数学拓展课的设计原则及路径举隅

王卫东

摘 要 数学拓展课是对教材中“综合与实践”领域的有效补充，其意在丰富拓展课程资源、渗透数学思想方法、提升数学核心素养。在设计数学拓展课时，可遵循以下六个原则：科学性原则、实践性原则、趣味性原则、整体性原则、开放性原则及发展性原则。基于以上设计原则，例举了三种常用的设计路径：延伸教材内容，完善认知体系;引入实际问题，激发多向思维;聚焦数学发展，培养创造能力。

关键词 数学拓展课 综合与实践  设计原则  设计路径

数学拓展课属于“综合与实践”领域的教学内容，它是课程校本化实施的重要载体，是对现行数学教材的有效补充，其意在丰富拓展课程资源、渗透数学思想方法、提升数学核心素养。作为校本课程资源，数学拓展课没有系统的、配套的教学素材，因此，“教什么”便成为数学拓展课教学首先要面临的难题。为了解决这个问题，一方面，教师要充分运用好教材中的资源，在深刻解读不同版本教材的基础上，根据教学需要，对教材中的素材或进行深度挖掘，或进行合理补充，或进行重新整合;另一方面，教师要充分挖掘教材以外的资源，可以是数学发展中的历史故事，可以是事关当下的热门科技，还可以是生活中遇到的现实问题，等等。

一、数学拓展课的设计原则

虽然数学拓展课的教学资源来源宽泛、内容丰富，但很多资源往往不能直接加以引用，这就需要教师从教育教学的角度将它们分门别类、取舍整合。为了更好地达成教学目标，在开发数学拓展课时，我们应遵循以下几个设计原则。

1.科学性原则

数学教材中内容的选择与编排是经过众多专家、知名教师审核确定的，其科学性与合理性能得到最大程度的保证。但处于教材范围之外的数学拓展课，它的设计则带有一定的“草根性”，为此，教师要选取渠道正规、论证权威的教学资源，确保教学内容的科学性。

2.实践性原则

作为教材的有效补充，拓展课不受教学进度的限制，学生将会有更多的时间与机会参与实践活动中来。教师要发挥引领者的作用，对学生的实践行为给予适时的指导，从“想做”到“能做”，从“会做”到“乐做”，体验到实践活动带来的快乐。

3.趣味性原则

儿童是学习的主体，拓展课同其他类型的课一样，都应尊重儿童的特点，激发学习的兴趣。为此，在设计数学拓展课时，要引入生动活泼、贴近儿童的素材;在加工素材时，要力求用儿童的语言来表达数学，将教学活动润物无声地、有趣地加以推进。

4.整体性原则

当下社会是信息爆炸的社会，如何将众多的信息甄选取舍、有机整合呢？这离不开整体性的设计考量。在组织素材时，我们可以围绕教学目标设定一条教学主线，或呈现知识发生发展的过程，或展现事物间递进的逻辑关系，或引领知识、思想、智慧的逐步提升。借力教学主线能筛选、贯串、统领、协调各部分教学资源。

5.开放性原则

数学拓展课的教学内容是开放的，是对现行教材的补充与丰富，以此来对接学生已有的知识经验;也可以关注实际生活中的数学问题，以此来体验数学学科的应用价值;还可以从数学发展史里汲取素材，以此来感悟文化的魅力与精神的力量。

6.发展性原则

数学拓展课理应突显数学中的智慧，聚焦理性精神与创造能力的培养，引领学生在动手实践、思辨反省、概括总结的过程中实现智慧的萌发与生长，从而为培育数学核心素养添砖加瓦，为学生的终生发展定基石。

二、数学拓展课的设计路径

不同的数学拓展课承载着不同的学习任务，根据教学目标的不同、资源类型的不同，可以拟定富有个性化的设计路径。下面，笔者基于数学拓展课的设计原则，例谈三种常用的设计路径，以求起到抛砖引玉的作用。

1.延伸教材内容，完善认知体系

受到认知能力以及教学时间的局限，数学教材在编排一些知识点时，难免会存在体系不够完整，内容不够丰富的现象，而这正好为数学拓展课的教学留下了很好的“接口”。通过数学拓展课的延伸，可引领学生从新的视角重新审视以往的学习内容，从而更深刻地去理解知识之间的联系，进一步丰富、完善学生的认知体系。

【案例】“长方体与正方体中的点、线、面、体”

1.正方体中的点、线、面、体

（1）出示棱长为1厘米、2厘米、3厘米的正方体，完成下表。

（2）观察这些正方体点、线、面、体的变化，你有什么发现？

2.长方体中的点、线、面、体

（1）正方体与正方体之间的规律，对长方体来说，还适用吗？请举例说明。

（2）现在你有什么发现？

指出：只要两个长方体的形状一样，它们也存在着上述规律。

3.运用关系解决问题

粉刷一个小长方体需要用油漆0.4千克，照这样计算，粉刷长、宽、高都是它的2倍的大長方体，需要油漆多少千克？

……

“长方体与正方体”是苏教版六年级上册的教学内容，在教学过程中我们发现，学生对正方体（长方体）棱长变化引起的表面积、体积变化，认识比较模糊。为什么会这样呢？研读教材时不难发现：本单元缺少对点、线、面、体的横向与纵向的综合比较，没能揭示其中蕴藏的联系。为了弥补这样的缺憾，笔者带领学生先研究正方体，从不同的空间维度理解点、线、面、体之间的变化关系，即当“线”扩大（或缩小）n倍时（n不为0），“面”会扩大（或缩小）n2倍，“体”会扩大（或缩小）n3倍。在此基础上研究长方体，当学生发现不是所有长方体之间都存在上述规律时，引发思辨，学生感悟到相似体的特殊性及规律的局限性，从而贯通了知识间的联系，在丰富策略的同时完善了认知结构、培养了整体思维。

2.引入实际问题，激发多向思维

在数学拓展课中引入生活中的现实问题，可让学习活动更鲜活、更生动。用数学的眼光来观察生活，用数学的思维来解决问题，用数学的语言来描述世界，通过现实情景中问题的解决，学生感受到了数学是有用的，与此同时，他们也认识到解决问题的策略是多样的，解决问题的途径是多元的，以此来激发他们的多向思维。

【案例】“一片银杏叶有多大”

一片银杏叶的面积大约有多大？怎样测量呢？

1.数出面积

用透明的方格纸（每个小方格边长为1厘米），把它覆盖在一片银杏叶上，根据“整格的按整格算，不满整格按半格算”的计算方法，数出叶子的面积。

2.算出面积

依据皮克定理“多边形面积=多边形内部格点数+多边形边上格点数÷2-1”，算出面积。

3.量出面积

选出10片差不多大小的银杏叶，测量出厚度。把它们放入量杯中测量出总体积，用总体积除以厚度，得出了底面积，即叶子的面积。

4.称出面积

取厚的纸片，在上面描出一片银杏叶的轮廓后剪下来。在同样厚的纸片上剪出若干个边长为1厘米的小方格。在天平的一边放上树叶状的厚纸片，在天平的另一边不断添加小方格状的厚纸片，直至天平的两边平衡。此时，根据小方格的个数就可知晓银杏叶的面积大小。

5.推出面积

银杏叶大小可能不一样，但形状大致差不多，即它们之间存在着相似形的关系。利用两片叶子中“线”的关系（3：2）可推理出“面”的关系（32：22），接下来就可以根据一片已知面积的叶子来推算另一片叶子的面积了。

在学习完平行四边形、三角形等平面图形的面积计算公式之后，教材引入了不规则图形面积的测量方法，即“数格子”的方法。我们由此受到启发，求不规则平面图形的面积，还有其他方法吗？为此，笔者从“一片银杏叶的面积大约是多少？怎样测量呢？”引发学生思考与讨论，带领他们经历不同的探索过程。丰富的解决策略冲破了固有思维的局限，知识从单一到综合、方法从一元到多元、思路从禁锢到开放，学生深刻地体验到了策略运用的灵活性，真切地感受到了从不同角度思考问题带来的成功与喜悦。

3.聚焦数学发展，培养创造能力

数学发展史是数学拓展课的资源宝库，根据学生的知识储备与认知水平，可引入适合的数学历史素材，介绍数学知识的由来与发展，“见证”数学创造的巅峰时刻，让学生在浸润数学文化的同时树立创新意识，发展创造能力。

【案例】“莫比乌斯环”的教学

1.什么是莫比乌斯环

介绍莫比乌斯环的由来及制作方法。

2.一剪莫比乌斯环

学生操作实验：把莫比乌斯环的环宽平均分成两份，即在的地方剪开，可以得到一个大纸环;把莫比乌斯环的环宽平均分成三份，在莫比乌斯环的地方剪开，可以得到两个相连的小纸环。

3.再剪莫比乌斯环

顺着刚才的实验及结论，接下来，你又会有怎样的猜想呢？

學生猜想：如果在莫比乌斯环的、、处剪开，结果又会怎样呢？如果把一张长方形纸条的一端旋转540°，再把两端粘接起来，情况又会怎样呢？

对莫比乌斯环的教学，笔者没有止步于数学文化的简单介绍，而是关注了文化背后的创造意义。一个个大胆的猜想点燃了探索的热情、激发了创造的潜能。

对数学拓展课的设计而言，凸显拓展性固然重要，但我们也不要忽视了拓展课中的“数学味”，要重视拓展资源背后的数学思想与方法，重视拓展课中蕴藏的反思能力与创造能力、批判精神与理性精神，这样才能更好地发挥数学拓展课的育人价值。

[责任编辑：陈国庆]