变化的图形折叠 不变的数学思想

霍明霞 耿娅

摘  要：中考试题中的图形折叠问题展示了数学的本质和不变的数学思想，题型多样、变化灵活. 文章从动手操作、折叠后求值、折叠后确定点的位置三个类型的图形折叠问题出发，多角度分析2020年中考试卷中“折叠问题”的考法和命题特色，挖掘图形折叠试题的命题思想及教学研究趋势，为师生提供借鉴和参考.

关键词：折叠问题;轴对称性;命题特色;几何直观;数形结合

图形折叠是生产、生活中普遍存在的数学实践问题，强化对该问题的研究和运用，既有利于培养学生的思维品质和动手能力，又有利于充分体现数学学科的社会应用价值，使学生真正意识到数学是活学活用的科学，从而激发学生研究数学和学习数学的主动性，提升学生的数学学科核心素养. 图形折叠试题是考查学生空间想象能力、实验操作能力和数形结合等数学思想与方法的一类题型. 教师要注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以充分实现图形与几何的教育价值，督促学生通过实践了解、探索、掌握与折叠问题有关的数学知识. 在近年来的中考试题中，图形折叠试题活泼、新颖，富有创意，引导师生在变化的图形折叠中感悟不变的数学思想. 本文仅就2020年全国各地区中考试卷中“折叠问题”的考法和命题特色进行分析.

一、动手操作型

1. 折叠确定图形

例1 （青海卷）剪纸是我国传统的民间艺术. 将一张纸片按图1中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（   ）.

分析：此题将剪纸这一精湛的民间艺术形式与折叠问题相结合，直观而有趣地让学生认识到现实生活中蕴含着大量与图形有关的问题. 这些问题可以化繁为简，抽象成数学问题，通过理论与实践相结合的方式培养学生的综合研究学习能力，并最终用不变的数学思想方法予以解决. 此类试题最大的特点就是可以通过动手操作得出答案.

简解：按照图1中的顺序，将纸片先向右对折，再向上对折，最后从斜边处剪去一个直角三角形，在直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原纸片的四边处各剪去一个直角三角形，在原纸片的中心处剪去一个和原纸片位置基本一致的正方形，则可得图案为 . 故此题选择选项A.

【评析】此题以动手操作的图形折叠问题考查对称性，涉及对动手能力、逆向思维能力、直观想象能力的考查，体现了运用图形思考问题、分析问题的教育价值.

2. 折叠探究角的度数及线段之间的数量关系

例2 （安徽卷）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图2，将四边形纸片[ABCD]沿过点[A]的直线折叠，使得点[B]落在[CD]上的点[Q]处，折痕为[AP;]再将[△PCQ，△ADQ]分别沿[PQ，AQ]折叠，此时点[C，][D]落在[AP]上的同一点[R]处. 试完成下列探究.

（1）[∠PAQ]的大小为      ;

（2）当四边形[APCD]是平行四边形时，[ABQR]的值为      .

分析：此题以变化的图形折叠为背景，根据轴对称的性质，从角度和线段之间的关系出发，通过实际操作和层层递进的逻辑推理解决问题. 此题作为一道典型的实际操作问题，要求学生运用数学知识观察、分析、概括所给的变化图形的特征，揭示轴对称的数学本质.

简解：（1）由轴对称的性质，得[∠B=∠AQP，] [∠DAQ=∠PAQ=∠PAB，∠DQA=∠AQR，∠CQP=∠RQP，][∠D=∠ARQ，∠C=∠PRQ.]

由平角的性质，得[∠D+∠C=][180°，] [∠AQP=90°.]

所以[AD∥BC.]

由平行线的性质，得[∠DAB=90°.]

易求得[∠DAQ=∠PAQ=∠PAB=30°.]

（2）由折叠的性质，得[QR=12CD.]

由平行四边形的性质，得[QR=12AP].

在[Rt△ABP中]，得[cos∠BAP=ABAP=][AB2QR=32.]

所以[ABQR=3.]

【评析】此题以折叠图形探究角度和线段长度关系来考查轴对称性，将图形的轴对称性、平行四边形的性质、锐角三角函数的计算等知识融合于同一几何图形背景，考查学生的逻辑推理能力.

3. 操作探究

例3 （天津卷）将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点[O0，0]，点[A2，0]，点[B]在第一象限，[∠OAB=90°]，[∠B=30°]，点[P]在边[OB]上（点[P]不与点[O，B]重合）.

（1）如图3，当[OP=1]时，求点[P]的坐标.

（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点[P，] 并与[x]轴的正半轴相交于点[Q，] 且[OQ=OP，] 点[O]的对应点为[O，] 设[OP=t].

① 如图4，若折叠后[△OPQ]与[△OAB]重叠部分为四边形，[OP，OQ] 分别与边[AB]相交于点[C，D，] 试用含有[t]的式子表示[OD]的长，并直接寫出[t]的取值范围;

② 若折叠后[△OPQ]与[△OAB]重叠部分的面积为[S]，当[1≤ t ≤3]时，求[S]的取值范围.（直接写出结果即可.）

分析：此题是在变化的图形中求变量的取值范围，由折叠的轴对称本质，找到特殊位置以静制动，使问题得以解决. 此道操作探究型试题阅读量大，对学生研究问题、分析问题的能力有一定要求. 对于操作题，学生一定要经历动手操作，感受问题形成和延伸的过程，更主要的是要对操作进行认真观察和仔细分析，找出问题的本质，同时要借助操作示例，运用类比思想和取特殊位置的方法寻找解决问题的策略. 第（2）小题第①问的操作对第②问的解答有启示作用，由于点[P]的位置发生改变，折叠后[△OPQ]与[△OAB]重叠部分的形状也会发生改变，先画出图形进行分析，即可得出结论.

简解：（1）如图5，过点[P]作[PH⊥OA]于点[H].

在[Rt△PHO]中，当[OP=1]时，可求出[OH=12，][PH=32.]

所以点[P]的坐标为[P12， 32].

[O][A（Q， D）][B][x][y][C][P] [图7] [图5][O][P][A][B][x][y] [H] [图6][O][A][B][x][y][Q][P]

（2）① 由翻折过程可得四边形[OQOP]为菱形.

所以[OQ=OQ=OP=t.]

所以[QA=2-t.]

在[Rt△DAQ]中，易求得[QD=4-2t.]

所以[OD=OQ-QD=3t-4.]

如图6，当点[O]在边BC上时，易求得[t=43.]

如图7，当点Q与点A重合时，易求得[t=2.]

所以t的取值范围为[43<t<2].

② 分以下三种情况讨论.

情况1：如图8，当[1≤ t ≤43]时，易求得[S=][S△PQO=34t2.]

所以[34≤S≤439.]

情況2：如图9，当[43<t<2]时，易求得[S=S△OPQ-][S△OCD][=-738t2+33t-23.]

所以[439<S≤437.]

情况3：如图10，当[2≤t≤3]时，易求得[S=S△PDC=][38t-42.]

所以[38≤S≤32.]

综上所述，当[1≤ t≤ 3]时，[38≤S≤437.]

【评析】此题第（2）小题以翻折变换为背景，综合折叠、多边形的面积、解直角三角形、二次函数的性质等知识，考查学生的动手能力、思维能力，以及利用特殊位置解决问题的能力. 同时，考查学生的发散思维和观察推理能力，体现了类比思想和分类讨论思想在解决数学问题中的作用.

二、折叠后求值

1. 求边长

例4 （内蒙古·呼和浩特卷）如图11，把某矩形纸片[ABCD]沿[EF，GH]折叠（点[E，H]在边[AD]上，点[F，G]在边[BC]上），使点[B]和点[C]落在边[AD]上同一点[P]处. 点[A]的对称点为[A]，点[D]的对称点为[D]，若[∠FPG=90°，S△AEP=8，S△DPH=2，] 则矩形ABCD的长为（   ）.

（A）[65+10]    （B）[610+52]

（C）[35+10]     （D）[310+52]

分析：此题要求学生根据折叠的本质找到图形中隐含的线段关系，由矩形的性质得到线段之间的平行关系，推出角相等，得到三角形相似，从而找出将面积关系转化为线段关系的解题切入点. 设[AB=x]，根据轴对称的性质，用含x的代数式表示相关线段的长度，选择适当的直角三角形，运用等面积法列方程求解.

简解：设[AB=CD=x，] 由翻折的性质，得[PA=][AB=x，] [PD=CD=x，] [∠PAE=∠HDP=90°.]

由[∠FPG=][90°，] 易证得[△AEP∽△DPH.]

因为[S△AEP=8，S△DPH=]2，

所以由相似三角形的性质，得[DH=12AP=12x.]

由[S△DPH=12DP ⋅][DH=2，] 解得[x=22]（负根舍弃）.

在[Rt△AEP]和[Rt△DPH]中，分别求出[PE=210，][AE=][42，PH=10，DH=2].

故可求得矩形ABCD的长为[310+52.]

故此题选择选项[D].

【评析】此题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等，同时考查数形结合思想和方程思想，化繁为简，体现了数学的教育价值.

2. 求折痕长度

例5 （黑龙江·龙东地区卷）在矩形[ABCD]中，[AB=1，] [BC=a，] 点[E]在边[BC]上，且[BE=35a，] 连接[AE，] 将[△ABE]沿[AE]折叠. 若点[B]的对应点[B]落在矩形[ABCD]的边上，则折痕的长为      .

分析：此题中，学生要画出变化的折叠图形，需要熟练掌握轴对称的性质和矩形的性质. 几何作图能力是学生正确理解几何图形及其实质特征的切入性技能，是奠定几何思维的基础和关键，对于理解几何内涵有重要作用. 对于此折叠问题，分类作图是解决这个问题的起点，也是难点，更是近几年中考命题的关注点. 此题可以理解为以点[E]为圆心、[BE]为半径画圆弧，发现点[B]可能落在边[AD]上或边[CD]上，故需要分两种情况进行讨论.

简解：分两种情况讨论.

情况1：如图12，当点[B]落在边[AD]上时，由翻折的性质，易证得[△ABE]为等腰直角三角形.

所以[BE=1.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[AE=2.]

情况2：如图13，当点[B]落在边[CD]上时，易证得[△ADB]∽[△BCE.]

所以[ADBC=DBCE.]  ①

由已知条件易求得[CE=25a，BC=55a，DB=1-][55a，] [AD=a.]

代入①式，解得[a=][53.]

所以[BE=35a=55.]

在[Rt△ABE]中，由勾股定理，得[AE=305].

综上所述，折痕的长为[2]或[305].

【评析】解决此题需要依据文字描述画出变化的折叠图形. 此题涉及翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，考查学生的分类讨论、几何直观、空间想象等能力.

3. 求面積

例6 （湖北·襄阳卷）如图14，矩形[ABCD]中，[E]为边[AB]上一点，将[△ADE]沿[DE]折叠，使点[A]的对应点[F]恰好落在边[BC]上，连接[AF]交[DE]于点[N]，连接[BN]. 若[BF][⋅][AD=15]，[tan∠BNF=52]，则矩形[ABCD]的面积为     .

分析：此题求矩形的面积，关键是根据已知条件中的锐角三角函数值用含字母的式子表示线段长度，不求线段的具体长度，而是得到AB与BF的比例关系直接求解矩形的面积. 在此题中有两个模型：一是通过折叠将矩形的直角转化到边[BC]上，构造出直角顶点在线段[BC]上的模型，由“同角的余角相等”转化角之间的相等关系;二是由折叠的轴对称性质得到直角，推出四点共圆，转化角之间的相等关系. 此题将基本模型巧妙的运用在折叠问题中，利用轴对称的性质最终转化为线段之间的关系来解题.

简解：由折叠的性质、圆的性质得出[∠BNF=∠BEF.]

所以[tan∠BEF=tan∠BNF=52.]

设[BF=5x]，则[BE=2x.]

在[Rt△BEF]中，由勾股定理，得[EF=3x.]

所以[AB=5x.]

所以[AB=5BF.]

所以[S矩形ABCD=AB ⋅ AD=5][BF ⋅ AD=155.]

【评析】此题利用转化线段之间的长度关系表示面积，涉及折叠的性质、矩形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，考查学生的转化与化归思想和数学运算能力，体现了演绎推理的学科价值.

例7 （四川·自贡卷）如图15，矩形[ABCD]中，[E]是边[AB]上一点，连接[DE]，将[△ADE]沿[DE]翻折，恰好使点[A]落在边[BC]的中点[F]处，在[DF]上取点[O]，以点[O]为圆心、[OF]长为半径作半圆与[CD]相切于点[G]. 若[AD=4]，则图中阴影部分的面积为      .

分析：圆本身就是轴对称图形，此题将折叠问题放在圆的背景下进行考查，灵活新颖、富有创意. 此题基于图形折叠前后形状和大小不变的性质，得到折叠前后线段的长度相等及“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧（弦）相等”的结论，继而将阴影部分面积转化为三角形的面积，实现化繁为简.

简解：如图16，设半圆O与边[BC]的另一个交点为[Q]，连接[OG]，[OQ]，[QG.]

设[OG=][OF=x].

由已知条件，易证得[△DOG∽△DFC.]

所以[DODF=OGFC.]

所以[4-x4=x2.]

解得[x=][43.]

所以半圆O的半径为[43.]

由已知条件，易证得[△OFQ]为等边三角形.

所以[FQ=OF=43.]

所以[CQ=FC-FQ=23.]

过点[O]作[OH⊥CF]于点[H，]

易证得四边形[OHCG]为矩形.

易求得[CG=OH=233.]

所以[S阴影=S扇形FOQ-S△FOQ△+S△GQC△+S△GQO△-S扇形QGO][=][S△CGQ=][12 ∙ CQ ∙ CG=12×23×233=239.]

故此题答案为[239].

【评析】此题是在图形折叠背景下考查不规则图形面积的求解，涉及扇形面积的计算、切线的性质、翻折变换、相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质、矩形的性质等知识，考查学生的观察能力、运算能力及推理能力，体现了转化的数学思想.

4. 求动态几何中线段的长

例8 （辽宁·沈阳卷）如图17，在矩形[ABCD]中，[AB=6，] [BC=8，] 对角线[AC，BD]相交于点[O，] 点[P]为边[AD]上一动点，连接[OP，] 以[OP]为折痕，将[△AOP]折叠，点[A]的对应点为点[E]，线段[PE]与[OD]相交于点[F]. 若[△PDF]为直角三角形，则[DP]的长为        .

分析：此题将动态几何问题置于折叠的背景下，命题思路明动暗静，学生需要紧紧抓住折叠后不变的量，并通过作图表达出变化过程中不变的线段和角，找到相似三角形，从而求出线段长度. 而要解决矩形中的折叠问题，需要考虑矩形的长和宽与折叠后所得直角三角形的相似关系.

简解：分两种情况讨论.

情况1：如图18，当[∠DPF=][90°]时，过点[O]作[OH⊥AD]于点[H.]

由中位线定理，可得[OH=12AB=3，] [HD=12AD=4.]

由折叠的性质，得[∠APO=][∠EPO=45°.]

所以[HP=OH=3.]

所以[PD=HD-HP=1].

情况2：如图19，当[∠PFD=90°]时，由勾股定理和矩形的性质，得[OA=OC=OB=OD=5.]

所以[OE=5.]

由已知条件，可证得[△OFE∽△BAD.]

所以[OFBA=OEBD.] 可求得[OF=3.]

所以[FD=OD-OF=2.]

由已知条件，可证得[△PFD∽△BAD.]

所以[PDBD=FDAD.] 可求得[PD=52.]

故此题答案为[52]或[1.]

【评析】此题由运动过程中的折叠考查轴对称问题，涉及翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，主要考查学生的直观想象能力、数学运算能力、分析問题和解决问题的能力，以及分类讨论思想.

5. 求三角函数的值

例9 （湖北·咸宁卷）如图20，在矩形[ABCD]中，[AB=2]，[BC=25]，[E]是[BC]的中点，将[△ABE]沿直线[AE]翻折，点[B]落在点[F]处，连接[CF，] 则[cos∠ECF]的值为（   ）.

分析：此题图形的折叠过程中含有更多的变化元素，但折叠过程中对应线段长度相等和对应角相等是其隐含的不变规律，也是突破解题难点的关键性质之一. 而分析图形折叠前后线段长度的关系和角的关系，前提是需要充分理解折叠过程，并综合利用外角的性质，逐步理清思路，再求出锐角的三角函数值. 此题折叠后点[B]落在点[F]处，点[F]在矩形[ABCD]外，然而根据折叠及“[E]是[BC]的中点”这两个条件，可以通过三角形外角性质得到[∠AEB=][∠ECF].

简解：在[Rt△ABE]中，由已知条件和勾股定理，可得[AE=3.]

由翻折变换的性质，得[△AFE≌△ABE.]

所以[∠AEF=∠AEB]，[EF=EB=5.]

由[E]是[BC]的中点，易证得[EF=CE.]

由等腰三角形的性质，可得[∠EFC=∠ECF.]

由三角形的外角性质，易证得[∠AEB=∠ECF.]

所以[cos∠ECF=cos∠AEB=][BEAE=53].

故此题选择选项[C].

【评析】此题依托矩形折叠背景通过轴对称性质考查求锐角三角函数值，涉及矩形的性质、勾股定理、翻折变换、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角函数等知识，主要考查学生的空间想象能力、数学运算能力，以及数形结合思想.

6. 求点到直线的距离

例10 （重庆A卷）如图21，三角形纸片[ABC]，点[D]是边[BC]上一点，连接[AD]，把[△ABD]沿着[AD]翻折，得到[△AED]，[DE]与[AC]交于点[G]，连接[BE]交[AD]于点[F]. 若[DG=GE，] [AF=3，] [BF=2，] [△ADG]的面积为[2]，则点[F]到[BC]的距离为（   ）.

（A）[55]   （B）[255]   （C）[455] （D）[433]

分析：此题是三角形背景下的图形折叠问题，设计精致，将求点到直线的距离问题转化为求三角形高的问题，有针对性地对相关三角形的面积进行分析. 解题时，需利用图形变换的本质，找到图形变换前后的联系，将折叠与直角三角形的相关计算有机结合，体现了数学知识之间的内在联系.

简解：因为[DG=GE，] [△ADG]的面积为[2]，

所以[△ADE]的面积为[4].

由翻折的性质，得[△ADB≌][△ADE，BF⊥AD.⊥]

所以[△ABD]的面积为[4.]

因为[BF=2，]

所以[AD=4.]

所以[DF=][AD-AF=1].

所以[BD=5.]

设点[F]到[BD]的距离为[h，]

由[12 ∙ BD ∙ h=][12 ∙ BF ∙ DF，]

解得[h=255.]

故此题选择选项[B].

【评析】此题以翻折变换为背景，涉及三角形的面积、勾股定理、方程等知识，考查学生的数学运算能力、应用意识和转化能力.

7. 求弧长

例11 （四川·达州卷）如图22，在半径为5的[⊙O]中，将劣弧[AB]沿弦[AB]翻折，使折叠后的[AB]恰好与[OA，OB]相切，则劣弧[AB]的长为（   ）.

（A）[5π3] （B）[5π2] （C）[5π4] （D）[5π6]

分析：此题是在圆中融入折叠问题，把圆的性质和折叠的对称性相融合. 解题时，要注意圆折叠的特殊性，同时结合三角形、四边形等几何知识，综合运用基本图形、基本模型和基本结论来进行解题逻辑架构.

简解：如图23，作点[O]关于[AB]的对称点[O]，连接[OA，OB.]

由圆和轴对称的性质，可得[OA=OB=OA=][OB.]

因为折叠后的[AB]与[OA，OB]相切，

所以[OA⊥OA，OB⊥OB.]

所以四边形[OAOB]为正方形.

所以[∠AOB=90°].

所以劣弧[AB]的长为[52π].

故此题选择选项[B].

【评析】此题考查了切线的性质和轴对称性质，涉及三角形、特殊平行四边形、圆、弧长公式等知识，考查学生的推理能力和运算能力.

8. 求最值

例12 （四川·凉山州卷）如图24，矩形[ABCD]中，[AD=12，] [AB=8，] [E]是[AB]上一点，且[BE=3，] [F]是[BC]上一动点，若将[△EBF]沿[EF]对折后，点[B]落在点[P]处，则点[P]到点[D]的最短距离为       .

分析：此题要求学生在变化的图形中求两点间的最短距离. 在折叠过程中，点[P]的运动轨迹为以点[E]为圆心、[EB]为半径的圆弧. 此题既可以利用“三角形的三边关系”求[PD]的最值，也可以用“圆和圆外定点”模型探求最值.

简解：如图25，连接DP，DE.

在[Rt△EAD]中，可得[DE][=13].

由折叠的性质，可得[EP=EB=3.]

由三角形的三边关系，易得[EP+DP>ED.]

所以当点[E，P，D]三点共线时，[DP]的长度最短. 此时[DP=DE-EP=][13-3=][10].

故此题答案为[10].

【评析】此题是以矩形上的一个动点确定对称轴的折叠问题，考查矩形的性质、勾股定理、翻折变换的性质、最短距离等知识，以及数形结合思想，发散思维能力和观察推理能力.

三、折叠后确定点的位置

例13 （广西·桂林卷）如图26，已知抛物线[y=][ax+6x-2]过点[C0，2]，交[x]轴于点[A]和点[B]（点[A]在点[B]的左侧），抛物线的顶点为[D]，对称轴[DE]交[x]轴于点[E]，连接[EC].

（1）直接写出[a]的值，点[A]的坐标和抛物线对称轴的表达式;

（2）若点[M]是抛物线对称轴[DE]上的点，当[△MCE]是等腰三角形时，求点[M]的坐标;

（3）点[P]是抛物线上的动点，连接[PC，PE]，将[△PCE]沿[CE]所在的直线对折，点[P]落在坐标平面内的点[P]处. 求当点[P]恰好落在直线[AD]上时点[P]的横坐标.

分析：解决第（3）小题需利用轴对称的性质，找到全等三角形，通过转化线段相等关系得到点[P]的坐标. 正所谓“万变不离其宗”，抓住数学问题的本质，问题就会迎刃而解. 而折叠问题的本质就是轴对称图形的性质.

简解：（1）[a=-16;] 点A的坐标为[A-6，0;] 抛物线的对称轴是直线[x=-2.]

（2）利用等腰三角形的性質，分[ME=MC，CE=MC，][ME=CE]三种情况讨论，即可得出点[M]的坐标为[-2，2]或[-2，4]或[-2，22]或[-2，-22].

（3）如图27，设点P的坐标为[m，n，] 过点[P]作[PQ⊥Ox]于点[Q]，过点[P]作[PQ⊥DE]于点[Q.]

由已知条件，可得[△PQE≌△PQE.]

所以[PQ=PQ=n，] [EQ=EQ=m+2.]

所以点[Pn-2，m+2.]

由点A，D的坐标求得直线AD的表达式为[y=][23x+4.]

将点[P]的坐标代入直线AD的表达式，点P的坐标代入抛物线的表达式中，联立方程组，求解即可得出[m=][-13-2412]或[m=-13+2412.]

所以点[P]的横坐标为[-13-2412]或[-13+2412].

【评析】此题是一道二次函数综合题，其中第（3）小题为以抛物线上的动点为顶点的三角形折叠问题，考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，以及利用分类讨论和数形结合思想解题的能力.

四、结束语

在图形折叠问题中，折叠的载体可以是线段、三角形、四边形或圆等基本图形，问题设计可以是动手操作型、折叠后求值型或折叠后确定点的位置型，但解决问题的关键都是抓住轴对称的性质，运用勾股定理、锐角三角函数、相似三角形等知识，依据数形结合、分类讨论、方程、转化与化归等数学思想解决问题. 因此，在教学中，教师应着重帮助学生掌握几何图形的性质，使学生学会抓住问题的本质，形成解决折叠问题的思维方法. 与此同时，教师要积极引导学生动手操作画图，体会几何直观在解题中的重要作用，积累数学活动经验，提高数学学科核心素养. 教师要通过问题设计引导学生进行分析、推理、论证，让学生经历动手、操作、观察、思考、想象、推理、计算、反思等过程，使学生在不同图形背景下充分应用，最终灵活掌握“图形与几何”相关知识.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]郦兴江，孙秀珍，马立锋. 平移与翻折问题[J]. 中学数学教学参考（中旬），2019（1 / 2）：130-134.