高中数学统计教学案例分析

李晓群 张艾楠

摘  要：教学案例“独立性检验”是高中统计学中重要的统计模型，也是高考考查的重点内容. 该案例由教学设计和教学反思两部分组成. 教学设计围绕情境创设、经历体验、总结提升及布置项目四个方面展开，重点是问题驱动系统中的十个问题，引领学生层层深入，探索新知. 教学反思中提到本节课的亮点是让学生系统地经历统计学研究问题的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异，提升了学生的数据分析素养.

关键词：教学设计;教学反思;统计思想

课堂教学设计首先要确定教学主题，对教材进行恰当重组，把设计情境、设计问题驱动系统、确定学生的学习任务放在首位. 从用对教材、用好教材和用活教材三个维度，充分践行“用教材教”的基本策略.

情境和问题构成了教学过程的驱动系统. 情境的素材有两类：数学内部素材和数学外部素材. 教师要善于根据数学知识的特点和学习目标来创设情境，情境要尽量贯穿教学的始终. 适当的情境设计不仅能够引发学生的学习兴趣，还能指向所要研究的数学对象本质，引导学生从情境出发思考问题、发现问题和提出问题，抽象出数学本质，从而使学生学会思考. 问题是数学的心脏，问题与情境紧密结合，问题可以引导学习. 数学教师必须有强烈的问题意识，问题串的设计需要在学生思维的最近发展区，逐步指向数学对象的本质，通过解决问题达成教学目标.

本节课内容选自人教A版《普通高中教科书·数学（选择性必修）》第三册第八章第三节，授课形式是线上教学，笔者想通过本节课和学生一起体验统计学研究的思路与方法，使学生真正明白学习数学不是为了解题而是为了解决问题. 因为是线上教学，学生的小组合作探究比较艰难，所以课前各学习小组通过网络进行研究和交流，通过提交小组作业的形式汇报研究成果. 下面是本节课的教学过程设计.

一、教学过程设计

师：在之前的学习中，我们研究过两个变量的相关性及它们之间的线性回归方程，这里再给出几个例子. 吸烟与患慢性气管炎是否有关？秃顶与患心脏病是否有关？爱好运动与性别是否有关？上述例子中的各个变量与之前学习过的变量不太一样，变量“吸烟”可以按吸烟与不吸烟分类，“性别”可以按男、女分类，变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量，我们叫分类变量. 分类变量不一定只能分两类，如“职业”这个变量就有很多结果. 高中阶段我们只研究具有两个结果的分类变量. 观察下面这个例子.

例  为了迎接2020年的新高考，在高一下学期的时候，学校对全年级的761名学生选修物理、化学、生物、政治、历史和地理的情况进行了调查，这里给出全年级学生选修物理的情况.

整理数据，并回答下列问题.

问题1：你能否设计一个方法，使得上述统计结果更加直观？

问题2：你能否设计一个方案，来判断高中生选修物理是否与性别有关？

问题3：以小组为单位，收集感兴趣的分类变量的相关数据，并用设计的方案判断你所研究的分类变量之间是否存在一定的关系.

预设回答：学生统计后给出表1和图1.

师：像表1這样列出两个分类变量的频数表，称为[2×2]列联表. 像图1这样的频率图，称为等高条形图.

【设计意图】预习内容是学生身边的实例，能够有效激发学生的求知欲望，为研究本节课的主要问题——高中生选修物理是否与性别有关做好铺垫，使学生体会数学来自生活并服务生活，感受学习新知识的必要性. 引导学生分析等高条形图的作用，以及优、缺点，培养学生数形结合的意识，发展直观想象素养.

预设回答：可以根据[2×2]列联表计算比例，女生选修物理的频率是[229395≈0.579 7]，男生选修物理的频率是[252366≈0.688 5]，由此可见男生选修物理的频率大，所以认为高中生选修物理与性别有关.

【设计意图】让学生体验统计学的思想：读取数据，分析数据，整理数据，用数据说话.

问题4：由以上两种方法，我们初步得到了结论“高中生选修物理与性别有关”，我们得到的判断是否可靠呢？

师：由于样本的随机性，有可能出现以下情况，即这366名男生中恰巧碰到了较多的学生喜欢物理学科，而这395名女生中又恰巧有很多喜欢物理以外的其他学科的学生. 这样就会导致男生中选修物理的比例较高. 由此我们做出的推断可能会发生错误. 因为我们所研究的结论是“高中生选修物理课程可能与性别有关”. 既然判断可能会出错，那么我们做推断是否还有意义呢？虽然推断可能会出错，但是只要出错的可能性很小，我们依然认为推断是很可靠的. 这也是统计学研究问题的特点.

【设计意图】描述判断两个分类变量有关的可靠性是独立性检验的核心，设计问题4的目的是引出独立性检验的基本思想. 同时，让学生体会研究样本是为了反映总体的特征，虽然样本并不能代替总体，但是样本却可以估计总体.

问题5：本例中，我们得到的结论出错的可能性有多大呢？换句话说，我们能有多大的把握认为“高中生选修物理与性别有关”？

为了找到一个可靠的判断方法. 我们先把具体问题一般化，得到表2，其中[n=a+b+c+d]为样本容量.

从正面分析，我们很难找到数据要满足的条件;从反面考虑，如果无关，就可以认为“选修物理课程”与“性别”是两个独立的事件. 下面我们就从独立事件发生的概率进行分析.

问题6：样本容量的大小对[ad-bc]的大小有着很大的影响，有没有更合理的方法呢？

由表3可以看出，每行每列之和都是0. 实际上是由于每行每列总的差异是0，才导致每行每列的差异互为相反数. 因此，四个差异中只要计算出一个差异就可以知道其他三个差异.

【设计意图】这里体现了类比的数学思想，让学生体会数学中统计量的设计有相通的特点. 同时，理解[K2]公式结构的合理性;让学生深刻认识到如果假设成立，则观测值应该很小;引出[K2]数据的大小应该有一个统一的标准来衡量.

问题7：利用这个公式计算出的数我们称为[K2]的观测值，[K2]的观测值的大小应该如何衡量呢？

1900年英国统计学家皮尔逊首先找出统计量[K2]，并且确定了统计量的近似概率密度曲线. 利用GeoGebra软件展示自由度为1的[K2]的概率密度曲线，如图2所示.

这个概率密度曲线和正态分布曲线类似，但是形状不同. 也可以用某个区间上的面积来表示统计量落入该区间的概率. 用这种方式可以确定出临界值如表4所示.

在假设独立的条件下，[PK2≥6.635=0.01]，表明在独立的条件下得到的样本统计量[K2]超过6.635的概率为1%，是一个小概率事件. 如果我们计算的[K2]大于6.635，说明假设成立的概率是1%，所以推断相互独立是不成立的. 即推断两个分类变量有关系，但这个推断会出错，出错的概率不会超过1%. 也就是说我们有99%的把握认为两个分类变量是有关系的.

【设计意图】引出临界值表，让学生了解统计学家在研究独立性检验时的完整过程和经验. 同时，让学生学会准确叙述统计学的结论，学会用数学语言表达现实世界.

问题8：獨立性检验的原理与我们学习过的什么方法的原理类似？它们的区别是什么？

独立性检验的思想来源于统计学中的假设检验思想，它与证明方法中的反证法类似. 假设检验和反正法都是假设结论不成立，然后由是否能够推出“矛盾”来判断结论是否成立，但两者“矛盾”的含义不同. 反证法的矛盾指的是不符合逻辑的事件的发生;而独立性检验的矛盾是指不符合逻辑的小概率事件的发生，即在假设结论不成立的条件下，推出有利于结论成立的小概率事件.

【设计意图】一方面，深化学生对独立性检验基本思想方法的理解;另一方面，让学生通过对新、旧知识的对比，建立新知识与已有相关知识之间的联系，将新知合理纳入原有的知识系统.

问题9：你能否总结出利用独立性检验判断两个分类变量是否有关的基本步骤？

（1）假设[H0]：两个分类变量无关，确定容许推断“两个分类变量有关系”出错的上界[α]，查表确定临界值[k0].

（2）由观测数据计算得到[K2]的观测值[k]，若[k≥k0]，则假设不成立，即“两个分类变量有关系”，推断错误的概率不超过[α].

【设计意图】让学生对具体问题做出总结，将特殊推广到一般，得到判断“两个分类变量有关系”的方法. 理解独立性检验的思想. 同时，让学生梳理利用统计知识研究问题的整个过程，为后面更好地解决实际问题做好铺垫.

师：下面请同学们利用[K2]的公式，来计算例题中[K2]的观测值，并推断有多大的把握认为“高中生选修物理与性别有关”.

问题10：你能谈一谈本节课中我们是如何探究“独立性检验”的吗？

知识小结：独立性检验的基本思想与独立性检验的基本步骤.

数学思想方法小结：类比推理;从一般到特殊，从特殊到一般;统计学的基本思想，即收集数据、整理数据、分析数据，由数据分析得出结论.

师：课前各小组都收集了感兴趣的分类变量的相关数据，之前我们只是简单判断了一下分类变量是否有关. 学习本节课后，你能否利用独立性检验进行判断，看各自有多大的把握认为它们有关系？

二、教学反思

在信息化社会中，人们常常需要收集数据，根据数据获得有价值的信息，并为决策提供支持. 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供重要的依据，为人们认识客观世界提供一种思维模式和解决问题的方法.

虽然本节课的理论研究比较复杂，教学时间较短（1 ～ 2课时），但是由于贴近生活实际，在整个高中数学中有着重要的地位. 在近几年的高考试题中，本节课内容的出现频率较高，且多以解答题的形式呈现，其重要性可想而知. 该内容是学生在学习统计学的基础知识后所学习的内容，与事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及与反证法类似的思想.

独立性检验的研究背景是考察两个分类变量之间是否具有相关性，因此教材中先给出了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的研究思路，即借助等高条形图. 等高条形图虽然直观但不够精确. 随后又引出了相对精确的研究方法——独立性检验. 独立性检验的基本思想建立在假设检验思想（小概率事件在一次试验中几乎不可能发生）的基础之上，研究步骤如下：明确问题，确定出错概率的上界[α]及[K2]的临界值[k0]，收集数据，整理数据，制作列联表，计算统计量[K2]的观测值[k]，比较观测值[k]与临界值[k0]并给出结论.

教师先通过一个真实问题引发学生思考. 从2020年的高考改革选修学科入手，将全年级761名学生的选修情况与性别以Excel表格的形式推给学生，让学生分组讨论设计方案，初步判断两个分类变量是否相关. 引导学生会用数学眼光观察现实世界. 然后，通过假设两个分类变量相互独立，将具体数据一般化，得出由[ad-bc]接近于0可以简单地判断两个分类变量是否有关，引导学生用数学思维思考现实世界. 接着，类比之前研究方差与残差的过程，将表格中每个数据平方. 平方后发现男、女生与选修物理对总的差异贡献一样，类比条件概率将各自的预期频率除掉并加和，可以得到总的差异平方和. 最后，乘以样本容量[n]可以得到[K2]统计量的公式. 由GeoGebra软件展示概率密度曲线，帮助学生理解[K2]的观测值的含义. [K2]的观测值是连续的，这里选择了一些特殊的[K2]的临界值，给出临界值表，让学生全面了解统计学家研究独立性检验的完整经验. 同时，让学生学会准确地下统计学的结论，体会用数学语言表达现实世界.

教师对[K2]公式进行了推导，让学生系统地经历数据收集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差异，提升了学生的数据分析素养. 教师鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能出错，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性. 本节课并不是在传授知识和介绍解题方法，而是引领学生经历和体会了研究统计学常用的思维模式和方法，让学生怀揣着一颗好奇心和对数学的敬畏之情去探索新知，并学会学习.

当然，本节课也有需要改进之处. 在课堂设计方面，由于是线上授课，对于自主学习和合作学习的权衡还值得商榷，要在设计过程中对两者进行合理分配，才能获得更好的教学效果. 同时，一些问题的严谨性要加强，要更全面地预设学生的回答，用更恰当的问题达成教学目标. 与此同时，对于一些课堂中的突发情况，要不慌张地调用自己的教育智慧去应对. 因为每堂课中都会有无法预料的生成，教师要思考如何有效利用这些教学中的突发情况. 另外，本节课以理论推导作为主体，学生自主练习的时间较短，如果课堂时间允许，应该让学生真正动手计算[K2]的观测值，而不是因为数据过大，利用计算器计算出最后的结果.

章建跃博士说过，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省，这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛. 与大家共勉！

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.