基于问题解决 指向关键能力——“轴对称与轴对称图形”复习课设计与教学思考

徐成祥 (江苏省淮安市洪泽实验中学 223100)

1 基本情况

1.1 授课对象

授课对象为八年级学生，其思维水平正处由具体形象思维转向抽象逻辑思维的关键阶段.此前已有相关活动的知识技能与活动经验作铺垫，对于探索直线的有关知识已有一定的能力储备，已具备了一定的观察判断和分组讨论的方法和经验．

1.2 学情透视

我校八年级学生普遍具有较好的数学素养，已能形成一些数学探究的基本习惯，初步掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考以及与人沟通、协商、合作、交流的能力，学会了探究问题，并能根据具体情况提出合理的问题，还能较为正确地解决问题．无论是提出和理解问题的能力，还是分析、解决问题的能力均有提高，基础知识和基本技能也都较为扎实，对于数学学习普遍有着浓厚的兴趣，乐于参与数学活动，对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容的兴趣尤为浓厚．大部分学生学习态度端正，基础知识掌握得比较牢固，学习目的明确，上课专心听讲，遇到不懂问题可以生生交流和师生对话．但也有少部分学生数学基础较差，部分学生在课堂只停留在认真听讲，缺少主动参与的意识和习惯．上课听到的知识，课后又不会运用，作业的正确率较低，个别学生不肯及时完成，喜欢拖拉作业．因此，在本节数学课上，应以激活兴趣，启迪思维，适时激励，强化合作，规范操作，作为本节数学学习的活动主线和终结目标．

1.3 教材分析

本节课所用教材为苏科版《八年级数学(上册)》．本节教学内容作为第二章《轴对称图形》复习课的第2课时．课标要求能通过具体实例进一步了解轴对称图形的概念，并能掌握它的基本性质：“成轴对称的两个图形中，对应点的连线能够被对称轴垂直平分．”在研究图形的性质和运动变化的过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观；在探究活动中，体会通过合情推理探索数学结论、运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中发展合情推理与演绎推理的能力．

通过探索和应用轴对称图形的性质以及线段、角、等腰三角形的轴对称性及其有关性质的活动，可以充分展现轴对称在现实生活中的广泛应用，有助于引导学生学会用数学的眼光和数学的思维方式去认识、欣赏自然界以及现实生活中的轴对称图形．在具体的教学活动中，教师应当注重引导学生在活动中进行讨论交流、质疑说理和归纳证明．同时，教师还应结合本地区的生活实际，创设有利于学生自主学习的新的问题情境，实际教学中应当留给学生较为充裕的时间和空间，不应淡化和弱化这个活动过程．

1.4 教学目标

(1)进一步了解轴对称和轴对称图形的概念，回顾与掌握轴对称的性质，并能灵活用以解决有关最短距离问题.(2)通过自主思考、合作交流、相互质疑、反复尝试等活动方式提升合乎逻辑地思考和有条理地表达的意识和能力.(3)经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观；在多种形式的数学活动和问题解决过程中发展合情推理与演绎推理的能力．

1.5 教学重难点

教学重点 通过经历探索和应用轴对称图形性质的过程，充分展现轴对称在现实生活中的广泛应用，学会运用数学的眼光，数学的思维方式去认识、欣赏和解决自然界和现实生活中的轴对称图形相关问题．

教学难点 利用轴对称的性质，综合解决有关最短距离问题；在多种形式的数学活动和问题解决过程中发展合情推理与演绎推理的能力．

1.6 评价建议

教学中，既要关注学生数学学习的结果，更要关注学生在学习过程中的变化和发展，注重评价学生发展的进程，强调学生个体过去与现在的比较，通过综合评价促使学生真正体验到自己的成长和进步．在探索活动中，应当关注学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识、独立思考的习惯以及数学思考的发展水平等等，教师还应及时对学生的表现作出激励性的评价和鼓励，以此促进学生高质量地完成各个数学活动过程和任务．

通过思考、交流、尝试等方式考查学生能否合乎逻辑地思考和有条理地表达，仔细倾听学生的口头表达，及时评价并纠正，力求能使学生的说理能力有较快的提高．至于证明题的格式问题，教材要求掌握综合法的证明格式，但应注意把握证明的实质，淡化形式的记忆，避免把证明的过程变成形式化的操作，考查的时间和难度还应适时适当．

2 教学设计

2.1 设计理念

通过创设具有启发性的问题情境，引导学生动手操作，结合多媒体的直观演示，经历“提出问题—探究讨论—归纳发现—拓展延伸—迁移应用”的活动过程，给予学生相对充裕的时间和空间，促使学生积极参与“意义建构”和“问题解决”的探究性学习．

2.2 依据分析

数学教学应当注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的相互联系与相互转化．学生掌握知识应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化．为了帮助学生真正理解数学知识，教师应当注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生个体学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析和抽象概括，运用知识进行判断．教师还应注重引导学生在活动过程中以“问题”为载体，揭示数学知识的本质特征及其体现出来的数学思想，帮助学生厘清相关知识之间的区别与联系．

学生对于“轴对称与轴对称图形”的有关基础知识以及利用这些知识进行简单的实际应用，应该来说不是太大问题，而且此前此类知识的各种应用题型也都有所涉及，似乎没有必要再去复习与强化了，但从学生课后作业的反馈情况来看，其实不然．那么，复习巩固与迁移应用又应从何入手？如何选题，如何上出新意，如何更能使全体学生都能再有新的收获？这些都是教者备课时应当思考的问题，也是必须做到的事情．经过反复思考，结合本班以及全校学生的学习实际，本人开始着手认真备课，精心选题，专心策划教学流程，力求能使全体学生能够以饱满的热情、浓厚的兴趣和充足的干劲投入本节课的活动之中．

2.3 教学片段

2.3.1基本概念与性质的复习巩固

数学教学中，每一知识的适时引入、灵活应用与拓展延伸，要想做得完美，甚至做到极致，就必须鼓励和引导学生全面地梳理和系统地掌握解题所涉及和应用的知识点．本节课仍然采用通过复习提问，引入相关探究活动．

课堂上，教者首先出示一组有关轴对称与轴对称图形的图片，同时引导学生对照图片提出问题：(1)请你举例说明什么是轴对称？关于某条直线成轴对称的两个图形具有哪些性质？(2)什么叫轴对称图形？轴对称与轴对称图形两者之间有着怎样的区别与联系？请举出具体的实例加以说明．

这一回顾和总结的过程既花不了多少时间，又能帮助学生便捷地掌握轴对称与轴对称图形的相关概念和性质．此后教者又选配了一组基础性的相关练习题予以巩固和强化．这些题目涵盖了“选择题”“判断题”和简单的“作图与计算题”．绝大多数学生都能自主快速地解决这些问题，而对于少数“学困生”，经过教师的点拨和同学的帮助，也都能够较好地完成这一环节的各项训练任务．

2.3.2基本概念及其性质的灵活运用与拓展延伸

对于轴对称相关知识的复习，从先前的课堂反馈和教师已经掌握的情况看：学生对于一些基本的、简单的画图已经不存在太大的问题．因此，单元复习应当重点关注日常生活中以及各地历年中考题中出现的一些非常规题的应用价值．对此，教者在先期备好预案的基础上又做了必要的调整、补充和完善．

·运用某些点关于已知直线的对称点的问题

(1)已知在直线l的同侧有两点A,B，请在直线l上找一点P，使得PA+PB最小．

分析 此题属于常规题，难度较小，只需作出点A关于直线l的对称点A′，然后连结A′B，交直线l于点P，则点P就是所要求作的点(图1)．

(这里的问题解决以后，课堂上又做了变式训练：若点A与点B在直线l的异侧呢？)

(2)已知直线MN，点A,B在直线MN的同侧，在直线MN上求作点P，使得∠APM=∠BPN．

分析 对于这类问题的探究和解决，此前也曾作过相关训练，不过从课堂上学生的活动情况来看，许多学生都是依照以下方法进行操作，即首先作出点A关于直线MN的对称点A′，然后连结A′B交MN于点P，即求出了点P的位置(图2)．

图3

其实这样的问题，全班学生在具体操作时都忽视了另一种情形：如图3，同时经过A,B两点作直线AB交直线MN于点P，此时的点P依然满足∠APM=∠BPN．因此，此时点P亦为所求作的点.这样，此题中符合条件的点P应有两个，而学生在具体操作时普遍都只考虑了第一种情况而忽视了第二种情况，特别是第二种情形，全班并无一人画出图形．由此可见，我们的学生对此类问题缺乏深刻而全面的认知和理解．因此，今后的教学中，教者应在如何渗透相关数学思想、如何引导学生学会规范严谨地解决问题等方面给予高度的关注．

对待这样的问题，我们需要仔细分析可能存在的各种情况，特别是第二种情况，未必在任何时候都能成立．倘若我们同时经过A,B两点作直线与已知直线MN交于点P，而此时若点M在AB的左侧、点N在AB右侧，则这样的情形就不能成立．因此，今后我们在引导和鼓励学生进行相关分类时，仍需擦亮眼睛，在广泛考虑可能存在各种情形的同时，还应注意通过观察、思考、分析推理与科学判断，细心排除那些不合题意或者不合实际的情形．此时，又要提醒学生解决这类问题的20字秘诀——“广泛收集，大胆猜想，认真筛选，精心构思，规范操作”，最终确保“问题”得以圆满解决．

图4

(3)已知A村与B村在公路l的同侧，其中A村到公路的距离AC为2 km，B村到公路的距离BD为 4 km，CD=8 km(图4)．现欲在公路上修建一座泵站向两村供水．请问泵站选址应在何处，才能使送到两村的管道长度之和最短？并求这个最短距离．

分析 依据学生已有的知识和经验，求出点P的位置并不难，难的是求出这个最短距离，此前学生从未见过这样的问题．于是在课堂上给学生相对充裕的时间进行自主思考与小组交流，但最终仍无学生能够予以解答，于是教者只好逐步引导学生通过数学建模——构建直角三角形，利用勾股定理予以解决．

·借助线段的垂直平分线和角平分线知识进行相关作图

这一环节较为常见也较为典型的问题是：已知∠AOB和点M,N，通过画图找出一点P，使得点P到点M,N的距离相等，同时点P到OA,OB的距离相等(图5)．事实上，这里就是为了巩固和考查线段的垂直平分线和角平分线的性质．这一问题操作并不繁琐，只需连结MN，然后分别作∠AOB的角平分线和线段MN的垂直平分线，其交点即为所求作的点P．本题较为常规，学生较易掌握，而对下面的实际应用题学生普遍出现的问题，不是画图不规范，就是漏掉一种可能的情况．

图5 图6

题目：已知两条公路AB,CD相交于点O，公路外有两个村庄P,Q．现要建一个加油站，使其到公路两旁的距离相等，且到两村庄的距离也相等，请根据已知条件，找出建造加油站的合适位置(图6)．

分析 对于本题提出的问题，学生普遍觉得其作法应和上例相同，较为简单，于是教师顺势指名两位学生上黑板板演展示画图过程.课堂反馈显示：两位学生分别画出了∠AOC的平分线所在的直线和∠AOD的角平分线所在直线与线段PQ的垂直平分线交于点K，还都各自认为自己已经正确找出了所要求作的点(即加油站的合适位置)．而这里在未作其他特殊要求的情况下，两种情况都是可能存在的，因此必须同时作出∠AOC和∠AOD的角平分线所在的直线与线段PQ的垂直平分线的交点，可见这里符合条件的交点应有两个，因此可供选择的位置也应有两处．

·利用轴对称的有关知识进行迁移应用

(1)如图7，村庄A,B位于一条小河的两侧，若河岸a,b彼此平行．现要建设一座与河岸垂直的桥梁CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？

分析 此题要求所建桥梁应与河岸垂直．因此，可以过点A向直线a作垂线AE；在AE上取一点A′，使AA′等于河岸间的宽度；连结A′B交直线b于点D；然后过点D作DC⊥直线a于点C；连结AC，则AC+CD+DB的长即为所求最短路线的长．

图7 图8

(2)如图8，点A,B是直线l同侧的两个定点，定长线段PQ=a在直线l上平行移动，当PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？

分析 这样的问题，学生也是较为鲜见．具体作法：①过点A作线段AC∥直线l，且使AC=a；②作点C关于直线l的对称点C′；③连结C′B，交直线l于点Q；④以点Q为端点在直线l上，且在点Q的左侧截取PQ=a(定长)，则此时AP+PQ+QB的长最短．

图9

(3)如图9，一辆汽车由A向B行驶，M,N分别是位于AB两侧的村庄．

①设一汽车行驶到AB上点P时，距M最近，行驶到Q时，距N最近，请在图中标出点P,Q的位置．

分析 只需分别过点M,N向AB作垂线段．此时，两个垂足分别为点P和点Q，则点P和点Q即为符合条件的点．

②当汽车从A向B行驶时，在AB的哪一段路上，离M,N两村都越来越近？而在哪一段上距N越来越近，而距M越来越远？

③在AB上是否存在一点P，能使汽车驶到该点时与村庄M,N的距离相等？说明理由．

(4)已知点D,E分别在△ABC的边AB和BC上．请在AC边上找一点P′，使△DEP的周长最小(图10)．

分析 先作点D关于BC边的对称点D′，再过点D′和点E作直线，交AC边于点P．此时点P就是所求△DEP的顶点．

图10 图11

变式训练：如图11，点P在正方形ABCD的对角线AC上，E是AB上的一个定点，当点P运动到何处时，△PBE的周长最小？

提示 作出点B关于AC的对称点O，连EO交AC于点P，则点P即为所要求作的点(其实，在正方形中，顶点B关于对角线AC的对称点就是顶点D．因此，我们可以根据正方形的对称性，连结BD交AC于点P)．

图12

(5)如图12，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．①画出直线EF；②直线MN和EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角的数量关系．

分析 第①小题只需连结其中的一组对称点，然后作出该连线的垂直平分线，即为所求直线EF．第②小题，首先需要通过分析和观察，并适时引导学生进行观察、猜想和推理得出∠BOB″=2∠MOE．而当学生熟练掌握了轴对称的性质时，这一结论的证明并不困难．首先需要引导学生理解：点O既在线段B′B″的垂直平分线上，也在线段BB′的垂直平分线上，因此不难得到∠1=∠2,∠3=∠4，其中∠MOE=∠1+∠4，而∠BOB″=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠1+2∠4=2(∠1+∠4)，故可得到∠BOB″=2∠MOE．

图13

(6)①如图13，A,B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂到河堤的距离AC为1 km，B工厂到河堤的距离BD为2 km，经测量河堤上CD两地间的距离为6 km，现准备在河堤上修建一个污水处理厂．为使A,B两厂到污水处理厂的排污管道最短，请问污水处理厂P地到A,B两工厂最短距离的和应是多少？

这一问题圆满解决以后，课堂上又有学生提出：如何求出PC的长呢？经过一番较长时间的激烈讨论，学生们又有新的发现：利用面积法解之较为简便．因为由作图可知：△BPD与△A′BE均为直角三角形，而四边形A′EDP为直角梯形．

图14

3 教后反思

本节课采用了“动手操作—演示推理—归纳总结—拓展延伸—迁移应用”的活动方式有序开展课堂探究活动．由于在学习本节内容之前，学生对于图形的认识仅仅局限于直观性的视图，几乎没有涉及轴对称和轴对称图形的概念、性质的几何语言表述和说理，而从实际情境中抽象出图形的概念和性质，并用几何语言加以表述，对于学生来说探究和解决本节课所涉及的内容相对较为困难．因此，在具体教学中，教师应当重点突出让学生通过亲身实践，感受和掌握“轴对称”的概念，充分理解轴对称的相关性质；同时在活动中懂得已知一点画出关于已知直线对称点的方法，并尝试利用几何语言进行相应的表述与推理，用以说明这样画图的合理性，以便帮助学生逐步掌握正确的学习方法．

对于课堂上例题教学的设计与处理，教师努力尝试引导和帮助学生采用类比联想与逆向思维，有效实施课堂活动，着力建构数学模型．同时还需注意前后知识的适时链接，结合教学实际适当拓广延伸．数学知识的教学需要注意知识的“生长点”与“延伸点”，应当关注问题解决，指向学生关键能力的意义建构和能力提升．实际操作中，要把每一堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系的认知和应用，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性和综合性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解的意义和价值．

本节课相关问题的成功探究与完美解决，带给我们太多有益的启示和理性思考：

数学活动经验的获得与积累是提高学生数学素养的重要标志．帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果．数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累起来的．

数学教学活动中教师应当注重引导学生用心体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案、环节和方式，如何呈现自己探究成果的价值，如何总结和运用获得的经验去解决实际问题等．教师应当鼓励与倡导学生采用多样化解决问题的思路和策略，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出来的不同方式和水平；问题情境的设计、教学过程的展开、课堂练习的安排等都要尽可能地让所有学生主动参与，激励学生畅所欲言，踊跃提出各自解决问题的思维方式和策略技巧，并应积极引导学生在自主思考以及与他人的讨论交流和小组合作中学会灵活选择合适、精巧的解题策略，丰富数学活动的经验，不断提高思维水平．

由此笔者认为，在数学课堂教学中，只要我们注重立足问题解决，瞄准学生的生命成长和能力发展，善于及时思考和总结教学过程中出现的各种现象和问题，我们的数学教学就一定能够取得令人惊喜的实效．