2021年高考“函数与导数”专题命题分析

黄厚忠 陈桂明

摘  要：通过对2021年全国各地高考数学试卷中函数与导数试题的比较分析，总结函数与导数相关试题的命题方法，探求命题意图，揭示命题规律，给出教学建议和复习策略.

关键词：函数与导数;命题原理;教学建议;复习策略

函数是中学数学教学的核心，贯穿整个高中数学学习过程，是学生进入大学继续学习的基础，起着承上启下的作用. 因此，函数与导数内容一直是高考数学命题的重点，呈现出题量多、分值大、区分度高、选拔性强的特点.

一、内容分析

2021年全国各地高考数学试卷，依然将函数与导数列为重点考查内容，在命题理念、题项设置、分值分布方面大同小异;在知识内容、思想方法、素养能力考查方面既保持一定的稳定性，又有变化创新. 2021年高考数学函数与导数试题的命题特点表现为：命题以课程标准为纲，以考查数学学科核心素养为出发点，试题发端于平常，源于教材，在平凡中见不平凡，既精巧雅致又综合恢弘. 限于篇幅，本文仅对4套（6份）全国卷进行分析，北京、上海、天津、浙江4套试卷的命题特点与全国卷基本相同，其命题分析可参照本文. 2021年全国卷函数与导数试题考查情况汇总如下表所示.

試题特点分析如下.

（1）与往年相比，2021年高考函数与导数相关试题在题型、题量上基本保持稳定，选择题、填空题、解答题均有考查，一般按“三小一大”的规律分布.

（2）函数与导数内容在每份试卷中所占的分数均在22 ～ 27分，比重较大，可见函数与导数内容在高中数学中不可忽视的重要地位.

（3）2021年高考全国卷中均有函数与导数试题作为压轴题，凸显了其区分度高、选拔性强的特点.

（4）考点覆盖全面，对函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用等内容实现考查全覆盖.

（5）数学思想方法蕴涵丰富，函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法紧密联系，突出对关键能力的考查.

二、用初等方法研究基本初等函数

基本初等函数的图象与性质一般通过选择题和填空题两种题型进行考查，通过最基本的初等函数的组合叠加，构造新的函数，考查函数的定义域、值域、图象、单调性、奇偶性等基本性质. 函数的表达类型包括整式型、分式型、根式型、分段型、绝对值型等.

例1 （全国甲卷·文4）下列函数中是增函数的为（    ）.

（A）[fx=-x] （B）[fx=23x]

（C）[fx=x2] （D）[fx=x3]

【评析】此题以基本的一次函数、幂函数、指数函数为载体，以选择题的形式对函数的单调性进行考查，体现了高考数学命题的“基础性”原则，属于简单题.

例2 （全国乙卷·文8）下列函数中最小值为[4]的是（    ）.

（A）[y=x2+2x+4] （B）[y=sin x+4sin x]

（C）[y=2x+22-x] （D）[y=ln x+4ln x]

【评析】此题考查函数求最值的方法：单调性和利用基本不等式. 函数类型涉及二次函数、三角函数、指数函数、对数函数. 形式上有整式型、分式型、绝对值型. 所有函数表达形式都源于教材，命题精巧灵活，解法多样，体现了高考数学命题的“多样性”原则.

例3 （全国乙卷·文9 / 理4）设函数[fx=1-x1+x，]则下列函数中为奇函数的是（    ）.

（A）[fx-1-1] （B）[fx-1+1]

（C）[fx+1-1] （D）[fx+1+1]

【评析】此题是根据已知函数表达式，判断另一函数的性质. 可以求出四个选项中的函数表达式，再根据表达式判断函数的对称性. 但是如果能够发现[fx=][1-x1+x=-1+21+x]的对称中心为[-1，-1，] 利用平移变换即可直接得到答案. 此题以一次分式函数的对称性为命题起点，考查函数图象的平移和对称性的判断. 对称性体现了数学的形式美，一直受到高考命题者的青睐. 命题从一个简单函数出发，在此基础上，构造新函数进行深度研究，体现了高考数学命题的“创新性”原则.

例4 （全国甲卷·文12）设[fx]是定义域为R的奇函数，且[f1+x=f-x.] 若[f-13=13，] 则[f53]的值为（    ）.

（A）[-53]  （B）[-13]  （C）[13]  （D）[53]

【评析】此题在第12题的位置，具有区分性和选拔功能. 此题无函数表达式，以抽象函数为载体，考查函数的对称性和周期性. 作为选择题解法多样，可以推理转化，运用条件[f-x=-fx]和[f1+x=f-x，]将[f53]进行转化，即[f53=f1+23=f-23=-f23=][-f1-13=-f13=f-13;] 也可以构造一个对称轴为[x=12]的奇函数，首先想到三角函数[fx=Asinπx.] 当然，如果能看出函数的周期为2，则立刻得出答案. 此题能很好地考查学生的阅读理解、转化翻译、逻辑推理、运算求解和构造能力，属较难题. 比较全面地考查了学生的数学学科核心素养，体现了高考数学命题的“综合性”原则.

例5 （全国甲卷·理12）设函数[fx]的定义域为R，[fx+1]为奇函数，[fx+2]为偶函数，当[x∈1，2]时，[fx=ax2+b.] 若[f0+f3=6，] 则[f92]的值为（    ）.

（A）[-94]   （B）[-32]   （C）[74]   （D）[52]

【评析】明显可以看出，全国甲卷的文、理科第12题为姊妹题，考查的内容都是函数的对称性和周期性，但在给出的条件形式上，理科比文科复杂. 高考文、理科同类型试题往往呈现姊妹题特征，一般文科比较简单，理科试题在文科试题上延展深入，思维拔高，落实深度学习要求，体现了高考数学命题的“研究性”原则.

例6 （全国新高考Ⅰ卷·13）已知函数[fx=][x3a ∙ 2x-2-x]是偶函数，则[a]的值为        .

【评析】此题以填空题的形式呈现，考查基本初等函数的奇偶性. 函数类型涉及幂函数和指数函数. 根据填空题的特点，可以利用[f-x=fx]恒等求出参数[a]的值，也可以用特殊值法求解.

例7 （全国新高考Ⅱ卷·14）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.

①[fx1x2=fx1fx2;]

② 当[x∈0，+∞]时，[fx>0;]

③[fx]是奇函数.

【评析】此题要求根据函数满足的几个条件，写出具体的函数解析式，答案不唯一，考查学生思维的灵活性和发散性. 此题以开放的形式，给不同水平的学生提供了充分发挥自己数学能力的空间. 未来高考将会加大对开放试题和结构不良试题的考查力度，师生务必引起注意.

函数的概念、性质（单调性、奇偶性、周期性）、图象、最值与值域等是函数主干知识，也是基本内容，更是学生学习高等数学的必备知识，因而倍受高考命题者的青睐. 命题时难度控制自如随意，解题思想方法灵活多样，能有效考查学生的数感、量感、形感. 试题区分度较高，能够让不同层次的学生都有获得感. 命题题型一般为选择题和填空题，同时关注开放试题、结构不良试题的考查形式，全国新高考Ⅱ卷第14题就是探索与尝试.

三、用导数研究基本初等函数

对导数简单应用的考查一般出现在选择题或填空题的后半部分，主要考查利用导数求曲线的切线方程和函数的最值，试题难度中等偏上，具有很好的区分度与选拔性.

例8 （全国甲卷·理13）曲线[y=2x-1x+2]在点[-1，-3]处的切线方程为           .

【评析】此题以一次分式函数为背景进行命制，考查求切线方程的方法，直接求导即可求解，属于简单题. 而全国新高考Ⅰ卷中涉及切线问题的试题，则比较复杂.

例9 （全国新高考Ⅰ卷·7）若过点[a，b]可以作曲线[y=ex]的两条切线，则（    ）.

（A）[eb<a] （B）[ea<b]

（C）[0<a<eb] （D）[0<b<ea]

【评析】此题以常见的指数函数为命题背景，简洁明快，但内涵丰富，具有很好的区分度，不同思维水平的学生会产生不同的解法. 如果利用导数求切线方程，运算量很大，费时费力. 此题表面考查切线问题，实则考查学生对函数[y=ex]图象的理解程度，如渐近性和凸凹性. 能很好地考查学生的直觉思维，特别是利用函数图象分析问题的能力. 如下图，画出函数[y=ex]的图象，即可直观判定当点[a，b]在曲线下方、

[x]轴上方时，才可以作出两条切线. 由此可知[0<b<ea.] 此题重视对学生数学学科核心素养的考查，避免了“机械刷题”现象，充分发挥了高考指挥棒的作用，可谓独具匠心，在平凡处见不平凡.

导数的另外应用是求函数的极值和最值.

例10 （全国新高考Ⅰ卷·15）函数[fx=2x-1][-2lnx]的最小值为      .

【评析】全国新高考Ⅰ卷中的函数与导数相关试题涉及的函数类型较多，第7题为指数函数，第15题为对数函数求最值. 形式上有绝对值、去绝对值符号分类讨论等. 同样是求函数的最值、极值问题，全国乙卷无论在函数形式上，还是命题难度上都要比全国新高考Ⅰ卷复杂.

例11 （全国乙卷·文12 / 理10）设[a≠0，] 若[x=a]为函数[fx=ax-a2x-b]的极大值点，则（    ）.

（A）[a<b] （B）[a>b] （C）[ab<a2] （D）[ab>a2]

【评析】此题以三次函数为命题素材. 可以模拟三次函数的图象，分析出[a]的正负;也可以构造一个特殊函数，得到答案. 此题立意新颖，考查分类讨论思想、数形结合思想，以及学生的分析和构造能力.

选择题和填空题中的导数应用问题一般以三次函数、指数函数、对数函数作为命题载体;考查内容一般为曲线问题和最值问题;解题方法一般涉及分类讨论和数形结合等思想. 命题者也希望学生能够充分运用选择题和填空题的特点，采用排除、构造、数形结合等方法和策略，达到“小题小做”“难题巧做”的效果;在难度控制上，因為解答题中必有一道函数与导数试题，且一般为难题，所以相关选择题和填空题的难度一般控制在中档难度. 教师在复习训练中要有“减负”意识，不要加重学生的学习负担;试题形式一般呈现清新雅致的特点，让学生感到既似曾相识，又新颖别致.

四、解答题命题分析

解答题中的函数与导数相关试题一般出现在试卷最后两题的位置，以导数为重要工具，研究函数的性质. 从函数的切线、对称轴、极值点、零点出发，考查学生理解数学字母或符号的能力、运算能力、逻辑推理能力和创新能力. 试题命制背景比较深刻，要综合运用函数、方程、不等式等知识，运用数形结合、分类讨论、方程、转化与化归等数学思想进行求解，能够全方位考查学生的综合能力和数学学科核心素养.

例12 （全国甲卷·文20）设函数[fx=a2x2+ax][-3ln x+1，] 其中[a>0.]

（1）讨论[fx]的单调性;

（2）若[y=fx]的圖象与[x]轴没有公共点，求[a]的取值范围.

【评析】此题中的函数源于教材. 将一个常数系数变成参数后，函数的极值点、零点和切线位置发生变化，进而可以研究直线与曲线的位置关系，对学生的运算能力和数形结合思想进行考查.

例13 （全国甲卷·理21）已知[a>0]且[a≠1，] 函数[fx=xaax x>0.]

（1）当[a=2]时，求[fx]的单调区间;

（2）若曲线[y=fx]与直线[y=1]有且仅有两个交点，求[a]的取值范围.

【评析】例12和例13为一对姊妹题，虽然函数形式不一样，但命题理念一致. 函数[y=xa]和[y=ax]分别是学生熟悉的幂函数和指数函数，将这两个函数相除得到的新函数又有哪些性质可以研究？命题者信手拈来，旧瓶装新酒，让人满口余香.

例14 （全国新高考Ⅰ卷·22）已知函数[fx=][x1-lnx.]

（1）讨论[fx]的单调性;

（2）设[a，b]为两个不相等的正数，且[bln a-aln b=][a-b，] 证明：[2<1a+1b<e.]

【评析】[fx=x]和[fx=1-lnx]是学生熟悉且非常简单的两个函数，将这两个函数相乘，得到一个新的函数，这个函数又有什么性质？[bln a-aln b=a-b]等价于[1+ln aa=1+ln bb，] 也就是[f1a=f1b.  2<1a+] [1b<e]又有什么意义？这两个式子实际上就是刻画极值点偏移的一种方式，具有高等数学的背景.

函数与导数的解答题，立意高远，常取材于教材，然后通过改常量为变量的方法，增加函数性质的不确定性，达到考查学生综合能力的目的. 或者通过简单、常见函数的堆砌重组，构造新的函数，让学生感到既似曾相识，又新意迭出.

五、教学建议

在“双减”背景下，减轻学生的学习负担，提高数学教学的效益和质量，优化改进高考命题形式，真正落实“一层”“四翼”和“四基”“四能”，培养学生的数学学科核心素养，充分发挥高考指挥棒的作用，为国家培养好人才，选好、选对人才，都是摆在我们面前需要解决的问题. 对此，2021年高考进行了有益的探讨和尝试.

要减轻学生的学习负担，教师要从被动的解题者转换为命题者，把握题目的实质和本质. 无论是概念教学还是解题教学，始终要问：为什么要提出这个概念？这个题目是怎样命制出来的，题目的“根”生长在什么地方？还能改编变式吗？每道高考试题都是命题团队精心打磨的成果，试题具有典雅精致、背景深刻、内涵丰富、解法众多等特点. 建议教师在日常教学中注意以下几点.

1. 认识一条主线

函数是初等数学中最基础也是最重要的内容，高中数学以函数为主线，衍生出数列、方程、不等式等内容，可以和三角函数、解析几何、向量等结合命题，延伸到微积分中的导数，体现了基础性、综合性、应用性、创新性. 导数的介入丰富了研究函数的手段，也丰富了命题途径.

2. 把握两个“基本”

（1）基本类型：一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，表现形式有整式型、分式型、绝对值型、分段型. 对高考数学试题进行分析，发现虽然试题中涉及多种类型的初等函数，但都是以最简单的函数形式出现，经过适当组合，推陈出新，让人耳目一新. 为此，在教学中，教师要让学生掌握经典函数形式，如[y=ax±a-x，y=ax+bcx+d，y=fx±kfx.]

（2）基本性质：表达式、定义域、最值、单调性、凸凹性、渐近性、极值点、零点、拐点等. 函数的上述性质是高考命题的主要内容. 对于这些基本性质概念的教学，教师一定要让学生认识到四个问题：为什么？是什么？怎么判断？有什么用？以单调性为例，要解决的四个问题是：为什么要提出单调性这个概念？单调性的形式化定义是什么？怎样判断函数的单调性？函数的单调性有什么作用？

这两个“基本”是体现基础性最重要的内容.

3. 培养三种能力

函数与导数相关试题能较好地考查学生的直观想象能力、运算求解能力和逻辑推理能力. 在教学中，在遇到一个新的函数后，教师要引导学生不要急于求解，而是充分体会、想象这个函数“长”什么样. 从宏观和微观两个方面分析启发，从数和形两个角度诱导学生思考，培养学生的直觉思维能力. 学生有了较好的直观想象能力，就随之产生了创新能力.

4. 渗透四种思想

分类讨论、数形结合、转化与化归、函数与方程是解决函数与导数问题的四种重要数学思想. 这四种数学思想经常互为依存、结伴而行.

六、模拟题欣赏

1. 已知函数[y=fx]和[y=gx]分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且[f0=-4，fx=gx+2，] 则[gx]的解析式可以是（    ）.

（A）[y=-4sin πx4] （B）[y=4sin πx2]

（C）[y=-4cos πx4] （D）[y=4cos πx2]

答案：A.

2.（多选题）若函数[fx=-x3-x+2+m，x<1，x+1-lnx， x≥1] 的值域为[2，+∞，] 则（    ）.

（A）[f3>f2]

（B）[m≥2]

（C）[fln 22>f1e]

（D）[logmm+1>logm+1m+2]

答案：ABD.

3. 若以函数[y=fx]的图象上任意一点[Px1，y1]为切点作切线[l1，y=fx]图象上总是存在异于点[P]的点[Qx2，y2，] 使得以[Q]为切点的直线[l2]与[l1]平行，则称函数[fx]为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是        .

①[y=x3-2x;] ②[y=3x+1x;]

③[y=cos x;] ④[y=x-22+ln x.]

答案：②③.

4. 已知函数[fx=1+mln x m∈R.]

（1）当[m=2]时，一次函数[gx]对于任意的[x∈][0，+∞，] [fx≤gx≤x2]恒成立，求[gx]的表达式;

（2）讨论关于[x]的方程[fxf1x=x2]的解的个数.

答案：（1）[gx=2x-1;]

（2）当[m≤0]时，原方程在[0，+∞]上有唯一解;

当[0<m<1]时，原方程在[0，+∞]上有三个解;

当[m≥1]时，原方程在[0，+∞]上有唯一解.

高考对函数与导数的考查，资源丰富、源远流长，源于教材又高于教材. 从简单函数出发，能构造什么样的函数？学生在平时的学习中要注重积累，要有一双“慧眼”，方能“雾里探花”.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考试中心制定. 中国高考评价体系[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考试中心. 中国高考评价体系说明[M]. 北京：人民教育出版社，2019.

[4]郭慧清. 2020年高考“函数与导数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：28-38，64.