一道数列证明题的解题微探

朱卫中 吴凯

摘 要：数列求和证明题是高考的常考题型之一，通过对一个求和问题的典型错解分析，从四个不同的角度来深度剖析其正确解法，最后谈三个方面的教学思考，以期与同行交流.

关键词：典型错解;裂项相消;数列放缩

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）13-0060-02

点评 本解法采用了“化繁为简”的策略，过程更加清楚简便，放缩恰到好处，在处理“裂项”时也需注意“同构”的问题.

四、教学感悟

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，凸显数学的内在逻辑和思想方法.”因此，在数列的解题教学中，教师可关注以下三點：

首先，放缩问题是近几年高考的常考题，将数列求和、不等式证明有机融合，这类考题能充分检测考生的数学核心素养，有效鉴别考生的解题能力，它是受命题者青睐的题型之一，因此，数列放缩证明问题是高考备考复习的重点内容，在教学中需要增加教学课时，重视解题训练.

其次，基于放缩思想，较多学生虽已经初步形成“放缩求和”的思想，但是仍然不能掌握解题之精髓，无法灵活运用，如本题的典型错解，会出现精度不够的问题，我们也俗称之“放过了”，究其根本原因，在于其解题的盲目性，不能有效根据题目给定的界限来确定解决路径，所以，如何能让学生快速认识到“放过了”的原因，然后能依照题意来调整并思考解题的方向，是教学中的难点.那么，当解题思路遇阻时，需要一些补救措施来实现“扭转乾坤”，如解法1中直接约去“2n”转化为等比数列12n，但由于n项全部求和是不能满足精度的，故保留其前两项，用原始数值，以确保满足精度，实现证明，对于通项可以放缩到等差或等比数列，能直接用求和公式求其“上限和”的情况，理论上只要尽可能保留足够多的原始数值，就一定能达到精度要求，但考虑到数值计算的复杂性，我们只能做到适可而止，也就是说，需要保留的项尽可能少为宜.

再者，基于裂项相消模型的思考，如后三个解法，“同构式”是“裂项”的必要因素，由最简单的裂项相消模型1n（n+1）=1n-1n+1，于是∑ni=11i·（i+1）=1-1n+1<1，可以看出，它能实现裂项相消的必备条件是“1n”与“1n+1”是同构关系，且一正一负，求和时能“前后相消”.因此，若在本题的裂项时出现“12n+n-12n+1+n”或“12n+n-12n+n+1”之类错误的表达式，即前后两项未达到同构关系，是不能相消的.那么什么是数列的“同构关系”呢？其实，即如函数式“f（n）”与“f（n+1）”，通项式“an”与“an+1”，即为同一通项的前后两项，因此，学习“裂项相消法”并不仅仅是死记公式，而应充分理解相消求和的原理与实现的途径，这样我们才能触类旁通，学以致用.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]王震.追根溯源，准确理解“深度学习”[J].数学教学通讯，2019（27）：14-15.

[3]王勇强，王红权.知识与能力并重 传承与创新同行[J].中学教研（数学），2020（09）：41-44.

[责任编辑：李 璟]