例谈特征根方程求解线性递推数列

戴培红

[摘 要] 特征根方程是求解线性数列通项中必备的知识，将数列问题通过特征方程转换为可求解的通式模型. 本文简要介绍特征方程原理的来源，并例谈解决线性数列中使用特征方程的作用.

[关键词] 数列；特征方程；线性；二阶；分式

在数列通项求解中，有几类数列通项求解难度较大，往往涉及竞赛数学中的知识. 特征方程求解数列通项正是其中一类. 在不少稍难数列通项求解过程中，需要用到特征方程的原理，但是笔者发现很多教师只讲特征方程的运用，并不讲原理的来源，这是典型的应试教育、灌输式教育，是不妥的，因此笔者认为先要讲清原理的来源，才能真正体会特征方程原理的作用.

二阶线性特征方程原理

定理：设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，已知数列{xn}的前两项为x1，x2，且满足xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），证明：数列{xn}的通项公式为：（Ⅰ）α≠β，xn=Aαn+Bβn，A= ，B= ；（Ⅱ）α=β，xn=（A+Bn）αn，A= ，B= .

证明：（Ⅰ）其中p-q=1时，由p-q=1，得：p=1+q，代入递归式，易得：xn=x1+ .

（Ⅱ）其中p-q≠1时，当p-q≠1时，受（Ⅰ）启示，设原递归数列能表示为：xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2） （n≥3），整理得：xn=（α+β）xn-1-αβxn-2，与原递归式比较系数，得：α+β=p，αβ=q，可见α，β是方程x2-px+q=0（*）的两根（实虚均可）①.

若x2-px+q=0有两不同实根α，β，xn-αxn-1=β（xn-1-αxn-2）=…，递推之得：xn-αxn-1=βn-2（x2-αx1）（1），同理：xn-βxn-1=αn-2·（x2-βx1）（2），联立（1）（2）两式解得：xn=x2 +（-αβ）x1 （3），化简并合并同类项，可得：xn= αn+ βn. 令：xn=Aαn+Bβn，其中：A= ，B= .（4）②.

若t2-pt+q=0有两相同实根α=β，则由（1）式可得：xn-αxn-1=（x2-αx1）αn-2（5），整理（5）式：xn=αxn-1+（x2-αx1）αn-2，两边同除以αn： = + ，因此 以 为首项， 为公差的等差数列. 得：xn= + ·nαn，令：xn=（A+Bn）αn，其中：A= ，B= ，（6），综上（4）（6），定理证毕.

特征方程的运用

从二阶线性特征方程定理的理解来看，不难发现α，β代表的含义是其特征方程的两根，从上述定理可知，很多类似的竞赛问题中的答案就不难看懂了，为什么可以简化为类似的过程.

运用一：二阶线性递推数列

问题1：设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4，…），求数列{xn}的通项公式（用α，β表示）.

分析：本题与定理几乎一致，我们可以从定理的结论入手，直接使用验证定理的正确性.

解析：（Ⅰ）当α≠β时，因为x2=p2-q，x1=p，所以x2=α2+β2+αβ，x1=α+β，A= = = ，B= = = ， ，所以xn=Aαn+Bβn= + = .

（Ⅱ）当α=β时，所以x2=3α2，x1=2α，A= = =1，B= = =1，所以xn=（A+Bn）αn=（n+1）αn.

综上（Ⅰ）（Ⅱ）所述，数列{xn}的通项公式为：xn= ，α≠β，（n+1）αn，α=β.

问题2（教材课后练习）：数列{an}满足：a1=1，a2=4，且an+2=5an+1-6an，求{an}的通项公式.

分析：教材中的问题比较特殊，可以用an+2-2an+1=3（an+1-2an）整体性构造来解，但是并不具备一般性.因此我们可以从特征方程角度入手获得问题解决的一般性.

解析：特征方程x2-5x+6=0兩根为α=2，β=3，所以，由α≠β时特征定理，an=A·2n+B·3n，又a =1=A·2+B·3，a =4=A·4+B·9 ？圯A=- ，B= ，所以，an=- ·2n+ ·3n=-2n-1+2·3n-1.

运用二：分式线性递推数列

分式线性递推数列的求解与二阶类似，利用转化将未知模型通过加减参数使其转换为等差数列、等比数列模型，其也有固定的求解公式模型，因推导过程类似及本文篇幅，故推导不赘述.笔者通过一例简要分析.

问题3：设数列{an}满足a1=2，an+1= ，求an.

分析：分式线性递推数列是更难的一种数列模型，通过特征方程找到其显著特征，利用整体性思想换元切入，转换为等比或等差数列模型是解决分式递推数列的一般化模型.

解析：对等式两端同加参数t得：an+1+t= +t= =（2t+5）· ，令t= ，解之得t=-1、2，代入上式得an+1-1=3· ，an+1+2=9· ，两式相除得 = · ，即 首项为 = ，公比为 的等比数列，易得an= .

从上述线性递推数列的解决中，我们不难发现稍难的数列通项问题求解的一般化规律，笔者认为教学可以引导学生关注下列几个方面：第一，线性递推数列是具备模型化的数列，必然有相对应的特征方程与之对应，二阶线性递推数列和分式线性递推数列是高考数学、竞赛数学常常考查的热点（一阶线性比较容易），成为必备掌握的两种基本模型；第二，学习特征方程的作用是给优秀学生开拓思路，理解数列通项变化中隐含的不变性，为解决其他各种陌生问题提供可借鉴的思路；第三，重视等差数列和等比数列的基本知识、基本技能，并将整体化思想贯穿于通项求解的始终，将这种不断变形、不断转化的想法融入线性数列通项求解中，达到顺利求解的目的. 最后，笔者想说要学会运用特征原理，更要懂得特征原理的来源，学知识不能只记公式而不去了解过程，否则知识永远达不到融会贯通的地步.