守正创新 行稳致远

编者按：随着高考改革的深入推进，新高考的范围逐渐扩大. 2021年高考数学试卷共有8套（10份），分别是全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷和浙江卷. 其中，新高考试卷共有6套. 本刊“高考专题”秉着继承和发展的理念，在延续往年策划方案的基础上，适度创新，立足教学，全方位、多角度研究，帮助教师理解新高考的命题理念和考查要求. 文章中所用高考试题如有出入，以官方发布为准. 本专题文章持续刊登，欢迎广大教师围绕本专题内容踊跃投稿！

2021年全国各地高考数学试卷共8套（10份），分别是全国甲卷（文、理科）、全国乙卷（文、理科）、全国新高考Ⅰ卷、全国新高考Ⅱ卷，以及北京卷、天津卷、上海卷、浙江卷. 笔者对全国甲卷（云南、广西、贵州、四川、西藏使用）、全国乙卷（河南、山西、江西、安徽、青海、甘肃、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西使用）、全国新高考Ⅰ卷（山东、广东、福建、江苏、湖北、湖南、河北使用）、全国新高考Ⅱ卷（海南、重庆、辽宁使用）这10份高考数学试卷进行了初步分析，归纳出若干试题特点，并提出一些教学建议.

一、试题特点：守正创新，体现“基础性、综合性、应用性和创新性”的协调统一

2021年高考数学命题贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，落实立德树人的根本任务，反映高考内容改革的总体要求，体现科学的选拔功能和育人导向，发挥深化数学教学改革的引领作用. 高考数学试题把核心价值、学科素养、关键能力和必备知识融为一体，把基础性、综合性、应用性和创新性协调统一，具有“注重情境、适度开放、稳中求变、守正创新”的鲜明特色.

1. 注重基础性，凸显根深叶茂

数学教育具有连续性、连贯性，对进入高校的学生来说，拥有坚实牢固的高中数学基础格外重要. 有鉴于此，新课程、新教材已从模块式的内容结构调整为反映数学学科规律的内容结构，建立了“主线—主题—核心内容”的体系，这方面的一个重要考量是与大学接轨. 高中数学新教材有4条主线：函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动. 其中，函数、几何与代数、数学建模活动与数学探究活动主线与大学“微积分”接轨;几何与代数、数学建模活动与数学探究活动主线与大学“解析几何与线性代数”接轨;几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动主线与大学“概率论与数理统计”接轨;函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动主线与大学“数学建模”接轨. 这样，能够实现高中生具备在生产生活实践探索中所需的基础知识、基本能力和基本素养，具备高校专业学习和自我终身发展所需的必备知识、关键能力和学科素养.

高考数学的基础性包括数学内容的基本性、通用性及问题情境的典型性，也就是我们通常所说的“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验. 基础知识反映在“三算”（集合运算、复数运算和向量运算）、“三图”（函数图象、立体几何图形和方程的曲线）上;基本技能涵盖集合、排列、组合中的列举，函数、平面向量中的图解，数列、二项式定理中的赋值，直线与圆锥曲线位置关系中的联立消元等;基本思想体现为函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等思想方法的运用;基本活动经验包括观察猜想、联想类比、换元分离等解题心得，以及见微知著、迷途知返、以美启真等学习感悟.

全国新高考Ⅰ卷第10题是多选题，主要考查平面向量的模、数量积等基础知识，以及学生的运算求解等基本技能. 全国甲卷理科第18题考查等差数列定义、通项公式、求和公式等知识，以及学生的逻辑思维能力，既有开放性，更具基础性. 全国甲卷文科第18题是理科第18题的姊妹题，重点考查等差数列的通项公式、等差数列的证明等核心概念和重要方法.

例1 （全国新高考Ⅰ卷·10）已知点[O]为坐标原点，[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，则（    ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA · OP3=OP1 · OP2]

（D）[OA · OP1=OP2 · OP3]

例2 （全國甲卷·文18）记[Sn]为数列[an]的前[n]项和，已知[an>0，a2=3a1]，且数列[Sn]是等差数列，证明：[an]是等差数列.

2. 突出综合性，强化融会贯通

高考数学要求学生既能够在同一层面上横向触类旁通，形成完整的知识块、结构网、方法链，又能够在不同层面之间纵向融会贯通，进行知识的交叉、能力的复合、素养的融合. 综合性不仅针对必备的知识内容，还包括复杂的问题情境，它以相互关联、交织成网的情境作为载体，实现对学生综合素养的全面考查.

高考数学命题通常在高中数学知识章节的交会处、初等数学和高等数学的衔接点进行设置，交会处和衔接点正是强调综合性的突破口，通过采用思维聚敛等手段，形成综合题的“点线面体”. 主要表现在以分段函数为条件，以集合、平面向量、导数等为载体，以“绝对值”语言为背景，以“自定义”方式为纽带，花样翻新不断出现. 它们扎根教材，灵活多变，全面考查学生运用数学思想方法分析问题和解决问题的综合能力，以及学习高等数学课程的基础水平.

全国甲卷文科第21题、理科第20题考查抛物线与圆的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系等知识，以及学生的理性思维、数学探索、以美启真等学科素养. 天津卷第9题考查二次函数、三角函数及分段函数、复合函数、函数零点等主干知识，综合考查学生的数学思维能力. 浙江卷第9题跨越章节主线对函数、数列与圆锥曲线轨迹问题进行全面考查. 浙江卷第17题综合性较强，主要考查平面向量数量积、向量投影、运用不等式求最值等知识方法，以及学生的运算求解能力和逻辑思维能力.

例3 （全国甲卷·文21 / 理20）抛物线[C]的顶点为坐标原点[O]，焦点在[x]轴上，直线[l：x=1]交[C]于[P，Q]两点，且[OP⊥OQ]，已知点[M2，0]，且圆[M]与[l]相切.

（1）求[C]，圆[M]的方程;

（2）设[A1，A2，A3]是[C]上的三个点，直线[A1A2]，[A1A3]均与圆[M]相切，判断直线[A2A3]与圆[M]的位置关系，并说明理由.

例4 （天津卷·9）设[a∈R]，函数[fx][=][cos2πx-2πa，x<a，x2-2a+1x+a2+5，x≥a，] 若[fx]在区间[0，+∞]内恰有6个零点，则[a]的取值范围是（    ）.

（A）[2， 94⋃52， 114]

（B）[74，2⋃52， 114]

（C）[2， 94⋃114，3]

（D）[74，2⋃114，3]

例5 （浙江卷·9）已知[a，b∈R，ab>0]，函数[fx=ax2+b x∈R]. 若[fs-t，fs，fs+t]成等比数列，则平面上点[s，t]的轨迹是（    ）.

（A）直线和圆 （B）直线和椭圆

（C）直线和双曲线 （D）直线和抛物线

3. 聚焦应用性，提倡学以致用

高考数学要求学生关注与我国经济社会发展、科学技术进步、生产生活实际等紧密联系的内容;能够解决与数学密切关联的日常生活、科学研究、经济发展和人类进步所面临的问题;能够古为今用、推陈出新，弘扬数学文化，挖掘人文价值，浸润科学精神.

高考数学试题以我国社会发展、经济建设和科技进步的重大成就作为背景题材，引导学生关注我国社会现实与进步发展，增强民族自豪感与自信心，增强理想信念与爱国情怀. 全国新高考Ⅱ卷第4题以我国卫星导航系统为背景设置立体几何问题，考查学生的空间想象能力，以及阅读理解、数学建模的能力. 全国甲卷理科第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之一——三角高程测量法为背景设计，要求学生运用立体几何知识构建计算模型，情境真实可靠. 全国乙卷理科第6题以北京冬奥会志愿者的培训为背景，考查学生的逻辑推理和数学运算等素养. 全国新高考Ⅰ卷第18题以“一带一路”知识竞赛为背景，考查学生对概率统计知识的理解与运用. 全国甲卷文、理科第2题以我国脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景，考查学生的分析理解和数据处理能力.

高考数学命题坚持理论联系实际，以贴近时代、贴近社会、贴近生活的情境为载体，选取和设计有意义的实际问题，考查学生运用知识、能力和素养分析、解决实际问题的能力，体现数学的应用价值，使学生感悟数学的应用之美. 全国新高考Ⅱ卷第21题取材于生命科学中真实的问题，体现概率在生命科学中的应用，考查学生运用概率、数列、方程、函数等知识和方法解决实际问题的能力，以及数学抽象、直观想象、逻辑推理等核心素养. 全国乙卷文、理科第17题以芯片生产中的刻蚀速率为背景设计概率统计的应用题，考查学生对平均数、方差等知识的理解和应用. 全国新高考Ⅱ卷第6题以某物理量的测量为背景，考查学生对正态分布知识的理解与应用，引导学生重视数学实验. 全国甲卷理科第4题、文科第6题以社会普遍关注的青少年视力问题为素材，重点考查学生的数学理解和运算求解能力. 北京卷第18题以加快新冠肺炎检测效率为载体，分析探究“[k]合1检测法”，着重考查学生的数学建模和数据分析素养.

我国古代涌现过秦九韶、刘徽、祖冲之等一大批数学家，拥有《九章算术》《数书九章》《算数书》《算法统宗》等数学瑰宝. 高考试题从我国古代数学成就和中华优秀传统文化中汲取营养，让学生感受“典”的魅力、弘扬“史”的文化，这也是学以致用的一种生动体现. 全国乙卷理科第[9]题以刘徽《海岛算经》中的测量方法为背景，考查学生运用知识解决问题的能力，使他们感悟我国古代数学家的聪明才智. 浙江卷第11题以赵爽用弦图证明勾股定理的史料为素材，考查学生的数学运算能力，使学生感悟数学经典之奇妙. 全国新高考Ⅰ卷第16题以我国传统文化剪纸艺术为背景，使学生体验探索数学问题的过程，考查学生灵活运用数学知识分析问题的能力.

例6 （全国新高考Ⅱ卷·21）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第[0]代，经过一次繁殖后为第[1]代，再经过一次繁殖后为第[2]代，……，该生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设[X]表示[1]个微生物个体繁殖下一代的个数. [PX=i=pi i=0，1，2，3].

（1）已知[p0=0.4]，[p1=0.3]，[p2=0.2]，[p3=0.1]，求[EX];

（2）设[p]表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，[p]是关于[x]的方程[p0+p1x+p2x2+p3x3=x]的一个最小正实根，求证：当[EX≤1]时，[p=1]，当[EX>1]时，[p<1];

（3）根据你的理解说明第（2）小题结論的实际含义.

例7 （全国甲卷·理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为[8 848.86]（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图1是三角高程测量法的一个示意图，现有[A，B，C]三点，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]满足[∠A′C′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由点[C]测得点[B]的仰角为[15°]，[BB]与[CC]的差为100;由点[B]测得点[A]的仰角为[45°]，则[A，C]两点到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]约为（    ）.（[3≈1.732].）

[C][B][A][图1]

（A）346  （B）373  （C）446   （D）473

例8 （全国乙卷·理9）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高. 如图2，点[E]，[H]，[G]在水平线[AC]上，[DE]和[FG]是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，[EG]称为“表距”，[GC]和[EH]都称为“表目距”，[GC]与[EH]的差称为“表目距的差”，则海岛的高[AB]的值为（    ）.

[H][G][F][E][D][C][B][A][图2]

（A）[表高×表距表目距的差+]表高

（B）[表高×表距表目距的差-]表高

（C）[表高×表距表目距的差+]表距

（D）[表高×表距表目距的差-]表距

例9 （全国新高考Ⅰ卷·16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为[20 dm×12 dm]的长方形纸，对折1次共可以得到[10 dm×12 dm]，[20 dm×6 dm]两种规格的图形，它们的面积之和[S1=240 dm2]，对折2次共可以得到[5 dm×12 dm]，[10 dm×6 dm]，[20 dm×3 dm]三种规格的图形，它们的面积之和[S2=180 dm2]，依此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为      ;如果对折[n]次，那么[k=1nSk]等于      .

4. 体现创新性，鼓励标新立异

素质教育的一个突出特征就是创新思维的培养，高考数学强调创新性体现了科教兴国和人才强国战略对创新型人才培养的总体要求. 发散思维、逆向思考、构造思想、推测设想、质疑意识、批判观念等都是创新思维的重要组成部分.

高考数学命题考查学生大胆猜想、周密论证的能力，考查学生发现漏洞、弥补缺陷的能力，以及探寻新知、探索奥秘的能力，鼓励学生摆脱思维定势，勇于大胆创新，敢于标新立异. 数学命题呈现新的问题情境，采用新的设问方式，让学生在新颖的或陌生的环境中解决开放性问题，并从中发现新问题、找到新规律、得出新结论.

“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和‘机械刷题’现象”是高考数学试题命制的新要求. 增强试题开放性主要有“举例问题”灵活开放，“结构不良问题”适度开放，“存在问题”有序开放. 全国新高考Ⅱ卷第14题要求学生在理解函数性质的基础上从抽象到具体构造出一个函数，它有多个答案，给不同水平的学生提供充分发挥数学能力水平的空间. 全国乙卷文、理科第16题考查学生的空间想象能力，它有多种解题方案可供选择，并出现不同的正确结果，颇具选拔功能. 全国甲卷理科第18题给出三个条件，选取其中两个作为已知条件，另一個作为结论构造一个命题并加以证明，三种不同的组合方案体现了不同的思考角度和方向. 全国新高考Ⅱ卷第18题设计也具有开放性，考查学生的逻辑推理和运算求解等素养.

高考数学通过“自定义”信息题，考查学生收集分析信息、提炼加工信息、灵活运用信息等即时学习的能力. 这种题型能够有效考查学生的学习潜能，已经成为创新性命题的热点. 北京卷第21题采用自定义数列方式，综合考查数列、集合、充要条件等知识，突出考查学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养. 上海卷第21题自定义函数性质，着重考查函数的性质、解不等式等知识方法，以及学生的理性思维、推理论证等数学能力.

例10 （北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使[△ABC]存在且唯一确定，求[BC]边上中线的长.

条件①：[c=][2b];条件②：[△ABC]的周长为[4+23];条件③：[△ABC]的面积为[334].

例11 （全国新高考Ⅱ卷·22）已知函数[fx=][x-1ex-ax2+b].

（1）讨论[fx]的单调性;

（2）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：[fx]有一个零点. ① [12<a≤e22，b>2a];② [0<][a<12，b≤2a].

例12 （上海卷·21）若对任意[x1，x2∈R]，当[x2-x1∈S]时，都有[fx2-fx1∈S]，则称[fx]是[S]关联的.

（1）判断并证明[fx=2x-1]是否是[0，+∞]关联的，是否是[0，1]关联的;

（2）设[fx]是[3]关联的，当[x∈0，3]时，[fx=][x2-2x]，解不等式[2≤fx≤3];

（3）证明“[fx]既是[1]关联的，又是[0，+∞]关联的”当且仅当“[fx]是[1，2]关联的”.

二、教学启示：行稳致远，适应“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的转变

高考命题理念从传统的“知识立意”“能力立意”评价向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”综合评价转变，这种转变将促进教学理念提升、教学方法更新、学习方式变革.

1. 以教学到位为落脚点，打造高效课堂

高考复习教学的“鼓点”应敲在“到位”上，重锤应落在“优化”上. 高考结束后又有教师在叹息：某个知识点没有强调，哪种解题方法没有特别加以训练. 例如，浙江卷第22题考查以[a]为底的指数函数的求导公式，这个教材中的基本公式易被忽视，平时往往侧重以e为底的指数函数的求导公式运用，这道试题恰好击中了高考复习教学的软肋.

教学到位是打造高效课堂的落脚点. 首先，要重视“四基”，将基础夯实到位. 紧扣教材，既深化核心概念的学习，又重视知识的回顾，包括空集、零向量、二次方程的根与二次函数的表达式、抽象函数的定义域与值域、二项分布、条件概率、独立事件、互斥事件、对立事件、立体几何的截面、共轭复数、以[a]为底的对数函数的求导等. 其次，要强化“四能”，将方法巩固到位. 重视本原本法，强调通性、通法，领会数学思想方法，提升数学学科核心素养. 最后，要关注理解，将过程体验到位. 落实“以学生为中心”，摒弃“教师自我表演”，让学生在“做中悟，悟中学”，把分析、判断、选择、调整、改变、突破、确认、检验、反思等活动贯穿于课堂教學的始终.

2. 以微专题课为生长点，提升思维品质

微专题课是数学复习教学的主要课型，是理解和掌握数学知识、方法、技能的有效手段，是促进学生实现由懂到会、由会达熟、由熟及化的有效途径. 微专题教学对核心概念深度挖掘，对主干知识延伸拓展，对重要方法精雕细琢，让学生在研究性学习中感悟数学的本质和规律.

微专题课是提升学生数学思维品质的“生长点”“催化剂”“助推器”. 首先，要发挥微专题的突破性功能，引导学生把握重点，突破难点，找准关键点，聚焦转折点，克服易错点，攻破薄弱点. 其次，要发挥微专题的延拓性功能，以变式教学为支撑，充分发挥例题的示范作用，有效挖掘典型例题和习题的潜在价值，适当拓展“极化恒等式”等结论，严格控制“极值点偏移”等难度. 最后，要发挥微专题的过程性功能，注重教学情境设计，关注数学题的“前世今生”，强调过程性学习，重视过程性评价.

3. 以问题链教学为着力点，引领“四能”提升

数学问题链教学之源是问题式学习. 问题式学习的内涵是情境化、过程性、问题驱动、主动学习，而问题链教学的特征是目标指向的高阶性、问题设置的适切性、分析探究的深刻性、学习评价的伴随性. 问题链教学回应了培育数学核心素养的教育价值诉求，在教学理想与现实之间取得了动态平衡，为新课程、新教材的落地生根开辟了新的路径.

数学复习教学如果以众多例题装“模样”、以变式手段作“门面”、以合作讨论充“胖子”，那就会造成课堂一盘散沙、学生一无所获. 首先，要扎实开展基于问题链的深度学习，努力减负、提质、增效. 复习教学不要太多的所谓横向“变式”，高三学生亟需主题式、专题性的纵向问题链探究. 其次，要结合具体情境加快知识之间的微结构联结，激发学习动力源;通过课堂有效组织保持思维跃动，发展元认知水平;围绕开放性教学活动培养综合能力，形成知识宏结构. 最后，要以猜想为启发点，构建多元思维的发展空间;以过程为深耕点，夯实创新能力的生长基础;以结果为表征点，探寻思维品质的提升路径.

4. 以大数据运用为切入点，促进精准教学

立足高中数学教育实际，针对高三数学教学现状，以培育学生核心素养、促进可持续发展为着眼点，以打造数学精准课堂教学为目标，开展基于大数据运用的高考试题研究，探究精准课堂的教学特点、实现路径和行动策略.

实施数学课堂精准教学，常态课是立足点，课后答疑是关键点，借助大数据分析系统是增长点. 首先，要常态下提效，反思中精准. 在第一轮复习常态课教学中对知识梳理、高考频道、例题精选、归纳提炼等环节中的优劣得失进行比较与反思，探索在“精准”中“提效”的常态课复习教学经验. 其次，课后答疑是精准课堂的必要补充、提高质量的有效手段. 要研究答疑目标、答疑现状、答疑动因，拷问“何以致疑”“疑归何处”，形成学生为先、把脉为要、化大为小、化难为易、化生为熟等答疑策略. 最后，要充分利用大数据技术，发挥数据分析系统的作用，改变传统作业批改方式，精准统计学生作业中出现的错误，及时调整教师的教学策略，灵活便捷地进行资源共享，共同提高整体复习效率.

参考文献：

[1]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[2]教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]唐恒钧，张维忠. 数学问题链教学的理论与实践[M]. 上海：华东师范大学出版社，2021.

[4]陈延付，朱恒元. 注重素养导向  开展精准教学：2019年全国各地高考数学试卷的特点及启示[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：3-9.

[5]朱恒元，吴连成. 落实根本任务  适应深度转变：2020年全国各地高考数学试卷的特点及启示[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：2-12.