2021年高考“不等式”专题命题分析

乔伟

摘  要：2021年高考不等式相关试题，体现了与数学学科核心素养的相互融合，突出了不等式的内容主线，反映了数学核心概念的本质，延续了将不等式与集合、常用逻辑用语、基本初等函数、数列、函数与导数、向量、圆锥曲线、线性规划等内容融合的考查方式，并将其作为考查数学学科核心素养的重要方法.

关键词：2021年高考;不等式;命题分析;复习备考

不等式是高中数学必修课程主题一预备知识的重要内容，也是解决其他数学问题的重要工具，不等式命题整体体现了函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想.

2021年全国各地高考数学试卷中对不等式相关内容的考查，不仅集中在不等式的解法、均值不等式的应用、线性规划等方面，更注重对不等式与其他知识的内在联系和综合考查. 例如，不等式与集合运算、常用逻辑用语、基本初等函数、向量、线性规划等内容的融合，考查学生的基本数学学科核心素养;不等式与数列、函数与导数及其应用、圆锥曲线相结合，考查学生更高层次的数学学科核心素养. 对不等式的基本性质、基本运算和综合应用的考查，不仅体现了不等式的基础性，还体現了不等式的工具性.

一、试题分析

1. 整体分析

2021年高考数学共有8套试卷，其中全国甲卷和全国乙卷分文、理科，因此共有10份试卷. 综观10份高考数学试卷，直接考查不等式考点的试题很少，且主要是线性规划问题，多数试题的考查方式是把不等式和其他知识相融合. 在研究2021年高考不等式相关试题的考点和分值分布时，很难将考点和分值分离开来，这恰恰体现了不等式的基础性和工具性，同时体现了不等式试题的命题方向具有多面性和综合性.

2. 内容分析

综观2021年各份高考数学试卷，其中对不等式相关试题的考查方式有以下七种：（1）与集合、常用逻辑用语的结合，解决简单的不等式问题;（2）与三角函数，基本初等函数及其性质，函数与导数及其极值、最值相融合，利用不等式的工具性解决问题;（3）与幂函数、指数函数和对数函数运算相结合，考查比较大小的问题;（4）均值不等式与圆锥曲线、三角公式的结合，研究最值相关问题;（5）不等式的直接应用，解决简单的线性规划问题;（6）不等式与绝对值相结合，构建绝对值不等式问题;（7）与向量、数列相结合，体现不等式的应用性.

3. 题型、难度分析

不等式相关试题的考查题型比较全面，选择题、填空题和解答题均有涉及，试题难度差异较大.

线性规划问题，不等式与集合、常用逻辑用语、圆锥曲线定义相结合的简单问题难度较小. 例如，浙江卷第5题、全国甲卷文科第1题、全国乙卷文（理）科第3题、全国新高考Ⅰ卷第5题. 均值不等式，不等式与函数结合问题，不等式与三角函数、曲线的切线，以及幂函数、指数函数和对数函数运算等结合考查不等式与相关知识的初步融合运用问题，难度适中. 例如，全国乙卷文科第8题、全国甲卷理科第16题、浙江卷第8题、全国新高考Ⅰ卷第7题、全国新高考Ⅱ卷第7题. 不等式与函数及其性质、数列、导数及其应用、圆锥曲线、绝对值不等式相结合的问题，难度偏大，对学生的数学学科核心素养要求较高. 例如，上海卷第16题、第21题，全国乙卷文科第12题和理科第10题、第12题，全国新高考Ⅱ卷第17题、第22题，浙江卷第10题、第17题、第21题，全国新高考Ⅰ卷第22题. 其中，浙江卷对不等式的考查尤为重视，在第5题，第8题，第10题，第17题，第20题，第21题，第22题中均有对不等式及其思想方法的考查.

4. 文、理科命题分析

随着课程改革的逐步推进，越来越多省份加入到新高考行列，文、理科的命题趋势逐渐趋向于统一. 2021年高考全国甲卷和全国乙卷仍延续了文、理分科的命题风格，从试题难度和对思维能力的考查上看，理科试卷整体比文科试卷略高一筹. 从与不等式及其思想方法的运用有关试题的题量上看，全国乙卷文科卷要略多一些. 这两套试卷对应的文、理科试卷中有较多的相同试题，有的根据难度的不同，做了题号的调配. 由此可见，全国甲卷和全国乙卷的命题既照顾到了文、理科学生的差异，又为将来高考数学取消文、理分科做了铺垫.

二、命题分析

在2021年的10份高考数学试卷中，单独考查不等式的试题并不多，但是涉及不等式知识、方法的试题却占有较大比重，凸显了不等式的工具性和应用性. 不等式的解法、线性规划问题主要在选择题和填空题的基础题中呈现，而与不等式深度融合的试题则更多被安排在了选择题和填空题压轴题的位置上，甚至是解答题压轴题的位置上. 延续了将不等式考查内容嵌入更加综合、创新的问题情境中的命题风格. 重点凸显了不等式的思想方法和工具作用，利用不等式中的比较法、分析法、放缩法等，来达到考查学生数学学科核心素养的目的.

1. 立足基本

（1）与集合结合，考查基本能力.

例1 （全国甲卷·文1）设集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7，] 则[M?N]等于（    ）.

（A）[7，9]    （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

以集合为背景命制不等式问题是比较常见的考查方式，以考查不等式的基本解法和集合的基本概念为目的，解题时应关注对基本问题的理解.

（2）与三角函数结合，考查基本方法.

例2 （全国甲卷·理16）已知函数[fx=2cosωx+φ]的部分图象如图1所示，则满足条件[fx-f-7π4 ·][fx-f4π3>0]的最小正整数[x]为        .

我们常常把不等问题转化为相等问题来解决，这一点教材中已经借助一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式进行了说明. 题中[fx<0]对应图象为[fx=0]的下方部分，[fx>1]对应图象为[fx=1]的上方部分，结合图象，便可求解不等式.

（3）与绝对值结合，考查转化与化归.

例3 （全国乙卷·文 / 理23）已知函数[fx=][x-a+x+3.]

（1）当[a=1]时，求不等式[fx≥6]的解集;

（2）若[fx>-a，] 求[a]的取值范围.

例4 （全国甲卷·文 / 理23）已知函数[fx=][x-2，gx=2x+3-2x-1.]

（1）在图2中画出[y=fx]和[y=gx]的图象;

[ ][1][x][y][O][1][图2]

（2）若[fx+a≥gx，] 求[a]的取值范围.

随着课程改革的深入，对绝对值不等式的考查也转为非直接考查. 解绝对值不等式的方法主要有零点分段法和几何意义法. 当式子中含有两个绝对值，且其中的[x]的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解;利用绝对值三角不等式求最值也是常见的方式，但是要注意表述取等号的条件. 此题体现了对学生的数学运算、直观想象和逻辑推理素养的考查.

（4）与数列结合，考查基本理解.

例5 （全国新高考Ⅱ卷·17）记[Sn]是公差不为[0]的等差数列[an]的前[n]项和，若[a3=S5，a2a4=S4.]

（1）求数列[an]的通项公式;

（2）求使[Sn>an]成立的[n]的最小值.

借助数列的知识，将[Sn>an]转化为一元二次不等式问题，再利用一元二次函数来解决问题，需要注意数列中[n]的取值要求，这也是高考中经常见到的考查方式.

（5）线性规划，常规问题常规解决.

例6 （上海卷·7）已知实数[x，y]满足约束条件[x≤3，2x-y-2≥0，3x+y-8≥0，] 则[z=x-y]的最大值为       .

例7 （浙江卷·5） 若实数[x，y]满足约束条件[x+1≥0，x-y≤0，2x+3y-1≤0，] 則[z=x-12y]的最小值是（    ）.

（A）[-2] （B）[-32]

（C）[-12] （D）[110]

随着《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）的实施，线性规划问题逐渐淡出了全国大部分地区的高中数学教材，因此大部分高考试卷中未涉及此内容. 所考查的线性规划试题也以常规形式出现，主要以知识点覆盖为主，用常规方法即可解决.

（6）均值不等式，条件显威力.

例8 （全国乙卷·文8）下列函数中最小值为[4]的是（    ）.

（A）[y=x2+2x+4]  （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x]    （D）[y=ln x+4ln x]

均值不等式是不等式部分的重要内容，也是高考的高频考点. 均值不等式求最值，主要考查学生的逻辑推理能力和转化与化归能力. 解决此类问题的关键：一是明确是否满足均值不等式的形式;二是灵活掌握均值不等式的使用条件，准确理解“一正、二定、三相等”的意义.

2. 注重内容交会，体现学科素养

（1）与幂函数、指数函数和对数函数交会，比较中凸显不等关系.

例9 （全国乙卷·理12）设[a=2ln 1.01，b=][ln 1.02，c=1.04-1，] 则（    ）.

（A）[a

（C）[b

例10 （全国新高考Ⅱ卷·7）若[a=log52，b=log83，][c=12]，则（    ）.

（A）[c

（C）[a

比较大小问题本身就是不等式问题，大小是表象，关键看转化. 这类问题可以把幂函数、指数函数和对数函数的性质及运算融入其中，考查面广，难度可大可小，深受命题者青睐. 例9和例10立足对数式比较大小，考查对数运算及对数函数的图象和性质，最终落脚点在利用不等式的传递性比较大小，属于容易题，提示我们要注意对函数图象和基本性质的熟练应用，要理解比较大小问题的本质.

对不等式性质的考查常与幂函数、指数函数、对数函数及其运算相结合，有时也与充要条件、函数的单调性等相结合，一般以选择题、填空题的形式进行考查.

（2）与圆锥曲线相结合，巧妙运用均值不等式.

例11 （全国新高考Ⅰ卷·5）已知[F1，F2]是椭圆[C]：[x29+y24=1]的两个焦点，点[M]在[C]上，则[MF1][MF2]的最大值为（    ）.

（A）13 （B）12

（C）9 （D）6

例12 （全国乙卷·文20）已知抛物线[C：y2=][2px p>0]的焦点[F]到准线的距离为2.

（1）求[C]的方程;

（2）已知[O]为坐标原点，点[P]在[C]上，点[Q]满足[PQ=9QF，] 求直线[OQ]斜率的最大值.

例11求解的关键在于正确理解并转化题意，结合椭圆定义，利用均值不等式求解，此题考查了基本概念和基本方法，难度较小. 例12求解的关键是利用圆锥曲线的相关知识得到直线[OQ]斜率的表达式，再根据表达式的形式选择均值不等式解决问题.

求最值的方法很多，利用均值不等式求解是其中常见的一种方法. 运用均值不等式解决最值问题时，要注意“一正、二定、三相等”条件的合理运用.

（3）与三角关系式相结合，巧妙运用均值不等式.

例13 （浙江卷·8）已知[α，β，γ]是互不相同的锐角，则在[sin αcos β，sin βcos γ，sin γcos α]三个值中，大于[12]的个数的最大值是（    ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）3

例13需要充分挖掘题意，解题的关键是根据代数式的形式（积）选择使用均值不等式，将积转化为三角基本关系式平方和的形式，并结合三角变换的公式特征选择放缩的方向，再借助特殊值解决问题. 综合性较强，难度较大，对学生的数学运算和逻辑推理素养要求较高.

（4）与函数相结合，利用性质研究不等式.

例14 （全国乙卷·文 / 理3）已知命题[p：?x∈R，][sin x<1﹔] 命题[q：?x∈R﹐ex≥1，] 则下列命题中为真命题的是（    ）.

（A）[p∧q] （B）[?p∧q]

（C）[p∧?q] （D）[?p∨q]

例15 （全国新高考Ⅰ卷·7）若过点[a，b]可以作曲线[y=ex]的两条切线，则（    ）.

（A）[eb

（C）[0

函数是高中数学知识的主线之一，高考对函数的考查以函数性质的运用为主，而函数又与不等式有着天然的联系，因此在函数问题的解决中，经常会用到不等式的思想方法. 解决此类问题要注重知识之间的内在联系，更多的是运用函数的性质及不等式解决函数中的大小、取值范围问题，体现了不等式的工具性.

（5）与导数、数列相结合，恒成立问题放光彩.

例16 （全国新高考Ⅰ卷·22）已知函数[fx=][x1-lnx].

（1）讨论[fx]的单调性;

（2）设[a，b]为两个不相等的正数，且[bln a-aln b=][a-b，] 证明：[2<1a+1b

例17 （浙江卷·20）已知数列[an]的前[n]项和为[Sn，a1=-94，] 且[4Sn+1=3Sn-9 n∈N?.]

（1）求数列[an]的通项公式;

（2）设数列[bn]满足[3bn+n-4an=0 n∈N?，] 记[bn]的前[n]项和为[Tn，] 若[Tn≤λbn]对任意[n∈N?]恒成立，求实数[λ]的取值范围.

导数是高考的重要考点，其包含的思想方法、数学学科核心素养、学科能力非常全面. 导数和数列中的证明问题和恒成立问题本质上是最值问题，考查形式多样，难度系数便于调控，常在压轴题中出现. 例16是极值点偏移问题，一般通过原函数的单调性，把与自变量有关的不等式问题转化与原函数的函数值有关的不等式问题，也可以引入第三个变量，把不等式的问题转化为与新引入变量有关的不等式问题.

数列是高中数学中重要的离散型函数，数列本身就蕴含着函数的属性，所以像函数与不等式的组合一样，数列与不等式也是最佳搭档之一. 对于例17的解答，第（1）小题已知[Sn]求[an]时，不要忽略[n=1]的情况;第（2）小题恒成立选择分离参数时，要注意变量的正、负、0的讨论. 例如，当[λn-4+3n≥0]恒成立时，要对[n-4=0，n-4>0，n-4<0]三种情形进行分类讨论，还要注意在[n-4<0]时，分离参数不等式要变号.

不等式的证明是高考的高频考点，经常与导数、数列结合考查. 证明不等式的过程就是不断进行转化与化归的过程. 此类问题中往往含有参数，一般要针对参数进行分类讨论，因此应加强对转化与化归、分类讨论思想方法的运用.

（6）求解范围，巧用不等式的放缩.

例18 （浙江卷·10）已知数列[an]满足[a1=1，][an+1=an1+an n∈N?.] 记数列[an]的前[n]项和为[Sn]，则（    ）.

（A）[32

（C）[4

例18由题目条件可知即证[S100]小于某数，通过观察[a1=1，an+1=an1+an n∈N?]形式，利用倒数法先找到[an]和[an+1]之间的不等关系，由累加法可求得[an≥4n+12，] 再通过局部放缩得到[an]和[an+1]间的不等关系，改变不等式的方向，得到[an≤6n+1n+2.] 最后由裂项相消法求得[S100<3.]

不等式的放缩是不等式问题中的难点，体现了逻辑推理、分类讨论、等价转化的命题意图，试题新颖、难度较大.

（7）借助不等式，解决范围问题.

例19 （浙江卷·21）如图3，已知[F]是抛物线[y2=2pxp>0]的焦点，[M]是抛物线的准线与[x]轴的交点，且[MF=2.]

（1）求抛物线的方程;

（2）设过点[F]的直线交抛物线于[A，B]两点，若斜率为[2]的直线[l]与直线[MA，MB，AB，] [x]轴依次交于点[P，Q，R，N，] 且满足

[RN2=PN ? QN，] 求直线[l]在[x]轴上截距的范围.

例19考查的是直线与抛物线位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理设直线方程的形式，以便于代数计算，对于构造出的函数关系式，要注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化為常见函数的范围问题.

例20 （浙江卷·22）设[a，b]为实数，且[a>1，] 函数[fx=ax-bx+e2 x∈R.]

（1）求函数[fx]的单调区间;

（2）若对任意[b>2e2，] 函数[fx]有两个不同的零点，求[a]的取值范围;

（3）当[a=e]时，证明：对任意[b>e4，] 函数[fx]有两个不同的零点[x1，x2，] 满足[x2>blnb2e2x1+e2b.]

（注：[e=2.718 28…]是自然对数的底数.）

函数是高中数学中重要的知识点，导数是研究函数单调性、极值（最值）最有效的工具，函数的单调性与导数值的符号密切相关，故导数问题与不等式问题能够自然结合. 高考非常重视对导数应用的考查，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与曲线的切线相联系;（2）利用导数研究函数的单调性问题，也可以利用已知的单调性，转化为恒成立或存在性问题，求参数范围;（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题;（4）证明不等式，借助函数解决相关问题，其中数形结合、转化与化归思想显得尤其重要.

三、复习备考建议

1. 以课程标准为方向，以教材为根本

新一轮课程改革摒弃了考试大纲，取而代之的是《标准》和《中国高考评价体系》，这是我们学习数学、复习备考的指南针. 教师要充分研究《标准》提出的六大数学学科核心素养，在教学过程中着力培养学生的数学学科核心素养，达到数学育人的目的. 教学的抓手在课堂，课堂的主题是内容，在教学中，教师要弄清哪些为主干知识、哪些属于关键能力、其所承载的核心素养是什么等问题，进而结合《标准》，落实“一核、四层、四翼”的高考评价体系要求.

教师要立足教材，重视对教材中不等式的基本概念、基本方法、基本原理的理解，这是学生解决问题思维的出发点，也是转化问题的理论基础. 近几年的高考命题，已经逐渐淡化对特殊技巧的考查，对通性、通法要求较高. 因此，对于不等式的相关内容的复习，应加强对通性、通法的运用，同时适当对教材中的例题、习题进行延伸和挖掘，以提高学生对基本问题的理解.

2. 关注命题导向，重视知识交会

新高考对不等式的考查形式更加多样，更加突出对学生关键能力和核心素养的考查. 因此，在复习备考过程中，教师要认真研究高考试题，通过对高考题型的研究，准确把握高考命题脉搏，增强复习的针对性和有效性. 从高考试题中可以发现，对不等式的考查多与其他知识融合，因此要特别关注不等式与集合，常用逻辑用语，三角函数，基本初等函数及其性质，函数、导数及其应用，幂函数、指数函数、对数函数运算，圆锥曲线，三角公式等的交会问题，这些问题体现了不等式的重要性和强大的工具性，需要我们拓宽不等式复习备考的广度和深度.

3. 重视不等式思想方法体系的构建

相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程和不等式的基础，由此，不等式才会与相关知识完美地融合. 在教学中，教师要重视函数与方程、数形结合、转化与化归、分类与整合等思想在解决不等式问题中的作用，进而建立解决不等式问题的思想方法体系，这对培养学生的思维能力和学科素养大有裨益.

不等式内容有着广泛的应用，是高考考查的重点和热点. 其中，主要考查不等式的性质、各种不等式的解法、不等式的应用、不等式的证明、含参不等式等问题，单独考查不等式知识的试题比较少，综合考查不等式和函数、数列、解析几何等知识的试题较多.

简而言之，在高考复习备考过程中，应关注不等式的工具性和实用性，紧扣通性、通法，全面提升学生综合应用不等式解决问题的能力.

四、模擬题赏析

1. 设集合[A=xx2+x-2<0，B=x2x+3>0，] 则[A?B]等于（    ）.

（A） [-32，1] （B） [-32，-1]

（C） [-1，2] （D） [-2，1]

解：由题意，得

集合[A=x-2-32.]

所以[A?B=-32，1.]

故答案选A.

2. 已知[fx=x+2+ax-3 a∈R.]

（1）当[a=3]时，求不等式[fx<13]的解集;

（2）若[?x≥12，] 不等式[fx≤x2+x+3]恒成立，求[a]的取值范围.

解：（1）当[a=3]时，[fx=x+2+3x-1.]

① 当[x≤-2]时，[-x+2-3x-1<13.]

解得[-3

② 当[-2

解得[-2

③ 当[x≥1]时，[x+2+3x-1<13.]

解得[1≤x<72.]

综上可知，原不等式的解集为[x-3

（2）当[x≥12]时，不等式[fx≤x2+x+3，]

即[x+2+ax-3≤x2+x+3.]

整理，得[ax-3≤x2+1.]

则[-x2+2≤ax≤x2+4.]

分离参数，得[a≥-x+2x，a≤x+4x.]

令函数[gx=-x+2x x≥12，]

显然[gx]在[12，+∞]上单调递减，

所以[gx≤g12=72.]

当[x≥12]时，[x+4x≥2x · 4x=4，] 当且仅当[x=2]时等号成立.

所以实数[a]的取值范围为[72，4.]

3. 已知函数[fx=x-lnx+1，gx=ex-1.]

（1）求[fx]的单调区间;

（2）当[x∈2，+∞]时，证明：[gxxx-1>2;]

（3）证明：[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2.]

（参考数据：自然对数的底数[e≈2.718 28.]）

解：（1）因为函数[fx=x-ln x+1]的定义域为[-1，+∞，fx=1-1x+1=xx+1，]

所以当[-10]时，[fx>0.]

所以[fx]在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，+∞]上单调递增.

（2）证明：要证明[gxxx-1>2，] 即证明[gx>][2xx-1，] 即证明[ex-1>2xx-1.]

设[hx=ex-1-2xx-1=ex-2x2+2x-1，]

则[hx=ex-4x+2，hx=ex-4.]

当[x∈2，+∞]时，[hx=ex-4>0，]

故[hx]在区间[2，+∞]上单调递增.

所以[hx≥h2=e2-6>0.]

所以[hx]在区间[2，+∞]上单调递增，

故[hx≥h2=e2-5>0]恒成立.

所以当[x∈2，+∞]时，[gx>2xx-1，]

即[gxxx-1>2.]

（3）证明：要证明[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<][53 n∈N*，n≥2，]

即证明[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][ln 53.]

由（1）可知，[fx]在区间[0，+∞]上单调递增，

故[x-lnx+1>0]对于[x∈0，+∞]恒成立.

因为[?n∈N*，n≥2，0<1en-1<1，]

所以[ln 1+1en-1<1en-1.]

由（2）可知，当[x∈2，+∞]时，[ex-1>2xx-1，]

故[n≥2]时，[1en-1<12nn-1=121n-1-1n.]

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1<][121-12+12-13+ … +1n-1-1n=121-1n<12.]

因為[e<259=532，]

所以[e12<53，] 即[12

故[ln 1+1e2-1+ln 1+1e3-1+ … +ln 1+1en-1

则[1+1e2-11+1e3-1 … 1+1en-1<53 n∈N*，n≥2.]

结论得证.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]房增军. 2020年高考“不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（10）：27-32，40.

[3]祝广文. 2019年高考“不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：80-86.

[4]苗孟义，张金良. 2018年高考“不等式”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2018（7 / 8）：69-75.