试论高中数学解题中构造法的应用

韩小彬

摘 要：在当前的素质教学环境下，如何进一步强化学生的数学解题思维，是教师需要肩负的一项重要任务，为了强化相关人员的教学认识，本文对高中数学解题中构造法的应用展开探究，希望能够起到一些积极的参考作用.

关键词：高中数学;构造法;解题应用;分析

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）13-0058-02

在调查中发现，高中阶段的数学教育，已经摆脱了以往那种应试的思路，转而对学生数理思维能力进行培养，因此，在解题教学的过程中，教师也需要拓展出一些新颖的教学方法，来完善学生的数学学习认识，建立出一个高效化的授课环境.为了强化学生对构造法的应用意识，教师不妨根据相关的教学内容，创设出一个理想化的授课环境，以此来强化学生的训练认识.

一、利用已知条件构造函数

应用构造法的时候，主要是让学生根据问题中出现的已知条件和已知结论，借助问题类型的特性，来分析已知条件的数学模型，进而让问题的表现形式变得更为直观化，这样学生在解题的时候，思路能够更加清晰，从而梳理出一个具体的解题思路.在实际操作的过程中，教师不妨试着借助一些题目中的已知条件，帮助学生构造相应的函数内容，深化学生解题认识.

例如，在对“解不等式”的内容进行训练的时候，不少学生面对问题，恐怕都会采用传统的思维方式，直接进行解题，虽然也可以得出答案，但是整个过程比较复杂，很可能出现错误，所以，为了避免这类情况，教师在教学训练的过程中，可以借助构造法，帮助学生分析“不等式”的相关内容.不等式问题大都是以函数单调性为基础，所以可以利用已知条件构造函数，证明不等式的单调性，同时引入图形来深化论证过程.比如，已知x，y，z均在区间（0，1）上，在求证x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1时，便可以构造出一个相应的函数，即f（x）=（y+z-1）x+（yz-y-z+1），针对其进行分析，得出相应的证明过程，学生的解题思路将会更加明晰.

二、根据等量关系构造方程式

在一些比较复杂的数学问题中，时常会出现自变量和因变量的内容，学生一定要熟练掌握相关概念，教师可以在此基础上，引导学生设计相应的解题框架，根据一些等量关系来构造方程式，无论问题中是二元二次方程式，亦或者是一元二次方程式，在解答的过程中，都要将解决未知量设定为解题的目的，另外，在针对定量关系的题目时，也可以根据等量关系构造出相应的方程式.

在学习一元二次方程式的内容时，有一类生活化的题目比较常见，如，玩具商店某款热销玩具的进价为50元，当按照50元的价格售卖时，可以卖出400件，并且单价每上涨1元，玩具的销量便会降低10件，请问，玩具售价为多少时，商店能够得到最大的利润.解决这类问题时，不能使用传统的解题思路，那样反而会增大解题难度，不妨借助构造法，将利润设置为W，增长的金额设定为x元，根据题目中的描述，可以得出下列这个方程式：W=（50+x）（400-10x）-50（400-10x）=x（400-10x）=-10x2+400x.最后，学生可以根据方程式进行求解，从而推出利润最大值时x的数值.

三、借助题目内容构造平面图形

针对一些代数问题，大家可能习惯于从代数的角度来进行解答，这样解题的过程比较复杂，且具有一定的局限性，所以，大家不妨试着从构造法的角度来寻找解题的突破口.在训练中，教师带领学生在数形结合的基础上，构建相应的数学模型，降低解题的难度，并且学生在构造平面圖形的时候，可以在图形上完成解题训练，将问题变得更为直观，这样解题思路更加清晰，大家也可以找准解题的突破口.

在解不等式的相关题目时，通过借助函数图形，能够降低解题难度，教师在讲解这类题目的解题方法时，可能部分学生会出现一些认知误区，如已知△ABC的顶点A和B在某个椭圆上，其方程是x2+3y2=4，而另一个顶点C在直线l上，其方程为y=x+2，且l∥AB，∠ABC

=90°，当斜边AC的长度最大时，求AB所在直线的方程.在解题的时候，教师首先帮助学生把握题目中的一个关键信息——直线l，这时构造相应的图形，并确定l在整个坐标空间里的位置，再将问题转化为代数方程，这样整个解题步骤能够变得更为简明化.

四、结合题设特征构造数列

高中数学教学中，等比数列、等差数列是重要的知识内容，有着很多数学性质，是高中数学教材的重点内容，也是高考必考的热点内容.在解决数列问题时，可以借助构造法完成，提高学生解题效率和能力.在具体的构造法应用中，需要引导学生分析题设特征，通过替换或者联想的方式，构建相应的等比数列或者等差数列，借助数列的构造，明确数学问题求解要点，将题目化繁为简，使得抽象内容具体化.通过这样的方式，帮助学生更好地解题，提高学生的解题效率.

例1 已知数列{an}的前n项和是Sn，且S4=4，当n≥2时，an=12（Sn+Sn+1），求Sn关于n的表达式.

分析 此题是数列问题中的典型题目，并且前n项和与数列通项an的关系是已知的，求解Sn的表达式.如果采取传统的通项公式求解的方式，解题过程非常繁琐，并且不能够直接套用公式，影响最终的解题结果.如果构建相应的虚构数列，借助新的数列完成求解，可以非常快速地解决问题，提高学生的解题效率.

解析 当n≥2时，an=Sn-Sn-1，根据an=12（Sn+Sn+1），进行相应的转化，可以得出12=Sn-Sn+1，令bn=Sn，可以得出数列{bn}属于等差数列，其公差是12，且b4=S4=2，根据已知内容，得bn=n2，所以Sn=n24.

在面对一些复杂的数列问题，或者数列不是等比数列或者等差数列的问题时，可以借助相应的化归思想，将其构造成相应的等比数列或者等差数列，利用其通项公式完成解题.教师需要结合学生的实际情况，引导学生有效利用构造法，完成数学问题的思考和解答.

五、分析数学问题构造解析式

构造解析式法主要是根据题目条件，借助合理的构建方式，构建适当的关系式、辅助问题思考和解答问题.在实际的解题中，应当灵活利用解析式构造方式，有效简化数学问题的解题思路.在具体的解析式构造的应用中，应当根据实际的数学问题，对其特征进行分析，构建与之有关联的关系式，将其替代原题干中的信息问题，或者对原有的数学問题进行简化，完成原有数学问题的思考和解答，实现数学问题解题的目标.

例2 求证：C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n.

解析 此题目涉及到二项式展开式系数求和的内容，在解题时，如果采取以往的计算方式解题，过程过于繁琐，而且计算非常复杂，影响解题效益和准确性.因此，通过对题干内容进行分析，寻找其存在的特点和特征，构造相应的表达式，借助构造解析式方式，对问题进行简化处理，有效完成题目的思考和解答.在解析式构造时，结合题目合理构造，如（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cnnbn，利用a=b=1的特殊值，对展开式进行转变，通过二项式定理对问题进行转化，对a=b=1的特殊情况进行证明，有效完成解题.因此，高中数学解题中，需要对题干内容进行分析，结合其特点构造解析式，明确解题思路和方式，采取特殊值等方式，对题目进行验证，有效解决数学问题.

总而言之，在高中数学教学过程中，对于构造法的应用，教师要抱有一个正确的教学态度，将其与实际的教学内容结合起来，进行有效应用，争取帮助学生建立更为简明的解题思想，这样大家的训练认识，也能够得到全面性的提升，不仅仅可以深化整体的数学教育工作，对于学生未来学习发展也是大有裨益.

参考文献：

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[责任编辑：李 璟]