立体几何单元的结构化教学路线*

苗 静 (华东师范大学附属东昌中学 200129)

《普通高中数学课程标准(2017年版》(下称《新课标》)要求教师应“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”[1]．数学是研究结构的科学，主要体现在知识结构、认知结构和教学结构三个方面：各数学知识之间有意义的联系形成了知识结构；学生头脑里的知识结构就是认知结构，在学习过程中观念的内容与组织，是有意义学习的结果和条件；而对知识形成清晰、牢固的认知结构是教学的主要任务，在认知结构理论基础上的数学结构化教学是指教师从数学“知识结构”的特点和学生“认知结构”的形成与发展规律出发，帮助学生在已有认知的基础上，让知识链延长与知识面拓展，把握解题结构之“本质”，从而从整体上把握数学知识、方法和观念，进而有效地克服肢解数学知识和方法的现象．

立体几何是高中数学的重要内容，它是初中平面几何基础上的进一步研究，是培养学生逻辑思维、科学计算、符号表达等能力的重要途经，也是研究三维世界的必要工具．相比代数而言，立体几何具有独立的公理化体系，《新课标》对立体几何的学习也提出了更高的要求，在教材内容结构进一步完善的基础上，在发展核心素养的目标下，立体几何的教学也需要重新的思考．

1 高中数学结构化教学的价值分析

数学结构化教学有三重意义：一是高观点下认识数学的本体性知识；二是数学知识的结构化；三是学生思维的结构化掌握．结构化教学是行之有效的学习方法．

1.1 结构化教学使知识的理解由孤立变为联系

任何知识都具有内在结构.从内在构成上看，数学知识是一个互相联系、互相贯通的结构体，每一个知识点都有它的来龙去脉，知识点之间也有错综复杂的关系.如果只关注知识的符号表征而忽略逻辑形式和意义，那么对于知识的记忆只是单纯的死记硬背，知识的理解只是表面化的，知识的学习也是凌乱无序的．而且机械记忆已不能适应瞬息万变的数字化时代，面对日新月异快速发展的知识,学生必须学会学习，由此课堂教学就不能仅是知识的灌输和传授，在核心素养的导向下，课堂教学不但要“见树木，更要见森林”，以纲带目、以简驭繁．

1.2 结构化教学使过程的探究由无序变为有序

在《新课标》导向下的数学教材需充分体现三个关注：关注同一主线内容的逻辑关系，关注不同主线内容之间的逻辑关系，关注不同数学知识所蕴含的通性通法、数学思想．[1]92教师应该从整体的角度思考，做到理解数学、理解教学、理解学生，从研究数学知识的组成要素、根据说明事物的逻辑顺序、借鉴知识形成的自然规律、分析知识结构的内在联系、遵循认知结构的形成规律等方面提炼研究数学对象的基本套路[2]，使不同数学知识的教学有章可循，进而让学生感悟学习数学、研究新事物、解决问题的基本规律．这对他们的终身发展是有益的，这也正是培养核心素养的最终目的．

1.3 结构化教学使方法的习得由表面变为本质

数学课堂的一大重要责任就是从概念、定理、例题中归纳、总结和提炼出基本的数学方法，构建方法的结构．但是在日常教学中,教师们更多关注方法本身,而不是方法的结构，可能教师对于某道题目可以说出用什么方法，但是不能站在更高的角度对这一方法加以本质化的概括，对方法的认识只停留在表面，有时还把方法与技巧混为一谈，殊不知数学重视的是解题的通法，而不是奇异的、特殊的技巧．既然数学方法是基于教学过程的、具有模式化和可操作性的数学行为，那么对于数学方法的学习也有规律可循．若能挖掘方法背后的本质规律，把方法类比迁移、拓展应用到新问题的解决过程中，升华为数学思想的感悟，才是对数学方法结构化的学习．

1.4 结构化教学使思维的建构由割裂变为系统

对于定理、公式，教师往往重解题，轻过程，殊不知“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，没有数学思想的知识和方法只是一种教条．数学教育家傅种孙先生曾为数学教学标明了三个递进的境界：一是知其然，二是知其所以然，三是知何由以知其所以然．“何由以知其所以然”指的就是要培养学生的数学思维，这才是数学教学的根本任务．要发展学生的思维能力，就是要从数学的角度解决“怎么想到的”“如何发现的”等本源性问题，要在数学教学中讲“理”，其中关键是要有“一般观念”的引领，使数学的发现具有“必然性”，把数学的思维方式显现出来，这才是科学研究的基本之道，才是实现数学育人目标的重要途经．[3]教学中，在一般观念的引领下，让学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题，才能感悟数学思维的结构性和系统性．

总的来说，数学结构化教学帮助教师整体把握教学思路、深刻理解教学内容、充分认识学生认知规律，对发展学生的核心素养有着奠基性作用．

2 对“立体几何”单元进行结构化教学重构的必要性

2.1 教学现状

学生虽然在初中接触过平面几何，但在立体几何的学习过程中还是会面临一定的障碍，一部分原因是未能在教学过程中形成结构化的思考.几何不同于代数，主要是对图形的研究，具体用什么方法研究、如何研究才是学生应该真正掌握的，也是发展逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养的要求．教师在教的过程中往往按照教材，关注表面结论，缺乏深度的理解，不注重教学结构的提炼，因而无法让学生形成系统、联系的认知结构．以下是立体几何单元中容易被忽视的几个方面：

(1)知识上：在立体几何中，对概念、定理等知识的认识主要具有“抽象性”与“逻辑性”，抽象性表现为现实图形与抽象图形的联系、图形语言与数学语言的联系、直观可视与空间想象的联系．逻辑性表现为与上下位知识的联系，概念的本质内涵，知识内部的逻辑关系(概念的分类、形成命题的各要素)等．

(2)过程上：对立体几何单元做进一步的划分，有公理的学习、有位置关系的学习、有空间几何体的学习，这些内容可以形成立体几何的小单元，在小单元中可以提炼一条研究的“基本路径”，注重研究的套路而非知识本身，在学生的头脑中形成模式，有利于基本活动经验的积累．

(3)方法上：在度量问题上立体几何与平面几何有明显的差异，无法“测量”成为立体几何的一大难点，而“定量刻画”又是数学精准性的体现，所以在立体几何章节中，从定性的定理论证体系到定量度量体系有一套系统的研究方法，在教学中从哪些角度提炼出方法的结构特征，升华方法的思想内涵，是需要进行深度思考的．

(4)思维上：立体几何对思维能力有着与代数不一样的要求，这就更需要在教学中发掘研究几何的学科观，如何放置图形更符合平时的视觉感受，从哪些方面观察进行抽象，怎么会想到要研究这些定理，如何将需要度量的对象显现出来……也就是要思考本源性的问题．思维是筋骨，方法是血脉，有了系统的思维方式，才能更好地引发教学的结构化．

2.2 素养目标

《新课标》指出，立体几何单元的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能．通过对图形的观察和操作，引导学生发现和提出描述基本图形平行、垂直关系的命题，逐步学会用准确的数学语言表达这些命题，直观解释命题的含义和表述证明的思路，并证明其中一些命题．[1]27

从上述文字中可以发现，立体几何教学应遵循整体性、发展性和联系性．

(1)整体性：立体几何教学要形成一个整体观念．比如明确立体几何所要研究的对象、基本几何对象位置关系的研究方式、利用长方体的载体作用，从具体到抽象认识几何体的结构特征等．在教学中需要思考分类的标准、测量的方法、操作的合理性，保证知识体系的连贯性、思想方法的一致性．

(2)联系性：立体几何教学要注重图形的联系．比如长方体作为初高中共有的基本几何体有着承上启下的作用，比如几何对象与实物模型的联系、三维几何体与二维平面图形的联系，比如定理中条件图形与结论图形的关系等．这是如何研究图形的重要的思维方式，有些更是原理背后的本质探究．

(3)发展性：立体几何教学应是循序渐进的．从观察到描述，到准确表达、直观解释，到严格证明，在知识习得的过程中，体现了认知的层次性和阶段性．教学中应该通过类比、归纳、演绎等方法促进学生对问题的逻辑思考．

在立体几何单元教学中需要重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象等核心素养．这也是立体几何结构化教学的目的所在，因此在教学中需要精心设计情境，创设教学实践，积累探究的经验，追寻几何学本质．

3 “立体几何”单元的结构化教学路线

3.1 基于教学内容的知识结构化

图1 对概念的结构化分析

数学概念是知识内容最基本的构成要素，数学中的推理、证明本质上也是由一连串的概念所构成的．立体几何中涉及很多概念，主要可以分为两类：关于位置的概念，如异面直线、线面垂直等；还有就是关于形状的概念，如多面体、旋转体等．知识结构化主要梳理概念的来龙去脉，研究概念的抽象过程，分析概念的内涵外延，发掘概念的应用价值，这一过程可以由图1[4]呈现．以下就以“棱柱”这一概念的教学加以说明．

(1)概念的抽象.给出各类几何体，根据它们的图形特征，做进一步的分类，获得概念的内涵(最内层)：在几何体中按组成几何体的基本元素进行分类——多面体和旋转体；在多面体中按基本元素的位置关系进行分类——棱柱和棱锥；对于棱柱，提炼共性特征，形成概念——有两个面互相平行，且这两个面是全等的平面多边形，不在这两个面上的棱都互相平行．

(2)概念的判断.分析构成三维几何体的基本几何图形及它们之间的形状关系和位置关系(从里到外第二层)：组成要素——底面和侧面(二维)、棱(一维)；属性特征——平面多边形(形状)、平行(位置关系)．

(3)概念的理解.用文字语言和图形语言描述几何体，形成联系统一，通过概念的辨析，用反例加深对概念的认识(第三层)：表征——描述性定义(文字)、样例表征(实物)、图形表征(直观图)；例子——定义能否改为：有两个面平行，其余各面都是平行四边形？(反例)

(4)概念的功能.根据基本几何图形的形状关系和位置关系做进一步分类，理解概念的外延，将直线、平面位置关系的结论在几何体中加以应用(第四层)：对棱柱按底面多边形形状分类——三棱柱、四棱柱等；对棱柱按侧棱与底面关系分类——直棱柱和斜棱柱；对直棱柱按底面是否是正多边形分类——正棱柱和其他直棱柱；作图——在具体情境下画出几何直观图；判断、推理、度量——在立体几何公理体系下或向量体系下做出判断、推理和度量．

从以上的分析可见，对于棱柱这一概念，可以从多个维度对它展开研究，这是教学中的明线．比如棱柱概念的教学过程以“情境抽象—特征总结—构成分析—变式理解—性质关联—概念应用”的路径展开，在教学中，除了关注单个知识点形成、相互关系及应用，更需要强调知识体系的形成．立体几何中同类概念具有相同的研究路径，这是教学的暗线，探讨的是本质性的问题，比如如何概括几何体特征？(用低维定义高维)，从哪些方面进行构成分析？(低维的几何形状、位置)，为何如此分类、分类的依据有哪些？(形状关系和位置关系)……掌握了对几何体概念的研究套路，今后涉及棱锥、圆柱、圆锥或陌生的几何体时就可以一以贯之、触类旁通了．以上是关于形状的概念的结构化处理，对于位置的概念教学也可以采用这样的过程和方法．值得一提的是，上述主要阐释的是单个知识点的结构，在有了一定的知识储备的基础上，也需要将单个知识点纳入整体，比如锥体、柱体的区别，多面体、旋转体的区别，多面体点、线、面的定量研究(欧拉公式)；欧氏几何与非欧几何的区别等．

3.2 基于教学组织的过程结构化

过程结构化包括了两种涵义：一个是教材呈现的逻辑顺序结构，还有一个是学生学习过程的结构．教材结构往往是静态的，主要是线条式地展开，而学习过程的结构是动态的，包含了学生思考、探究的过程，这是落实“四基”、培养“四能”的重要途径．

在立体几何中，基本几何图形的位置关系是立体几何学的基础，在整个立体几何教学中起奠基作用．教材先是对三者的位置关系做了分类，然后从空间两直线位置关系、线面位置关系和面面位置关系做了定性到定量的探究，其实三种关系的研究在路径上有系统性、层次性和一致性．

(1)从主要的研究内容来看，都是以“分类—特殊关系定性研究(平行、垂直)—定量研究(角、距离)”的过程来研究的，这一过程与学生的认知习惯、认知方式是吻合的，而且过程中的三个方面都具有相似的研究思路，比如对于位置关系的分类，都是以公共点的个数为依据的；在定性研究平行、垂直的位置关系中，都是以“低维”刻画“高维”的方式定义和判定的；在定量研究中，同样用到了“以平面角代替空间角”的“降维”的思想．

(2)在上述大框架下，每个研究方面都有更细致的研究路径.对于定性研究，可以按照“基本几何对象”划分，不论是线线、线面，还是面面关系，都是以“情境—定义—判定—性质—应用”为主线的，因此，完全可以将“线面平行和线面垂直”的教学作为样例，引导学生进行具有整体性意义的结构化学习，进而自主探究“面面平行和面面垂直”．

(3)除了大框架和小框架的横向结构，在教学中也应注重纵向结构，在按“基本几何对象”定性研究的基础上还可以按“平行”与“垂直”两种不同的位置关系进一步构建联系，形成如图2所示的定理研究体系．

图2 定性描述直线与平面“平行”“垂直”的定理之间的联系

3.3 基于教学目标的方法结构化

(1)方法结构和思维结构相比于知识结构和过程结构而言更具内隐性，一个习题、一个证明、一个图形，散落在教材中的看似无关的问题，可能有着相同的方法，教师在教学中就需要对这些方法加以提炼，形成结构．

比如在立体几何中，常常把已知量和未知量集中转移到某个平面内(即基本面)予以研究，或者把已知量和未知量比较集中的平面作为基本面，把其他量看成是这个基本面的相关量，这样以基本面为研究平台来解决空间图形问题的方法称为“基本面法”．[5]这一方法贯穿在立体几何教学的始终．有些是利用“基本面”作图，比如平行公理的图示说明；有些利用“基本面”进行证明，比如直线与平面垂直判定定理、三垂线定理的证明；有些“基本面”本身就是一种几何模型，比如异面直线的判定定理、棱锥中截面等；有些“基本面”的构造是反映解题操作程序的，比如三类空间角的作法、异面直线的距离等；还有一些“基本面”是需要在具体的解题中构造的．

(2)一般来说，数学方法的结构可以考虑以下七个层面：过程意向—过程概括—内在性质—过程提炼—内蕴结构—本质特征—辩证关系．

以“基本面法”刻画线面所成角为例(表1)．

表1 线面所成角研究中的“基本面法”

3.4 基于学科观念的思维结构化

思维结构是比知识、过程、方法结构更为凝练的结构，是追根溯源的“一般观念”，即“如何思考”“如何发现”“什么是几何性质”“什么是性质定理”的一种“有逻辑的思考”．[6]比如对于几何体的认识，需要思考“如何观察、归纳”“如何概括棱柱的内涵”，对于点、线、面，“如何研究这些空间基本几何图形的性质”，对于平行、垂直等位置关系，它们的性质是“如何想到的”等本源性问题．

比如对于“性质定理”，什么是性质？有哪些一般观念引领性质研究？以线面平行的性质定理为例．

设直线l∥平面α，固定直线l和平面α，直线m是平面α内的任一直线，思考直线l与直线m的关系．让直线m动起来，易得直线l与直线m平行或异面．

若直线l与直线m平行，则直线l与直线m可以确定平面β，这样，α∩β=m，而l∥m，即得到线面平行的性质定理．

若直线l与直线m异面，则可过直线l作平面γ，设α∩γ=n，则l∥n，则直线n与直线m的夹角即为异面直线l与m所成的角．

再来看“面面平行的性质定理”，可以设平面α∥平面β，固定这两个平面，让平面α和平面β内的直线动起来，可以发现两个平面中的直线只有异面和平行两种位置关系．

若两直线平行，则两条直线可以确定平面γ，这样就自然想到，用第三个平面去截两个平行平面，截得的交线始终平行，这就是面面平行的性质定理．

若两直线异面，则两异面直线的距离就是平面α和平面β的距离．

所以，对于“性质定理”，其中的“一般观念”就是：固定这两个几何元素，让“其他几何元素动起来”，观察“变化中的不变性”．以上是“性质定理”的一般观念，除此之外，还有几何体“定义方式”的一般观念、基本几何图形“性质”的一般观念．在教学中若能思考这类“何由以知其所以然”的问题，才能达到数学教学的最终目的．

综上所述，立体几何作为独特的几何学，有着深刻的学科内涵，在教学中教师除了仔细研读课标和教材，更需要从结构化的角度对立体几何内容作剖析，从多角度、多层面观察、分析、理解问题，构建知识结构、探寻过程结构、提炼方法结构、升华思维结构，用整体的、联系的、发展的眼光看待教学．