2021年高考“三角函数”专题命题分析

刘莉

摘  要：对2021年高考三角函数相关试题，从考查内容、试题类型、数学思想方法等方面进行分析，并对各份试卷中三角函数试题的命题特点进行了详细分析. 基于以上分析，指出三角函数教学应注重夯实基础、形成知识体系，把握本质、聚焦能力提升，重视应用、渗透数学文化和数学思想，发展核心素养.

关键词：2021年高考;三角函数;命题分析;备考建议

新时代教育评价改革构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题的开放性，减少死记硬背和机械刷题. 2021年高考数学试卷命题在考查学生进一步学习及未来发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的基础上，提高学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，发挥数学学科的选拔功能.

一、考查内容分析

1. 题型与分值

2021年高考数学“三角函数”试题命题风格新颖，在全国新高考卷中首次出现多选题，其他题型的题量设置也不尽相同，试题所占分值分布在10 ～ 27分之间，题型一般为一道客观题和一道主观题、两道客观题和一道主观题，或者三道客观题， 其中全国新高考Ⅰ卷中出现了三道客观题和一道主观题，分值达到27分. 客观题主要考查三角函数的图象、性质、三角恒等变换及求值问题，主观题主要考查三角函数与解三角形的交会问题，属于低、中档题.

2. 内容特点分析

2021年高考对三角函数内容的考查比较全面，分布在多個题型中，结构灵活. 重点考查学生对三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等知识的理解和应用，同时兼顾考查学生数学的思维能力、数学思想方法及数学学科核心素养.

（1）对三角函数图象与性质的考查主要在选择题中出现，包括三角函数的周期性、单调性、对称性，以及三角函数图象的变换和三角函数的最值问题等，重点考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养，以及数形结合数学思想.

（2）对三角恒等变换的考查，主要包括同角三角函数的关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、倍角公式等基本概念、基本公式的理解与应用，在客观题和主观题中都有体现，重点考查学生的数学运算素养及转化与化归能力.

（3）对解三角形的考查，在全国甲卷和全国乙卷的文科试卷中多体现在客观题部分，着重考查利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式来解三角形，理科试卷多在主观题中将其与三角恒等变换结合进行考查.

（4）对三角函数与其他知识的综合运用的考查，常结合不等式进行. 例如，全国甲卷理科第16题，难度适中，主要考查学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学学科核心素养，以及转化与化归、数形结合等数学思想.

3. 考查的思想方法

本部分内容涉及的数学思想方法主要有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论、整体代换等. 例如，全国甲卷理科第8题考查了转化与化归思想，全国新高考Ⅰ卷第4题和北京卷第7题考查了整体换元思想，全国甲卷理科第16题、文科第15题，以及浙江卷第7题考查了数形结合思想. 由此可知，整体代换思想、转换与化归思想、数形结合思想是本专题考查的重点.

4. 文、理科差异分析

2021年高考数学全国卷共4套（6份）. 从题型上看，全国甲卷文、理科均有3道客观题，但文科没有主观题，全国乙卷文、理科卷均没有主观题. 文、理科试卷考查的知识点基本一致，若出现不相同的试题，则理科考查的难度略高于文科，考查内容的综合性也相对较强. 这既体现了注重文、理科学生思维的差异性，也体现了命题者的人文关怀.

二、命题思路分析

三角函数是高中数学的基本内容，具有独特性和规律性，2021年高考三角函数试题结构、难度及知识内容保持平稳，多角度、多层次考查学生的数学基础知识. 在此基础上，注重对学生数学能力、数学思想方法及数学学科核心素养的考查. 命题体现了《中国高考评价体系》（以下简称《体系》）的要求，注重试题的基础性、综合性、创新型和综合性，并在深度和广度上进行挖掘延伸，对学生的思维能力要求有所提高，逐渐从考查知识向考查能力和素养转变，体现了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能. 具体分析如下.

1.“素养导向”考查思维

例1（全国新高考Ⅰ卷·6）若[tanθ=-2]，则[sinθ1+sin2θsinθ+cosθ]的值是（    ）.

（A）[-65]   （B）[-25]   （C）[25]   （D）[65]

例2 （浙江卷·7）已知函数[fx=x2+14，gx=][sinx]，则图象为如图1的函数可能是（    ）.

[O][x][y][图1]

（A）[y=fx+gx-14] （B）[y=fx-gx-14]

（C）[y=fxgx] （D）[y=gxfx]

【评析】《体系》确立了学科素养的考查目标，素养导向的新高考注重对学科观念和规律的考查，注重对科学思维的考查，注重对科学探究能力的考查，注重学生对基础知识的巩固和理解. 例如，全国新高考Ⅰ卷第6题以齐次式为背景依托，考查学生对问题本质的理解，此题既可以分情况讨论，也可以利用倍角公式将已知条件转化为熟悉的结构，还可以直接齐次化处理，将分子和分母都变为三次式，给了学生更多灵活处理的空间. 浙江卷第7题把三角函数归入函数的主线来研究，主要考查函数的基本性质，如奇偶性和最值，同时渗透数学极限思想.

2. “结构不良”适度开放

例3（北京卷·16）在[△ABC]中，[c=2bcosB，][∠C=2π3].

（1）求[∠B];

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使[△ABC]存在且唯一确定，求[BC]边上中线的长.

条件①：[c=][2b];条件②：[△ABC]的周长为[4+23];条件③：[△ABC]的面积为[334].

例4 （北京卷·14）若点[Acosθ，sinθ]关于[y]轴的对称点为[Bcosθ+π6，sinθ+π6]，则[θ]的一个取值为      .

【评析】北京卷第16题属于条件开放题型，该题打破固有模式，学生选择不同的条件会得到不同的结论;北京卷第14题属于结论开放题型，着重考查学生对任意角三角函数值的理解，两个角的正弦三角函数值相等且余弦三角函数值相反，学生可以借用三角函数线来求解，也可以用赋值来找到正确答案，考查学生思维的系统性、灵活性、深刻性、创造性. 结构不良试题通常表现为以下几个方面：缺少部分问题条件或数据;对问题目标的界定不明确;评价解决方法的标准多样;试题所涉及的概念、原理和规则等不确定. 在日常教学中，教师应注意引导学生在解决问题的过程中，善于根据具体问题情境，注重从多个角度进行分析，考虑问题的多种可能，寻找不同路径，提出多种解决方法，充分调动知识储备，从而得出结论并加以证明.

3.“多选问题”侧重选拔

例5 （全国新高考Ⅰ卷·10）已知点[O]为坐标原点，点[P1cosα，sinα，P2cosβ，-sinβ，P3cosα+β，sinα+β，][A1，0]，则（    ）.

（A）[OP1=OP2]

（B）[AP1=AP2]

（C）[OA ∙ OP3=OP1 ∙ OP2]

（D）[OA ∙ OP1=OP2 ∙ OP3]

【评析】新高考试卷对以往区分文、理的数学科目提出了更高的选拔区分要求. 新高考背景下的数学命题需要创新试题形式、优化试题结构以适应不分文、理科条件下的选拔功能. 从多选题的得分情况看，得中间分数（2分）的学生比例较大，多选题的多级得分模式有利于提高低水平学生的得分. 同时，多选题具有更大的考查容量，更丰富的数学思想，需要更广的解题思路，综合性加强，难度增大，有更强的选拔功能，能够有效提高试卷的区分度. 全国新高考Ⅰ卷第10题基于《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》），体现了多选题在设置上所注重的科学性和合理性. 学生既可以围绕向量的模及向量的数量积逐一进行验证，也可利用单位圆与三角函数线的知识快速解答，避免了处理四个选项等同于做四道类似试题的烦琐，突出素养立意，重点考查学生运用三角函数的基本思想方法分析问题和解决问题的能力，以及在开放情境中发现主要矛盾的能力.

4. “知识交会”适度延伸

例6（全国甲卷·理16）已知函数[fx=][2cosωx+φ]的部分图象如图2所示，则满足条件[fx-f-7π4fx-f4π3>0]的最小正整数[x]为       .

[y] [x] [O][2][图2]

例7 （浙江卷·8）已知[α，β，γ]是互不相同的锐角，则在[sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα]三个值中，大于[12]的个数的最大值是（    ）.

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【评析】2021年高考数学试题体现了问题处理从单一因素到复合因素的转变，不仅强调知识本身，更注重知识交会，准确地考查学生的学习水平、思考深度、思维习惯和科学态度. 例如，全国甲卷理科第16题，将三角函数的图象及性质与解不等式融合，考查学生的基础知识、基本技能. 同时，解法多样化，为不同层次的学生搭建平台. 浙江卷第8题将三角函数与不等式交会，突出素养立意，体现研究代数式的大小问题，可以根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排列不等式进行放缩，要特别注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向，此题难度较大.

5. “真实情境”学以致用

例8 （全国甲卷·理8）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 图3是三角高程测量法的一个示意图，现有[A，B，C]三点，且[A，B，C]在同一水平面上的投影[A，B，C]满足[∠AC′B′=45°]，[∠ABC=60°]. 由点[C]测得点[B]的仰角为[15°]，[BB]与[CC]的差为100;由点[B]测得点[A]的仰角为[45°]，则[A，C]两点到水平面[ABC]的高度差[AA-CC]约为（    ）.（[3≈1.732].）

（A）346   （B）373   （C）446   （D）473

[A][B][C] [图3]

【评析】2021年素养导向下的高考全国卷命题注重对情境化问题的考查，结合生产、生活实际设计试题，采用源于社会和生活的真实情境，着重考查学生分析和解决实际问题的能力. 例如，全国甲卷理科第8题以测量珠穆朗玛峰高度的方法之一——三角高程测量法为背景进行设计，要求学生能正确运用线线关系、线面关系、点面关系等知识建构计算模型. 這类试题情境真实，突出理论联系实际，考查学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等素养，同时渗透数学建模素养及数学思想方法的应用，体现了基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，对人才选拔与立德树人具有积极的意义.

三、复习建议

2021年高考注重增强试题的开放性和探究性，对学生的独立思考能力要求更高，意在引导学生在学习中打破常规，自主发现问题和解决问题，而且以实际背景为依托，要求学生能够将现实问题转化成数学问题，能够创造性地解题. 因此，在复习中应该注意以下几点.

1. 夯实基础，形成知识体系

高考数学对三角函数专题的考查趋于稳定，而高考热点问题往往来源于对教材习题的变形和深入研究.因此，在备考阶段，老师应引导学生回归教材，做到源于教材、高于教材. 例如，任意角三角函数的概念、二倍角公式、三角函数的图象与性质、正弦定理与余弦定理等都是教材中的基本概念或基本公式，是解决三角函数与解三角形问题的重要工具. 在备考阶段，要注重把握这些核心概念，理解知识的本质，理清相关概念及各类公式之间的联系，形成知识结构体系，进而类比、迁移、延伸出新的数学问题.

2. 把握本质，聚焦能力提升

三角函数部分的内容考查方式灵活，公式变形复杂而且巧妙，把握其规律性有一定难度. 只有提高数学思维能力，学生才能从容面对创新题、综合题、变式题，才能运用数学思维分析、破解复杂多变的试题. 因此，教师在课堂上要重视对学生数学思维能力的培养，渗透数学思想与通性、通法. 例如，对于以性质、图象为主线的题目，要引导学生牢记三角恒等变换法则和辅助角公式，将其变换为同角的三角函数后再研究其性质;对于三角函数化简求值和解三角形问题，要引导学生注意已知角与未知角、函数名、次数、系数之间的联系，利用诱导公式、基本关系、正弦定理、余弦定理等对其进行转化，化新为旧等.

3. 重视应用，贯穿数学文化

《标准》指出，高中数学课程要关注数学与人类社会生活更紧密的关联，体现现代数学的本质. 2021年高考三角函数试题强调三角函数在解三角形中的应用，注重三角函数的工具性和实用性. 同时，高考三角函数试题有加强与实际背景、文化背景连接的趋势. 因此，在日常的教学中，需要引导学生有意识地观察生活，抽象提炼，分析有实际背景的数学问题. 教师不能忽视教材中的数学建模与数学探究，要创造条件让学生经历数学建模的过程. 教师要示范阅读应用问题的材料，培养学生理解生活语言，从中抽象数量关系，利用数学语言进行描述，进而应用数学方法解决问题的能力.

4. 渗透思想，发展核心素养

新课程理念要求数学学习不再只是数学题目的解法学习，而应该逐步提升学生的学科素养，借助数学试题培养学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等素养. 学生核心素养的提升是一个长期的过程，教师在具体教学中可以通过数学思想的渗透来引导和落实. 例如，通过渗透数形结合思想，让学生掌握借助数形结合来简化问题解决过程的方法;通过渗透方程思想，使学生认识列方程来求解问题的方法;通过模型思想，有意识地逐步培养学生的建模思维，并结合具体的内容发展学生的学科素养，为学生的长远发展打下坚实的基础.

四、模拟题欣赏

1. 已知在[△ABC]中，角[A，B，C]的对边分别为[a，b，c，cosA=23，b=2，c=3]. 则[BC]边上的高为（    ）.

（A）1 （B）[2] （C）[3] （D）2

答案：D.

2. 若[tanα=-3]，则[sin2α-2cos2α]等于（    ）.

（A）[-12] （B）[-1] （C）1 （D）2

答案：C.

3. 已知函數[fx=asinx-bcosx]在[x=π4]处取到最大值，则[fx+π4]是（    ）.

（A）奇函数

（B）偶函数

（C）关于点[π，0]中心对称

（D）关于[x=π2]轴对称

答案：B.

4.（多选题）函数[fx=sin2x+π4+cos2x+π41-sinxcosx，]则（      ）.

（A）[fx]为周期函数

（B）[fx]的图象关于点[π4，0]对称

（C）[fx]有最大值[233]

（D）[fx]在[-π2，0]上单调递增

答案：ABD.

5. （多选题）关于函数[fx=2cos2x-cos2x+π2-1]的描述正确的是（    ）.

（A）其图象可由[y=2sin2x]的图象向左平移[π8]个单位得到

（B）[fx]在[0， π2]上单调递增

（C）[fx]在[0，π]有2个零点

（D）[fx]在[-π2，0]的最小值为-1

答案：AC.

6. 函数[fx=Asinωx+φ A>0，ω>0，-π<φ<0]的部分图象如图4所示，则[fx]的解析式为      .

[2][x][y][O][图4]

答案：[2sin2x-π3].

7. 函数[fx=sin2x+cos2x-π6]的最大值为      .

答案：[3].

8. 在[△ABC]中，角[A]的平分线交线段[BC]于点[D]，如图5所示.

（1）证明[ABAC=BDDC];

（2）若[AB=6，BC=7，AC=8]，求[AD].

[D][A][B][C][图5]

（1）证明：设[∠CAD=∠1，∠BAD=∠2，]

则[∠1=∠2].

因为[S△ACD=12 ⋅ AC ⋅ AD ⋅ sin∠1，S△ABD=12 ⋅ AB ⋅][AD⋅sin∠2]，

所以[S△ABDS△ACD=ABAC].

设点[A]到[BC]的距离为[h]，

则[S△ABDS△ACD=12BD ∙ h12DC ∙ h=BDDC].

所以[ABAC=BDDC].

（2）解：因为[ABAC=BDDC=68=34]，

[BC=BD+DC=7]，

所以[BD=3，DC=4].

在[△ABC]中，由余弦定理，可得[cosB=14].

所以在[△ABD]中，[AD2=AB2+BD2-2AB ∙ BD ∙ ][cosB=36]. 解得[AD=6].

9. 在[△ABC]中，角[A，B，C]所对的边分别是[a，b，c]，且[3b2c-3a=cosBcosA].

（1）求角[B]的大小;

（2）若[b=2]，求[△ABC]的面积的最大值.

答案：（1）[B=π6];（2）[2+3].

分析：由正弦定理进行边角互化，将边化为角，然后逆用两角和的正弦公式进行化简，即可求出角[B]的大小;运用余弦定理和不等式计算出[ac]的最值，然后运用三角形面积公式即可求出面积的最大值.

解：（1）因为[3b2c-3a=cosBcosA]，

所以由正弦定理，得[3sinB2sinC-3sinA=cosBcosA].

所以[3sinBcosA=2sinC-3sinAcosB].

所以[3sinA+B=2sinCcosB].

所以[3sinC=2sinCcosB].

因為[sinC≠0]，

所以[cosB=32].

因为[0<B<π]，

所以[B=π6.]

（2）由余弦定理，得[b2=a2+c2-2accosB]，

即[22=a2+c2-2accosπ6].

所以[4=a2+c2-3ac≥2ac-3ac]，当且仅当[a=c]时，等号成立.

所以[ac≤42-3=42+3].

所以[S△ABC=12acsinB≤12×42+3×12=2+3.]

即[△ABC]的面积最大值为[2+3].

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]金克勤. 2020年高考“三角函数”专题命题分析[J]. 中国数学教育（高中版），2020（9）：48-56.

[3]樊红玉，李红霞，赵思林. 2020年高考三角函数试题评析与备考建议[J]. 中学数学（高中版），2021（3）：21-23.