2021年高考“三角函数”专题解题分析

闫旭 王恩波

摘  要：对2021年高考三角函数相关试题，按知识点和解法进行分类分析，阐述三角函数试题的特点及其解题方法. 通过对这一部分高考试题的研究发现三角函数的定义、三角函数的最值和性质、三角函数的图象变换、三角恒等变换、解三角形是高考三角函数专题考查的重点内容. 通过对这部分试题的典型解法和创新解法进行解析，总结出其内在的解题规律，为今后的复习备考提供参考.

关键词：2021年高考;三角函数;解题分析;解法赏析

三角函数是高中数学中特别重要的一类初等函数，是描述周期运动的重要数学模型，它来自生产生活，是解决周期性问题的重要工具，与物理等学科联系紧密. 2021年高考对三角函数的考查主要集中在三角函数的定义、最值、图象与性质、三角恒等变换和解三角形等知识点. 同时，注重与向量、解析几何、不等式等知识进行综合考查. 试题风格新颖，突出素养立意，大部分试题侧重对学生所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查. 因此，对于三角函数知识的复习也应该以夯实基础为主. 例如，系统化、网络化地掌握三角公式，注意辨清三角公式之间的相互推导关系;在解决三角函数问题时注重数形结合思想;注意总结三角求值和三角函数值域、单调区间等题目的类型;解三角形时注意边角互化，以及正弦定理和余弦定理的选择;等等.

一、典型试题分析

2021年高考三角函数试题总体稳定，形式略有创新，试题难度有所提升， 既考查了学生对基础知识的理解和应用，又考查了学生化繁为简的运算能力，以及数形结合、转化与化归等数学思想方法. 试题重视对学科观念、规律及学生数学学科核心素养的考查. 下面按知识点和题型对2021年高考三角函数试题进行分类解析.

1. 三角函数的定义

例1 （北京卷·14）若点[Acosθ，sinθ]关于[y]轴的对称点为[Bcosθ+π6，sinθ+π6]，则[θ]的一个取值为      .

解：由题意，得角[θ]与角[θ+π6]终边关于[y]轴对称.

所以[θ+π6+θ=π+2kπ，k∈Z].

解得[θ=kπ+5π12，k∈Z].

当[k=0]时，[θ]的值为[5π12].

故答案为[5π12].（满足[θ=kπ+5π12，k∈Z]即可.）

【评析】根据点[A，B]在以坐标原点为圆心的单位圆上，可得[θ]与[θ+π6]的终边关于[y]轴对称，从而得出[θ+π6+θ=π+2kπ，k∈Z]. 该题需要学生熟练掌握任意角三角函数的定义，得出角的终边与单位圆的交点坐标与角之间的关系，进而得到两个角之间的关系.

2. 三角函数的最值和性质

例2 （北京卷·7）函数[fx=cosx-cos2x]是（    ）.

（A）奇函数，且最大值为2

（B）偶函数，且最大值为2

（C）奇函数，且最大值为[98]

（D）偶函数，且最大值为[98]

解：因为[f-x=cos-x-cos-2x=cosx-cos2x=fx]，

所以该函数为偶函数.

因为[fx=-2cos2x+cosx+1=-2cosx-142+98]，

所以当[cosx=14]时，[fx]取最大值，最大值为[98].

故答案选D.

【评析】利用函数奇偶性的定义与三角函数的性质可以判断函数的奇偶性. 研究三角函数要把整章内容看成一个整体，理清单元知识内在的逻辑关系，将陌生函数转化为熟悉的基本初等函数. 该题借用二倍角公式通过整体代换把原式转化成二次函数，结合二次函数的图象和性质求出最大值. 特别注意，在研究函数最值时一定要考虑函数自变量的取值范围.

例3 （浙江卷·18）设函数[fx=sinx+cosx x∈R.]

（1）求函数[y=fx+π22]的最小正周期;

（2）求函数[y=fxfx-π4]在[0， π2]上的最大值.

解：（1）因为[y=fx+π22]

[=sinx+π2+cosx+π22]

[=1-2sinxcosx]

[=1-sin2x]，

所以該函数的最小正周期[T=2π2=π].

（2）[y=fxfx-π4]

[=sinx+cosx · 2sinx]

[=2sin2x+2sinxcosx]

[=2 ⋅ 1-cos2x2+22sin2x]

[=22sin2x-22cos2x+22]

[=sin2x-π4+22].

由[x∈0， π2]，得[2x-π4∈-π4， 3π4].

所以当[2x-π4=π2]，即[x=3π8]时，函数取得最大值，最大值为[1+22].

【评析】研究三角函数图象与性质等问题通常需要将函数转化为正弦型函数或余弦型函数. 第（1）小题由题意结合三角恒等变换，可得[y=1-sin2x]. 再由三角函数最小正周期公式即可求解. 第（2）小题由三角恒等变换，得[y=][sin2x-π4+22]. 再由三角函数的图象与性质即可求解. 特别注意，在进行三角恒等变换时，记错公式是学生常犯的错误，要注意三角函数两角和公式、两角差公式、倍角公式、半角公式之间的内在逻辑关系，系统化、网络化地理解公式是避免此类错误的好办法. 例2和例3展示了三角函数求最值的最基本的两种方法：二次函数法和辅助角公式法. 方法的选择取决于试题中函数的特点，如果是同一角的齐次式用辅助角公式法，若不是齐次式就要尝试用三角恒等变换转化为二次函数求最值. 另外，导数和均值不等式也是三角函数求最值常用的方法.

3. 三角函数的图象变换

例4 （全国乙卷·理7）把函数[y=fx]图象上所有点的横坐标缩短到原来的[12]，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移[π3]个单位长度，得到函数[y=sinx-π4]的图象，则[fx]等于（    ）.

（A）[sinx2-7x12] （B）[sinx2+π12]

（C）[sin2x-7π12] （D）[sin2x+π12]

解：将函数[y=sinx-π4]逆向变换.

第一步：将函数图象向左平移[π3]个单位长度，得到[y=][sinx+π3-π4=sinx+π12]的图象.

第二步：把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到[y=sinx2+π12]的图象，即为[y=fx]的图象，所以[fx=sinx2+π12].

故答案选B.

【评析】三角函数图象变换历来是考试的重点，既可以从正向推导，也可以从逆向入手. 从简洁的角度来看，该题可以从函数[y=sinx-π4]出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到[y=fx]的函数解析式. 需要特别注意的是，平移变换和伸缩变换都是相对于自变量[x]而言的.

4. 三角恒等变换

例5 （全国甲卷·理9）若[α∈0， π2]，[tan2α=][cosα2-sinα]，则[tanα]的值为（    ）.

（A）[1515]  （B）[55]  （C）[53]  （D）[153]

解：因为[cosα≠0]，[tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1-2sin2α]，[α∈0， π2]，

所以[2sinαcosα1-2sin2α=cosα2-sinα]. 解得[sinα=14].

所以[cosα=1-sin2α=154.]

所以[tanα=sinαcosα=1515.]

故答案選A.

【评析】三角函数化简求值问题一定要注意已知角与未知角、函数名、次数、系数之间的联系，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式对其进行转化，将陌生题型转化为熟悉题型. 该题主要考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出[sinα]. 由倍角公式，可得[tan2α=sin2αcos2α=2sinαcosα1-2sin2α]，再结合已知可求得[sinα=14]. 进而利用同角三角函数的基本关系式即可求解.

5. 解三角形

例6 （全国新高考Ⅱ卷·18）在[△ABC]中，角[A，][B，C]所对的边长分别为[a，b，c，b=a+1，c=a+2.]

（1）若[2sinC=3sinA]，求[△ABC]的面积;

（2）是否存在正整数[a]，使得[△ABC]为钝角三角形？若存在，求出[a]的值;若不存在，说明理由.

解：（1）因为[2sinC=3sinA]，

所以[2c=3a=2a+2].

所以[a=4，b=5，c=6].

所以[cosC=a2+b2-c22ab=18].

所以[C]为锐角，[sinC=1-cos2C=378].

因此[S△ABC=12absinC=12×4×5×378=1574].

（2）显然[c>b>a].

若[△ABC]为钝角三角形，则[C]为钝角.

由余弦定理，可得[cosC=a2+a+12-a+222aa+1=][a2-2a-32aa+1=a-32a<0]，解得[0<a<3].

由三角形三边关系，得[a+a+1>a+2]，解得[a>1].

由[a]为正整数，得[a=2].

【评析】正弦定理和余弦定理是解三角形问题的主要工具，关键是选择合适的方式进行边角互化. 对于第（1）小题，由正弦定理可以得到[2c=3a]，结合已知条件求出[a]的值，进一步可以求得[b]，[c]的值，利用余弦定理及同角三角函数的基本关系求出[sinB]，再利用三角形的面积公式可求得结果. 对于第（2）小题，由分析可知，角[C]为钝角，由余弦定理[cosC<0]，可以求得[a]的取值范围. 同时，要注意结合三角形“两边之和大于第三边”求出整数[a]的值.

二、解法分析

1. 利用数形结合，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特征

例7 （全国甲卷·理16）已知函数[fx=][2cosωx+φ]的部分图象如图1所示，则满足条件[fx-f-7π4fx-f4π3>0]的最小正整数[x]为       .

[y] [x] [O][2][图1]

解：由图知[34T=13π12-π3=3π4]，即[T=π].

由[T=2πω]，解得[ω=2].

由五点法，得[2 · π3+φ=π2]，即[φ=-π6].

所以[fx=2cos2x-π6].

所以[f-7π4=1， f4π3=0].

由[fx-f-7π4fx-f4π3>0]，得[fx>1]或[fx<0].

[f1=2cos2-π6<2cosπ2-π6=1]，下面用两种方法解决.

（方法1）结合图形可知，最小正整数应该满足[fx<0]，即[cos2x-π6<0]，

解得[kπ+π3<x<kπ+5π6，k∈Z].

令[k=0]，可得[π3<x<5π6]，得[x]的最小正整數为2.

（方法2）结合图形可知，最小正整数应该满足[fx<0]. 因为[f2=2cos4-π6<0]，符合题意，所以符合条件的最小正整数[x]为2.

【评析】三角函数的图象有显著的周期性特点，利用图象解决问题是三角函数部分的常见考点. 先根据图象求出函数[fx]的解析式，由周期可以求出[ω]的值，利用定点可以求出[φ]值. 再求出[f-7π4，f4π3]的值，然后求解三角不等式可得符合要求的最小正整数.

2. 利用数学建模思想解决应用型问题

例8 （全国甲卷·理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图2，是三角高程测量法的一个示意图，现有[A，B，C]三点，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]满足[∠AC′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由点[C]测得点[B]的仰角为[15°]，[BB]与[CC]的差为100;由点[B]测得点[A]的仰角为[45°]，则[A，C]两点到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]约为（    ）.（[3≈1.732].）

（A）346   （B）373   （C）446   （D）473

[A][B][C] [图2] [A][B][C][D][H] [图3]

解：如图3，过点[C]作[CH⊥BB，] 过点[B]作[BD⊥AA.]

由题意，知[△ADB]为等腰直角三角形，得[AD=DB].

因为[AA-CC=AA-BB-BH=AA-BB+100=][AD+100]，

所以[AA-CC=DB+100=AB+100].

因为[∠BCH=15°]，

所以[CH=CB=100tan15°].

在[△ABC]中，由正弦定理，得[ABsin45°=CBsin75°=]

[100tan15°cos15°=100sin15°].

因为[sin15°=6-24]，

所以[AB=100×4×226-2=1003+1≈273].

所以[AA-CC=AB+100≈373].

故答案选B.

【评析】解答该题的关键点在于正确将[AA-CC]的长度通过引入辅助线的方式转化为[AB+100]. 借助辅助线，将已知及所求量转化到一个三角形中，利用正弦定理，求得[AB]的长度，进而得到答案. 正弦定理和余弦定理是解决三角形应用问题的重要工具，该题侧重考查学生的数学建模能力，培养学生用数学语言发现、表达、建立和解决现实世界中的实际问题的能力.

3. 创新性题型：多选题和结构不良题的解决策略

例9 （全国新高考Ⅰ卷·10）已知点[O]为坐标原点，点[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，则（    ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA ∙ OP3=OP1 ∙ OP2]

（D）[OA ∙ OP1=OP2 ∙ OP3]

解：由[OP1=cosα，sinα]，[OP2=cosβ，-sinβ]，得[OP1=1， OP2=1]. 所以[OP1=OP2]. 故选项A正确.

因为[AP1=cosα-1，sinα， AP2=cosβ-1，-sinβ]，所以[AP1=cosα-12+sin2α=21-cosα=4sin2α2=][2sinα2]. 同理，[AP2=2sinβ2]. 所以[AP1， AP2]不一定相等. 故选项B错误.

由题意，得[OA ∙ OP3=1 · cosα+β+0 · sinα+β=][cosα+β， OP1 ∙ OP2=cosαcosβ+sinα-sinβ=cosα+β.]故选项C正确.

由题意，得[OA ∙ OP1=1 · cosα+0 · sinα=cosα]，[OP2 ∙ OP3=cosβcosα+β+-sinβsinα+β=cosα+2β.]

所以[OA ∙ OP1]和[OP2 ∙ OP3]不一定相等. 故选项D错误.

综上所述，答案选AC.

【评析】多选题的多级得分模式有利于提高学生的得分. 同时，多选题具有更大的考查容量，更丰富的数学思想，需要更广的解题思路，综合性加强，难度增大. 大部分学生解答该题时，会先写出向量的坐标，借用三角恒等变换研究向量的模和向量的数量积. 还有的学生利用单位圆与任意角的三角函数的定义，在坐标系中刻画点的位置，这样更容易解答问题. 多选题是近几年才出现的创新型试题，相对于单选题而言，需要逐项检验正误. 因此，学生在复习过程中需要不断强化基础知识和基本技能，寻找问题的解题思路.

例10（北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使[△ABC]存在且唯一确定，求[BC]边上中线的长.

条件①：[c=][2b];条件②：[△ABC]的周长为[4+23];条件③：[△ABC]的面积为[334].

解：（1）因为[c=2bcosB]，

所以由正弦定理，得[sinC=2sinBcosB].

所以[sin2B=sin2π3=32].

因为[C=2π3]，

所以[B∈0， π3]，则[2B∈0， 2π3].

所以[2B=π3]，解得[B=π6].

（2）若选择①：由正弦定理结合第（1）小题，得[cb=sinCsinB=3212=3]. 与[c=2b]矛盾. 故这样的[△ABC]不存在.

若选择②：由第（1）小题，得[A=π6]. 设[△ABC]的外接圆半径为[R]，由正弦定理，得[a=b=2Rsinπ6=R，][c=2Rsin2π3=3R]. 所以周长[a+b+c=2R+3R=4+23]，解得[R=2]，则[a=2，c=23]. 由余弦定理，得[BC]边上的中线的长度为[232+12-2×23×1×cosπ6=7.]

若选择③：由第（1）小题，得[A=π6]. 所以[a=b]. 则有[S△ABC=12absinC=12a2 · 32=334]. 解得[a=3.] 根據余弦定理，可得[△ABC]的边[BC]上的中线的长度为[b2+a22-2 · b · a2 · cos2π3=212].

【评析】由正弦定理化边为角即可求解第（1）小题. 对于第（2）小题，若选择①，由正弦定理可求得三角形不存在;若选择②，由正弦定理结合周长可求得三角形的外接圆半径，进而求得三角形各边长，再利用余弦定理即可求解;若选择③，由面积公式求出各边长，再用余弦定理进行求解. 由上述解答过程可以看出，试题所给的三个不确定条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可以解答. 而且在这三个不确定条件中，并没有哪个条件让解答过程变得比较繁杂，学生只要推导严谨、解答过程规范，都能顺利求解. 现实生活中的问题多是结构不良型问题，结构不良试题对于促进学生数学素养的养成、培养数学逻辑思维能力、体现高考选拔功能都有积极意义.

三、解法赏析

例11 （浙江卷·8）已知[α，β，γ]是互不相同的锐角，则在[sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα]三个值中，大于[12]的个数的最大值是（    ）.

（A）0    （B）1    （C）2    （D）3

解法1：由均值不等式，得

[sinαcosβ≤sin2α+cos2β2].

同理，可得[sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，]

[sinγcosα≤sin2γ+cos2α2].

所以[sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32].

所以[sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα]不可能均大于[12].

不妨设[α=π6，β=π3，γ=π4].

由此可得[sinαcosβ=14<12]，[sinβcosγ=64>12]，[sinγcosα=][64>12.]

所以三式中大于[12]的个数的最大值为2.

故答案选C.

解法2：不妨设[α<β<γ]，则[cosα>cosβ>cosγ，][sinα<sinβ<sinγ].

因为[sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα-sinαcosγ-][sinβcosβ-sinγcosα=sinαcosβ-cosγ+sinβcosγ-cosβ=][cosβ-cosγsinα-sinβ<0]，

所以[sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα<sinαcosγ+][sinβcosβ+sinγcosα].

因为[sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα=sinγ+α+][12sin2β≤32]，

所以[sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα]不可能均大于[12].

不妨设[α=π6，β=π3，γ=π4].

由此可得[sinαcosβ=14<12]，[sinβcosγ=64>12]，[sinγcosα=][64>12.]

故三式中大于[12]的个数的最大值为2.

故答案选C.

解法3：由积化和差公式，得

[sinαcosβ=12sinα+β+sinα-β]，

[sinβcosγ=12sinβ+γ+sinβ-γ]，

[sinγcosα=12sinγ+α+sinγ-α].

因为[α-β+β-γ+γ-α=0]，

所以[α-β， β-γ， γ-α]中至少有一个小于0且大于[-π2].

所以[sinα-β，sinβ-γ，sinγ-α]中至少有一个小于0.

因为[sinα+β，sinβ+γ，sinγ+α]的最大值为1，

所以[sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα]中至少有一个小于[12].

不妨设[α=π6，β=π3，γ=π4].

由此可得[sinαcosβ=14<12]，[sinβcosγ=64>12]，[sinγcosα=][64>12.]

故三式中大于[12]的个数的最大值为2.

故答案选C.

【评析】比较代数式的大小问题，可以根据代数式的乘积的特点选择用均值不等式或排序不等式进行放缩，要注意根据三角恒等变换的公式特征选择正确的放缩方向. 该题利用均值不等式或者排序不等式，可得[sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32]. 从而可判断三个代数式不可能均大于[12]，再结合特例可得三式中大于[12]的个数的最大值. 也可以使用积化和差公式判断三个代数式不可能均大于[12].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]闫旭，王恩波. 2019年高考“三角函数”专题解题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2019（7 / 8）：46-52.

[3]金克勤. 2020年高考“三角函数”专题命题 分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：48-56.