，将α，β，α-β“镶嵌”其中，用相关线段表示三角函数，以形助数，运用图形的几何性质推导公式，实现数与形的有机结合和高度统一，从而感悟数学和谐、体验数学美感. 当α，β为锐角时，可构造如下图形（如图2、3） [3]：

图2

再设OB=1，不难推导cos（α-β）=OA=OC+CA=cosαcosβ+sinαsinβ.

6. 情境表征：通过创设生活情境引出两角差的余弦公式，让学生经历建构数学模型和数学应用的过程，激发探究的动力和学习的兴趣，增强应用意识，领悟公式的应用价值.

情境1：如图4是我们学校教学楼架设网络管线的桥架，因创建“智慧校园”的需要，想把它焊接改造为较大的桥架（如图5）[4] ，试确定最佳焊接点E.

图4

图5

我们可以从中抽象出如下数学问题，在Rt△ABD中，∠ABC=∠AEC=90°，∠DAB=α，∠CAB=β，AC=1，求AE的长.

对AE进行“算两次”，一方面AE=cos（α-β），另一方面AE=AD-DE=

-CDsinα= -（BD-BC）·sinα= -（cosβtanα-sinβ）sinα=……=cosαcosβ+sinαsinβ，从而同样可以得到公式是成立的.

情境2：小王同学过生日，在切蛋糕时发现了一个数学问题. 表述如下：现把一个圆形蛋糕抽象为单位圆，并置于坐标系中（如图6）[4]，设∠AOC=α，∠BOD=β，α，β>0，α+β< ，现沿OA，OB切两刀，试探究△AOB面积，从中你能发现什么结论呢？

这里可对△AOB面积“算两次”，首先S△AOB= cos（α+β），其次S△AOB=S矩形OCED-（SRt△AOC+SRt△BOD+S△ABE）=cosαcosβ- ·cosαsinα+ cosβsinβ+ （cosα-sinβ）·（cosβ-sinα）= （cosαcosβ-sinαsinβ）.

所以cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，再用-β代β，即可得差角的余弦公式.

7. 模型表征：通过用△和□表示单角、复角、任意角甚至任意实数，这样公式变成cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□，模型表征能够帮助学生理解公式的结构特征，体会公式对任意角均成立，从而明确公式应用的广泛性.

对“两角差的余弦公式”的教学思考

学生学会数学的一个明显标志就是会对各种表征进行系统间的转换和互译. 两角差的余弦公式处于和差角公式、倍角公式的“上位”，是推导其他公式的基础，充分地理解并运用这个公式对后面学习将起到事半功倍的效果. 笔者建议专门用一节课学习该公式，让学生充分地经历公式的探究发现过程，领悟各种表征形式的实质，引导多元表征的转化和互译，建立各种表征形式之间的联系. 因此合理利用各种表征，优化教学设计，提高课堂效率是值得研究的.

1. 对多元表征的教学价值要充分认识

智力的核心是思维，思则明，明则通，通则变. 思维能力是学习和获得数学知识的主要能力，著名教育家赞可夫曾说过“教会学生思考，这对学生来说是一生最有价值的本钱”，因此培养思维能力是公式教学的一项主要任务. 在两角差的余弦公式教学中，如果照本宣科，缺少挑战性问题的驱动，那么就很难激发学生探究的欲望.若从多元表征的视角，通过精心设计的问题引领，一定能吸引学生的眼球，调动学生的内驱力，从而加密学生思维的宽度、拓展学生思维的深度，对培养发散思维、优化思维品质大有好处，同时也有利于学生养成多角度思考问题的习惯，自觉形成将知识进行联系迁移的意识.

在实际教学中，不少教师对公式的表征一带而过，不愿意在多元表征上下工夫，而把教学的重点放在公式应用、习题操练上，是典型的“公式教学草草收场，题目训练匆忙登场”的现象，学生对差角的余弦公式似懂非懂、死记硬背，从而影响了知识的良性接受. 究其原因是教者平时缺少学习钻研、缺少归纳提升，对多元表征不理解、无思考.因此我们要深入钻研教材，博采众长，加强学习，提升对教学内容的理解. 在两角差的余弦公式教学中，合理选择表征形式、恰当安排表征出现的顺序，引导帮助学生建立各种表征形式之间的联系，不断提高学生对这种系统间或系统内表征的转化与互译能力，从而全面准确地理解公式，掌握其中蕴含的数学思想方法，长此以往，对提高学生的知识迁移联系能力、提升学生的数学素养大有帮助.

2. 对表征形式的选择要合理务实

尽管两角差的余弦公式有多种表征形式，但并非越多越好，由于学生在一节课中所能接受的信息量是有限的，要想把所有的表征形式全交给学生，既做不到也不可能. 事实上太多的表征信息可能会造成学生理解上的困难和混乱，反而得不偿失. 因此，必须根据教情和学情，对表征形式做出合理的选择.

数学语言包含文字语言、符号语言、图形语言，能否用這三种语言表征数学对象并能进行相互转换，是数学思维成熟的标志之一. 文字表征、符号表征、图形表征是三种基本形式，对理解两角差的余弦公式必不可少. 教学中应紧扣文字表征和符号表征，而图形表征在于说明可以用几何图形表示两角差的余弦公式，但由于构图复杂、技巧性强、适用范围窄，学生在短时间难以想到，还是留给学生课后思考或研究性学习更为合适.

新课程实施模块化教学，对各模块教学顺序没有统一规定，各学校往往采取不同的顺序展开教学，如1→2→3→4→5，1→4→5→2→3，1→4→2→5→3等等，在必修4教学前学过必修2，则可引入距离表征；但若先学必修4，则距离表征就不适宜了. 另外情境表征在运用时也要慎重，这两个情境虽然生活气息浓厚，背景也比较熟悉，但理解有一定困难，不易从中抽象出数学模型，而且情境1对三角变换要求很高，情境2由于没有学习过正弦定理，在计算△OAB面积有一定的难度.所以情境表征不宜作为课堂引入的材料，可以作为探究题，布置学生课后研究拓展，对公式进行再认.

3. 对表征出现的顺序要精心设计

各种表征出现的不同顺序安排会影响学习者对学习对象的理解，应该在仔细分析教学内容的基础上，在遵循学生认知规律的前提下，以符合知识发展的逻辑连贯来安排表征出现的顺序.

就两角差的余弦公式而言，笔者认为可采用“向量表征→距离表征→符号表征→文字表征→模型表征”的呈现顺序.首先以苏教版必修4第90页上的22题为引例，创设问题情境，引入向量表征，形成对该公式的感性认识；然后再构造向量严格证明，进一步完善对向量表征的认识，并利用苏教版必修4第104页探究题，在向量表征的基础上，以向量模的计算公式为依据，运用距离表征证明该公式，进一步形成理性认识；然后用符号语言概括公式特征、分析结构特点，并进行文字语言表征；强调公式对任意角均成立，提炼出模型表征. 这样的设计基于学生完成向量知识的学习，并紧扣教材，符合“最近发展区”的理念，应该说是比较合理的.

4. 对多元表征的理解要持续深化

两角差的余弦公式是学生接触的第一个三角恒等变换公式，复杂难记，不可能一次完成整个认知过程，教学中要重视公式的推导和发现过程，重视三角变换中的思维过程和其中的数学思想方法，在后面的教学中要持续深化，采取措施促进学生对多元表征的理解.

学生熟练把握公式的模型表征是对该公式学习的最高境界，要将对模型表征的理解贯穿于整个三角变换公式的教学过程之中，比如以-β代换β推出“α+β”的余弦公式，以 -（α-β）代换α-β推出“α-β”的正弦公式，令α+β=θ，α-β=φ推出和差化积公式等等，在角的代换过程中，逐步把握模型表征的内涵，理解整体代换的方法和化归与转化的思想. 在习题课教学中，诸如（α+β）-（α-β）=2β，α+ - =α，2α+ =2α- + 等利用已经角与欲求角之间的关系，来解决问题的题型，也是训练学生理解模型表征的好素材. 教学中可联系苏教版必修4第113页15题及阅读栏目《弦表与托勒密定理》，布置研究性学习材料，鼓励学生参与构造图形验证公式，从而深化对图形表征的理解.此外公式的正用、逆用、变形应用，添置辅助角公式等都能巩固符号表征，强化学生对知识的联系与迁移，完善自身的认知结构.

参考文献：

[1] 艾森克MW，基恩MT. 认知心理学[M]. 高定国等译. 上海：华东师大出版社，2002：361-368.

[2] 胡云学等. 基于多元表征的平方差公式教学研究[J]. 数学通报，2014（3）：33-35.

[3] 洪昌强，陈淑丽. 让学生的思维在教学中自然流淌[J]. 中学数学教学参考：上旬，2013（1/2）：25-27.

[4] 魏韧.追求自然朴实的数学教学[J]. 数学通报，2014（11）：16-18.