数形结合：有效提升学生数学素养

摘 要：中小学生核心素养，主要指学生应具备的、能够满足终身发展和社会发展需要所必备的品格和关键能力。核心素养落实到数学学科教学中，就是要发展学生的数学素养。思想是数学思维的灵魂。在常用的15种数学思想中，数形结合思想是小学数学学习中最常用的思想方法之一。由此可见，数形结合在培养学生数学素养方面具有重要作用。

关键词：数形结合;数学思想;数学素养

中图分类号：G427                                 文献标识码：A                                        文章编号：2095-9192（2021）04-0032-02

引  言

“数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”华罗庚先生在《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》中深刻指明了数形结合思想的价值[1]。综观整个小学阶段的数学，始终离不开“数”与 “形”。直观为“形”的优势，准确为“数”的特点，将数与形联系起来，能让抽象的数形象化，让直观的形凸显其内涵。数与形的结合，可以帮助学生感悟概念、理解算理、掌握数量关系，有效地提升学生的数学素养。

一、数形结合，抽象概念完善数系

心理学研究表明，7～13岁的孩子是以形象思维为主导的。基于这样的思维特点，为了让小学生理解抽象的概念，教师需要为他们提供一定的媒介帮助。我们知道，数的认识起源于“形”，发展于“形”。在教学中，教师如果能合理利用方格、数轴等直观图形，以图助数，必定能帮助学生深化对数的认识，使其逐渐抽象形成数的概念。

例如，在学生初步认识小数的意义后，教师可以利用数轴，带领学生通过“形”感知数的大小关系，将小数纳入已有的知识体系中，从而逐步完善数的体系。

师：大家能找到1.7的位置吗（见图1）？

生：找不到，1.7已经超过1了。

师：要找到1.7，该怎么做？

生：把线段向右边延伸，先找到2（见图2）。

师：1.7可能在哪两个整数之间呢？

生：整数1和2之间。

師：现在知道怎么找到1.7吗？

生：把1和2之间的线段平均分成10份。每份是0.1，从0数到1后，继续数7个0.1，就是1.7（见图3）。

学生在数轴的直观支撑下，找到每个小数与数轴上的点的对应关系，发现在数轴上的位置越往后数越大，越往前数越小，加深了对小数的认识，感悟到极限的思想。同时，学生从更宏观的角度审视数的集合与排序，进一步发展了数感。

二、数形结合，理解算理融通算法

运算能力是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准》）指出的学生应具备的十大核心能力之一。《课程标准》指出，培养学生的运算能力的关键首先是帮助学生理解运算算理，其次让学生掌握运算的计算方法[2]。算理是学生形成计算方法的基石，但学生的认知能力有限，要真正感悟算理存在一定难度。化数为形，将数学运算与空间图形巧妙地结合，能很好地将算理与计算方法联系起来，帮助学生深刻地理解算理。

例如，在教学时，为帮助学生理解分数乘分数的意义，探索分数乘分数的计算方法，教师要引导学生通过画图，化算式信息为图形信息，以形思数、以形助数、数形对照的方式，帮助学生感悟分数乘法的意义和算法。教师可以让学生思考是表示的是多少？在探究算理的过程中，教师先用图来表示，把一个长方形平均分成4份，取其中的1份就是表示，再把平均分成3份，取其中的2份。教师引导学生观察这2份占整个图形的，接着引导学生比较和之间的关系。发现就是的分子乘分子、分母乘分母得到的。在此基础上，学生进行观察，总结出分数乘分数的计算方法：分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。这样，在“数”最需要支撑的时候，“形”出现了，抽象的“数”和直观的“形”紧密结合。学生在观察、思考中加深了对分数乘法计算原理的理解，有效地突破了难点，培养了运算能力。

三、数形结合，解决问题提升能力

《课程标准》指出，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。在教学中，当学生理解题中的数量关系遇到困难时，教师可引导学生尝试进行画图，帮助学生将相对抽象的思考对象“图形化”，使形象思维和逻辑思维紧密结合，提高学生分析问题和解决问题的能力。

例题：“一杯牛奶，淘气喝了半杯后，兑满了热水。他又喝了半杯。问淘气一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”这道题目中，第二次“又喝了半杯”，这半杯中到底有多少水？有多少牛奶？这是学生难以理解的地方，也是解题的关键。面对这样比较复杂的数学问题，笔者为学生预留了充分思考的时间和空间，鼓励他们依据题意尝试进行画图，找准数量和图形的契合点，厘清牛奶和水两个量之间的关系，逐步找到解决分数问题的思路。

不同的学生有了不同的画图表达方式，但可以看出他们的思路基本相似：兑满水后的杯子里依然只有杯牛奶，也就是第二次喝的是剩下的杯牛奶的一半，即整杯牛奶的。这样，学生分析题目有图有据，思考联想有所依托，抽象的数量关系便慢慢明朗清晰起来。通过画图分析，学生选取有效信息进行破题。这是学生运用数学思想进行思考的一种能力，也是培养学生数学素养的有效途径。

四、数形结合，探索规律发展思维

探索给定的情境中隐含的规律或变化趋势，这是《课程标准》第二学段“探索规律”的教学要求。数学规律往往是事物之间的内在联系，是内隐的。数形结合正是在内隐的规律与外显的表达形式之间搭建了一座“桥”，以数解形，实现了数学思维的层层拓展，发展了学生的几何直观和合情推理能力。

例如，在教学“数图形的学问”一课时，教师利用“鼹鼠钻洞”的生活情境，在学生充分探究之后，引导学生巧妙地利用“数”的精确性，描述“形”表现出来的规律，帮助学生进一步概括数学规律，从而建构数学模型。

学生经历了从简单入手到探索复杂规律的体验过程，通过观察、思考、交流、讨论等数学活动，初步感知点数、增加的线段数和总线段数三者之间的联系，找到数线段的规律，并尝试用算式记录数图形的规律，感悟用“形”来探寻数学规律的直观性和用“数”来表达规律的简洁性，体会数学规律之美。这不仅丰富了学生的数学活动经验，更重要的是培养了学生的抽象概括能力。

结  语

德国数学家希尔伯特曾谈道：“图形可以帮助我们发现、描述研究的问题;可以帮助我们寻求解决问题的思路;可以帮助我们理解和记忆得到的结果。”在日常教学中，教师应根据学生心智发展水平和数学知识本身的特点，适时地渗透数形结合思想，直至学生能自主运用这一方法研究数学，从而真正提升学生的数学核心素养。

[参考文献]

华罗庚.谈谈与蜂房结构有关的数学问题[M].北京：北京出版社，1979.

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

作者简介：陈丽英（1969.9-），女，福建泉州人， 本科学历，一级教师。