精选例题资源 提升教学品质

蒋昊

[摘 要] 高考题或模拟试题是经过命题者反复思考酝酿的，一般都具有较高的研究价值和教学运用价值. 在高三课堂教学中，教师应该充分研究历年试题，不要单纯以“新旧”作为选题的标准，应站在发展学生数学思维的高度，筛选出经典问题作为我们例题教学的素材，从而提升高三复习课的教学品质.

[关键词] 例题；高考题；教学

问题提出

“例题教学”是中学数学教学的核心，是学生完善知识体系，培养应用能力的重要途径，是教师必备的教学能力之一. 做好例题教学的关键是选好题，而选择什么样的例题？题目的出处是哪里？这些也是需要教师认真思考的问题.高考题或模拟试题是经过命题者反复思考酝酿的，一般都具有较高的研究价值和教学运用价值. 教师在充分研究试题的基础上，深入挖掘题目内涵，加强对解题方法的提炼、总结和归纳，这样才能上出高效的高三复习课. 此外，选题时不应只关注近年来的高考题或模拟题，只要是经典问题，能反映课堂教学主线的都是好题，可以选用. 教师切忌以“新旧”作为选题的标准. 在高三二轮复习时，笔者以1995年全国高考理科卷第26题为载体与学生一起探究此题的解法，并提炼出求解轨迹方程的一般方法. 现将教学过程及感悟记录如下与同行交流.

试题评析

题目：已知椭圆 + =1，直线l： + =1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足OQ·OP=OR2. 当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

本题是一个解几综合题，涉及苏教版必修二（第2章）“平面几何初步”和选修1-1（第2章）“圆锥曲线与方程”的相关知识. 其中涉及的“直线的方程”在高考中为C级要求，“中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质”为B级要求. 解答本题关键为利用“OQ·OP=OR2”此条件解得Q点轨迹方程. 学生解答此题的难度主要有：（1）学生读题作图有一定的障碍；（2）从通法着手本题拥有的计算量较大；（3）在解答中会忽视对原点的考虑. 综上认为此题为中档题. 此题为考查学生灵活运用所学知识分析问题和解决问题能力的一道好题，通过此题能很好地体现轨迹问题的求解策略，是例题教学中的好素材.

课堂实录

基于上述对本题的理解，结合执教学校的校情，笔者考虑设计了以“轨迹方程求解策略”为教学主线，将“以阅读为基础，以讨论为铺垫，以引导为突破，以点评为关键”的教学理念贯穿课堂. 把课堂教学分为“阅读题意—预设方案—执行方案—反思提升”四个教学环节.

师：同学们，为了加深大家对轨迹方程常用求法的理解与运用，这节课我将与大家共同研究一道高考题. 在研究题目之前，请大家先看这样一个简单的问题（投影展示图1）. 图中三点Q，P，R满足OQ·OP=OR2，你能找到它们坐标之间的关系吗？

图1

生1：由两点间距离公式可找到这组关系：x +y = · （板书）.

生2：由Q，P，R三点共线得到： = = .

生3：分别作Q，P，R三点的垂线后，利用三角形相似可以得到：xP·xQ=x ，yP·yQ=y （板书）.

生4：我同生3一样是利用三角形相似得到x = xQ，yP= yQ（板书）.

师：说得很好，有没有同学替生4补充一下R点坐标与Q，P坐标之间的关系呢？

生5：把生4得到的关系式代入生3得到的式子中即可得到x = x ，y = x （板书）.

师：非常好，对于这个问题同学们都有自己的想法和收获. 今天我们就在此图的背景下来看讲义上的这道高考题（投影展示原题及图2）.

图2

设计意图：本组问题的设计是基于学情的考虑.将原题的模型做适当的分解，抽离出一个条件较为单一，入手较为容易的小问题，会更便于学生接受和解决此题，这也符合学生步步为营，逐步加深的认知规律.需要指出的是，对于从原题中抽离出的这个问题理解把握得是否到位也是最终能否解决这道高考题的关键.

1. 独立阅读，审清题意

师：请同学们在读题时思考从题目中你能读到哪些条件信息？有哪些隐含条件？并尝试画出简图（停顿5分钟）.

生6：题目已知条件中包含一个等式：OQ·OP=OR2，两个方程： + =1和 + =1，还隐含了射线OP与椭圆只有一个交点Q，以及直线与椭圆的位置关系还有OQ

师：很好，生6洋洋灑洒把题目中的许多条件和隐含条件都罗列出来了，有没有同学想替他补充补充的？

生7：我们黑板上一开始分析的这四组关系式也是题目的隐含条件.

师：嗯，我们不能忽视了先前的劳动所得.那就请你上来把图再画给大家看看.

（生7：上来板演作图）

设计意图：读题审题是做题答题的基石，对题意是否理清关系着学生解题思维能否打开，是不容忽视的步骤. 让学生自己阐述审题结果利于学生再一次对条件信息进行强化，同时也便于教师发现学生忽略掉的关键信息进而加以引导，譬如上述板书中的四组关系式. 对于解析几何问题，作图十分重要，这是学生将题目从文字、符号语言翻译成图形语言的关键一步，是由抽象到具象必不可少的一个环节.

2. 小组交流，预设方案

师：图画得很标准！我们已经把题意做了简要的梳理，下面大家就展现各自的聪明才智，在学习小组内交流自己的想法，每组试着预设一个解决此题的方案，供我们接下来交流. （停顿10分钟，教师到各组巡视参与交流讨论）

师：好的，看出来有些组已经跃跃欲试，想发表自己的想法了. 哪组先来说说看？

生8：我们组发现题目中要求的是点的轨迹，所以首先想到直接法求轨迹方程一般步骤.

师：好的，那我们大家一起来回忆下具体步骤.

生（群答）：建系→设点→发现等量关系→代入→化简.

师：建系已经完成，那请你继续说说步骤中的“设点”你们是如何处理的？

生8：步骤中的设点是设所求点Q的坐标，P，R点也用字母表示出来了.

师：你们又找了哪个等量关系？

生8：是之前由OQ·OP=OR2推得的第一组关系式：x +y = · .

师：最终求得的Q点的轨迹方程中只应包含哪些字母？

生8：xQ，yQ.

师：那么你们考虑如何处理P，R的坐标？

生8：用xQ，yQ来表示等式中的xP，yP，xR，yR. 把xQ，yQ当成已知量，找到关于xR，yR的两个方程，联立方程组把xR，yR表示出来. 我们选择的一个方程是 + =1，另一个方程是黑板中四组关系式中的第二组关系式即由O，Q，R三点共线得到 = . 至于xP，yP可由 = 与 + =1联立表示.

师：好的，这是他们设计的方案！（教师在互动的同时，利用已有板书完成思维导图1）

思维导图1

师：其他组有没有与之不同的方案？

生9：我们组的方案和他们不一样！首先我们找的等量关系就不同！

师：你们找的是哪个等量关系？

生9：由点P在直线l上得到： + =1.

师：请你继续分析，接下来你们是如何设计的？

生9：要得到xQ，yQ的关系式，必须用xQ，yQ来表示等式中的xP，yP，于是我们想到了黑板上的第三组关系式，将其带入，发现式中还有xR，yR，于是和前一组同学一样考虑将 = 与 + =1联立方程组把xR，yR用xQ，yQ表示出来再代入.

师：好的，这是他们这组设计的方案. （教师在互动的同时，利用已有板书完成思维导图2）

思维导图2

设计意图：通过充分的小组合作交流，上述的两种方案学生应不难发现.方案一属直接法，方案二属相关点法，均为求轨迹方程的常用方法. 在此过程中，要给学生充分展示的机会，学生能一气呵成地将方案表述出来时就应该把课堂让给学生，教师无须多言. 若学生理不出头绪或表述不清则可通过师生互动，以问题串的形式引领学生找到问题的突破口. 这种互动不应是教师让学生如何如何做，而是通过合理巧妙地設问，引导学生自主发现解决问题的切口. 这个过程切忌牵强，应当自然，可接收. 在本环节，笔者通过学生的预设方案，整理出两个思维导图，便于让没有思路的学生直观感受解题路径，让有思路的学生对方案更加清晰深刻. 就新课程理念而言，学生自己找到解决问题的方案并口述出来，这不单单有利于提高数学思维，体会解题方法，也能更好地调动学生的主动性、积极性，全方位体现学生的课堂主体性.

3. 执行方案，规范过程

师：还有没有其他不同方案了？（部分同学摇头示意）我们通过小组交流，较为集中地得到了上述两个预设方案，那这两个方案可不可行呢？下面请每位同学实施各组设计的方案，看看最终能否得到正确的结果？（教师巡视，请两位同学生10、生11将自己执行方案的过程上黑板板演，8分钟后）

师：同学们已经完成好了，我们一起来看看黑板上两位同学方案执行的情况. （部分同学发现问题低声交流起来）两位同学完成的情况一做比较，有些同学就已经发现问题了. （生10自己举手示意发言）好的，就你给自己“号号脉”吧！

生10：我做的过程里斜率没有分类考虑，另外点Q的横纵坐标不会同时为0，所以应该在轨迹中去除坐标原点.

师：这个“脉”号得很准！那请你再说说你哪些地方的处理是值得肯定的？（生10摇头示意）

师：老师觉得你对二元二次方程2x +3y -4xQ-6yQ=0的处理就很到位，通过巧妙配方让大家一眼就看出点Q的轨迹与椭圆有关，值得表扬！（生10腼腆地笑了）每位同学对照自己的执行情况，看看生10提出来的问题是否都注意到了.

设计意图：在“例题教学”过程中，教师往往重视思路分析（预设方案），轻视解法呈现（执行方案），而教学实践中很多学生想得明白却难做对做全. 教师应该预估出学生执行过程中会出现的问题，对出现的问题不能漠视应及时解决. 譬如此题中“斜率的讨论”“去除原点”“二元二次方程的配方”都是学生的易错点. 至于学生出错点以什么方式解决？笔者以为以学生“自主反思”的形式发现为最佳. 学生出的毛病让学生自己发现并解决，教师不该轻易告知，包办代替. 这样处理，学生在脑海中的记忆才深刻，才能真正弄明白“错在哪儿”“为什么错”“如何纠正才对”. 此外，在点评时教师通常会突出“错误”，忽视“妙处”.对学生处理得巧妙的地方应加以肯定，增强学生自信心，也有利于学生加深对类似问题处理时的印象.

4. 点拨建构，反思提升

师：通过同学们的实践操作发现这两组同学预设的方案都是正确可行的，那我们试着来找找这两种方案在解题思路上有什么相同的地方.

生11：他们都是先从一个等式着手，然后在等式处理过程中，只保留xQ，yQ，都是依托条件设法消去其他参数. （板书：找等式入手，依条件消参）

师：总结得很好！按照这样的解题策略，我们还能有其他的方案吗？（停顿8-10分钟，小组交流）

生12：我们组发现也可从等式 + =1入手，类似方案2那样消参解决问题.

师：好的，得到最终结果了吗？

生12：得到了，和前两个方案的结果是一致的！

师：很好，还有没有其他方案了？

生13：我的方案比他们都简单！

师：你说说看，你的方案简单在哪儿？

生13：我借助方案2、3，从等式 + = + 入手.

师：那如何消参的呢？

生13：我利用了黑板上的第四组关系式xP= xQ，yP= yQ，x = x ，y = y ，代入之后成功消去了参数，点Q的轨迹方程就是 + = + . （教师在互动的同时，利用已有板书完成思维导图3）

思维导图3

師：说得真好，原来直线方程的左式等于椭圆方程的左式即为所求点Q的轨迹方程. 这种方法真是太巧妙了！那么这是一种偶然，还是一个必然的结果？我们把椭圆和直线的方程一般化，点Q的轨迹方程是否依然只需将直线方程的左式等于椭圆方程的左式就可得到？请同学们思考变式1. （投影变式1，停顿5分钟）

变式1：已知椭圆mx2+ny2=1（m，n>0），直线l：Ax+By=1（A，B不同时为0），P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足OQ·OP=OR2. 当点P在l上移动时，求证：点Q的轨迹方程为mx2+ny2=Ax+By.

师：哪位同学发表一下自己的见解？（生13跃跃欲试，要求继续发言）

生13：这个结论是成立的. 我们从等式mx +ny =AxP+ByP入手，仍然利用黑板上的第四组关系式消参即可证得.

师：大家同意他的说法吗？

生：同意！

师：好的，由此可见选择一个合适的等式入手对我们解决求轨迹的问题有多么重要，找等式是我们解决此类问题的“切口”，而消参则是我们解题过程中的“目标”（在“找等式入手”前方板书“切口”，在“依条件消参”前方板书“目标”），找到了切口，明确了目标，我们再做轨迹问题也就不困难了. 课后，请同学们思考变式2，如果把此题椭圆的背景转换成双曲线我们还能得到如“变式1”一般的结论吗？

变式2：已知：双曲线C： - =1，直线l：x+2y=16，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足OQ·OP=OR2. 当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

设计意图：在“例题教学”过程中，教师不应贪图“多”，而应力求“透”. 过于功利地就题讲题对学生的效果是微乎其微的，而把一道题讲全了，挖透了，让学生通过一道题有了感悟，触发了反思这才是有效教学. 投射到此题，笔者讲题时注意引导学生对不同解法的探求，但同时也并非以“一题多解”为目的，盲目扩充解法，重点关注挖掘学生不同解法之间的共通之处并加以提炼建构，形成解决此类问题的方法策略即文中所提及的“找等式入手，依条件消参”，从而让学生充分汲取题目中的养分. 对于题中的“妙解”，笔者立足于让学生知晓妙在何处？为何妙？妙的背后有无一般性的结论？这也正是笔者基于“一般化”原则和“类比”原则设计变式延伸的出发点. 让学生能够由此及彼，从一道题吃透到一类题会做，实现所谓“多题一解”，才是例题教学的意义所在.

教学感悟

1. “选题”是提升课堂效率的关键

这节课笔者设计以“轨迹方程求解策略”为教学主线，因而面临着许多题目可供选择. 笔者选题时希望能通过一道经典题目，把这类问题讲通、讲透，不以“量”来博“效”，所以在前期的选题上花费了大量的精力. 我们教师要意识到“题海无边”，是无法面面俱到的，我们应该从题目中跳脱出来，以激发学生的思维为目的，提升课堂的实效. 我们无法代替学生做题，但我们可以将我们的教学工作做细，替学生把好“选题”的关，对题目的潜能做挖掘和探索，选择有研究性和创造性的例题，深入透析出题目的“味道”.

2. 例题教学要充分暴露出学生的思维？摇

新课程理念强调学生是课堂的主体，这不能仅仅停留在我们教师的脑子里，应该付诸于实际的课堂教学中. 在高三的复习课上教师更应当注意不能“以教代学”. 我们要充分相信学生在高一、高二学习的基础上是有能力解决问题甚至是拓展一些问题的，要注重让学生多阅读，多思考，多探究. 在本节课的教学过程中，笔者给了学生展示自己的机会，将自己的思维充分暴露出来，在学生讲述了各自解法的同时也就提供给了教师教学的资源，提供给了其他学生学习的资源. 在学生将自己的解题思维暴露之后，教师可以帮助学生做适当的梳理，这极有可能带来学生思维的二次暴露，从而实现高效的师生互动.

3. 高三复习课必须面向“大众”

高三的例题课必须要做到全员参与，这就要求我们教师在选题时要多下功夫. 我们要寻找一些入手浅，大多数学生都能提起笔来做的题目，不能在课堂中出现大多数是“看客”，是“观众”的局面. 如果一节课下来仅仅只对个别学生产生了影响，那么这节课不能称之为好课，更谈不上高效. 当然一节课只讲一些索然无味的基础题，学生会做的题，这节课肯定是一节废课. 我们应该在“浅入手”的前提下要“深挖掘”，此时的挖掘是对学生思维的提升，在拓展时不能求快求猛，试图一步到位，应该步步为营. 随着我们教学的不断深入，对不同层次的学生在不同程度上肯定都会有所帮助，有所裨益.

4. “提炼”是例题教学中不可少的环节

在平时的教学过程中，教师更多地会注意在新授课中帮助学生总结提炼，而在例题教学中往往忽视这个环节，一味地就题讲题，其实不然，“提炼”是例题教学中不可或缺的环节之一. 在本节课中，笔者时刻注意到帮助学生做提炼，在学生展示不同解法之后都以思维导图的方式进行梳理，在整道题目讲解之后特别对“直接法求轨迹方程”这类问题解决的基本思路进行了呈现——切口：“找等式入手”；关键：“依条件消参”. 笔者在教学时这种呈现也不是强加式的，在题目探究过程中基本思路已经悄然生成了. 我们要意识到适时地总结提炼更有利于学生厘清解题思路，掌握解题方法，完备解决某类问题的经验.

“例题教学”是高三复习教学工作中重要的组成部分. 如何提高高三复习课的效率值得我们不断探索下去. 但无论采用何种教学范式，我们都应坚持做到“四个不”即“例题精选不能糊；学生主体不能变；受众范围不能小；教师引领不能缺”. 只有这样，才能有效提升课堂的教学品质.h