以教学实践问题为导向，进行复习教学策略的系统创新

吴增生 纪宪禹

《整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系》（以下统称“文章”）一文及其相关的6篇研究文章，以专题研究形式集中发表于《中国数学教育》（初中版）2019年第7 / 8期上，被人大《复印报刊资料·初中数学教与学》2020年第1期全文转载. 文章以解决复习教学实践问题为导向，基于初中数学内容的发生、发展逻辑及其蕴涵的发展数学学科核心素养的育人价值，以心理学及脑科学理论为指导，对初中数学总复习教学进行系统的策略创新，为一线教师开展数学学科核心素养导向的高品质复习教学，提供了可操作的策略和方法，与其相关的6篇文章，则提供了具体的教学实践案例. 这些研究为改进初中数学总复习教学，作出了积极的贡献.

一、文章的写作背景

立德树人是我国新时期教育的基本导向，主要体现为发展学生的核心素养. 数学教育对学生核心素养发展的贡献，主要体现在科学精神和智力发展上. 复习教学是“温故而知新”的认知重构活动，它具有重复性、系统性、综合性和应用性. 其核心育人价值是：优化知识结构，形成系统的数学思想方法体系和解决问题策略，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等素养，进而发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.

有别于新课教学中有权威的教材和教师教学指导用书的引领，复习教学资源虽然泛滥，但缺乏系统、权威的教学资源，导致数学复习教学成为教学实践的短板，存在的问题较多，教师普遍反映最难教. 当前，初中数学总复习教学中普遍存在以下问题：（1）缺乏对数学知识发生、发展逻辑的深入思考，没有系统规划合理的复习教学单元，没有设计发展数学关键能力的有针对性的复习教学活动（如把解析几何问题作为函数复习的重点内容）;（2）知识回顾简单重复，没有引导学生用一般观念引领进行知识梳理，不能形成系统简约的知识体系;（3）以练代学，进行高强度、无死角的重复刷题，缺乏思想性和策略性;（4）对知识发生、发展及应用过程的思想方法理解不深刻，导致数学思想方法的教学零碎、隐晦，学生难以把握;（5）没有深入分析学情导致复习教学中学生参与度低，教学效果差强人意.

基于以上问题，笔者带领工作室成员进行了为期四年的创新初中数学总复习教学策略的系统研究，目的是为改进初中数学总复习教学的育人价值提供可操作的、系统有效的教学策略，包括复习主题的建构，复习课型的分类，不同课型的教学策略和方法的概括提炼，研制教师教学设计用书、学生用书、学生训练系统、教学PPT、微课视频等教学资源. 文章是对这些研究成果的系统概括和总结.

二、文章旨在说明的问题

要对初中数学总复习教学进行系统的策略创新，需要在理解数学、理解学生、理解技术、理解教学这“四个理解”的基础上进行，以保证这种教学策略创新的科学性和有效性.

1. 在理论和实践分析的基础上提出研究问题

（1）分析数学学科教育在落实立德树人中的作用，明确数学教学的核心育人价值.

数学是研究数量关系和空间形式的科学，它具有抽象性、逻辑确定性和应用广泛性三个本质特征. 数学源于对现实世界的抽象. 基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律，这与史宁中教授概括的“三会”是一致的，即会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界. 会用数学眼光观察世界，指的是通过直观想象和抽象引入并明确研究对象，理解事物的本质;会用数学思维思考世界，指的是在抽象的基础上，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理和模型构建等方式建立事物之间的普遍联系，并在此基础上抽象出这些联系的一般规律;会用数学语言表达世界，指的是用数据、自然语言、图形语言、符号语言基于逻辑规则进行有条理的表达和交流. 因此，数学学科的核心育人价值是利用数学的内在力量发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析素养，发展学生有逻辑、创造性地思考的能力及有逻辑地表达的能力. 这些关键能力体现在数学活动的不同阶段，需要通过有针对性的活动得到发展.

（2）分析复习课的认知特点及学生学习的心理规律，明确复习教学的育人价值及基本课型.

数学复习是“温故而知新”的认知重构活动，复习的内容是学生已经学习过的，这是复习活动的“温故”特征，那么“知新”的主要表现特征是什么呢？这需要依据学生学习的认知发展规律和数学教育的核心育人价值进行融合研究. 文章基于心理学、脑科学的原理，从问题解决与大脑的认知规律出发，分析其支持要素，得到“系统简约知识体系”“系统的数学思想方法系统”和“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的一般性思考经验”是支撑高水平问题解决能力的关键要素，并提出了復习教学的核心育人价值，即在相互联系中深化对知识的理解，形成系统简约的知识体系;在操作体会、归纳与一般化、迁移巩固和系统化中形成数学思想和方法;在解决问题的过程中抽象和概括一般性的思考程序和方法. 进一步地，文章还依据这些支撑问题解决的要素的层次性划分了三类复习教学的基本课型——基础复习课、专题复习课、问题解决和研究.

（3）分析初中总复习教学的现状，梳理问题和不足.

当前，初中总复习教学实践中普遍采用“知识点回顾 + 题型操练”的“以练代学”的复习教学方式，文章用脑科学的原理分析了这种教学方式的优势与不足，提出了如下科学、有效的复习方式，即大脑中先要形成新的神经联接，再通过适当的练习强化神经联接. 与之相对应的学习活动，则是先形成对知识、思想方法和活动经验的新的理解，再通过适时适当的练习实现巩固和迁移，这些就是复习中认知重构活动的“知新”内涵.

基于以上分析，文章提出了系统研究初中数学总复习教学策略的问题.

2. 系统概括初中数学总复习教学策略体系

（1）基础复习课的教学策略.

① 整体建构.

通过分析数系扩充、代数式、方程、不等式、函数等内容的逻辑结构，合理划分基础复习课的教学单元（“数与代数”领域包括数的发展，字母表示数，整式，分式，二次根式，方程，不等式，函数;“图形与几何”领域包括几何图形，相交线与平行线，三角形，平行四边形，圆，图形的全等变换，图形的相似，锐角三角函数;“统计与概率”领域包括统计，概率），进行单元整体复习教学，便于学生在相互联系中深化知识的理解，建构系统、简约的知识结构.

② 一般观念引领.

通过分析同一单元内容之间的研究思路、研究内容和研究方法，概括出“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”领域中知识形成和发展的研究过程所蕴涵的一般观念，并通过研究不同单元内容之间的连贯性和逻辑一致性概括出同一领域不同单元内容的数学一般观念. 所谓一般观念，指的是与核心概念和理论相关的研究问题的顶层观念. 具体是指：研究对象是如何引入和定义的，这类对象要研究什么，性質指的是什么，判定指的是什么，知识体系的形成逻辑是怎样的，按照怎样的思路研究，用什么方法研究，等等. 这种一般观念可以作为整理系统、简约的知识结构体系的“方向标”和“脚手架”，也能指导学生在整理知识结构的同时理解知识发生、发展过程中蕴涵的数学思想和方法，还能让学生体会“数学是怎样研究一类对象的”.

③ 直观化.

视觉直观是人类觉知客观事物的优势通道，几何思维的发展的路径是“空间视觉行为—几何作图（手绘和尺规作图）—言语表述—定义与演绎—公理化、系统化”，代数思维的发展基于对操作和运算的概括和符号化，以及这些脑科学原理，从而概括出几何复习基于空间结构及其变化的“直观化”、代数复习基于运算和操作的“直观化”的教学策略.

④ 基于评价，精准教学.

基于现代信息技术的发展，文章提出了基于大数据的基于评价、精准教学的策略，提高复习教学的针对性，改进教学效果.

（2）聚焦数学思想方法的专题复习教学策略体系.

① 聚焦数学思想方法.

专题复习教学的核心育人价值不是为了让学生积累和熟练各种题型，而是为学生解决问题提供数学思想和方法. 数学思想方法是具有迁移潜力的思考问题的一般性方法，如抽象、推理、模型这三种基本思想，以及由此派生出来分类、数形结合、特殊化与一般化、转化、数学建模、类比、归纳、演绎等经典思想方法，而不是“手拉手模型”“一线三等角模型”“销售问题”“动点问题”等题型. 基于此，文章把专题复习聚焦于数学思想方法，而不是题型.

② 重视数学思想方法的抽象和迁移.

文章基于已有文献，在明确数学思想方法学习的基本规律（在模仿操作中体会，在反思总结中明朗化，在迁移应用中巩固，在相互联系中发展）的基础上，构建了基于内容和实例、聚焦数学思想和方法教学的课堂结构（解决问题，操作体会—反思概括，推广到一般—迁移应用—联系发展），并指出了概括数学思想方法的核心是这种思想方法“有什么用（在什么时候用）、怎样用（操作步骤和基本想法）、注意要点”.

③ 循序渐进地建立数学思想方法体系.

文章在分析数学基本思想到经典思想到具体方法的结构体系的基础上，提出了从相对具体到相对抽象、从单一到综合的数学思想方法教学的循序渐进策略.

（3）问题解决和数学研究的教学策略.

文章在分析问题解决的认知心理机制的基础上，认为在具备了简约系统的知识结构和系统的数学思想方法储备的基础上，影响数学问题研究和解决的关键要素是研究和思考问题的一般性活动经验. 这种一般性活动经验就是规划“目标导向行为”活动方案的基本步骤及其活动的导航. 在此基础上，文章提出了如下数学问题解决和数学研究的教学策略.

① 重视一般思考步骤的抽象和概括.

文章在分析波利亚解题理论和John R Anderson的问题解决五阶段理论的基础上，提出了问题解决教学的核心目标是让学生知道“面对一个陌生的具有挑战性的问题时，怎样按部就班地思考”，给出了问题解决教学的基本策略是：首先，让学生解决具体的、具有挑战性的问题，让学生经历分析条件和目标，适当表示问题条件和目标，并根据需要转换问题（采用“前推法”“后推法”和“两头凑法”构建子目标序列），寻找和建立联系条件和目标的数学模型或图形结构，制定和实施计划解决问题、解释结论、评价总结、在线评估等过程;其次，引导学生通过反思总结这种分析问题和解决问题的步骤和方法，推广到一般，形成如下图所示的思考程序图.

② 重视一般思考步骤的迁移应用.

文章依据问题解决的相关理论，指出“迁移应用和内化”是巩固知识、形成思想方法和积累解决问题活动经验的关键环节之一. 问题解决和数学研究活动经验的迁移应用，主要是指用相似的步骤确定研究和解决问题的可能方向，寻找解决问题的思路. 这种迁移应用活动的例题应该具有“表面与结构新颖，所用思想方法和知识综合，但是分析和寻找解决问题的步骤和方法具有相似性”，从而让学生学会用已有的经验去研究和解决陌生的、挑战性的问题，学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界.

三、结束语

历经四年的理论概括、教学设计和实践验证研究，得到的研究成果得到了广泛推广和应用. 在2020年疫情期间，本研究的初中数学总复习课程微课全国在线浏览量超过120万人次. 通过这一研究历程，笔者的体会是基于教学实践发现和提出研究问题，融合数学和心理学、认知与脑科学进行理论结合实践的研究，既是数学教学理论创新的重要方法，也是改进数学教学育人价值的现实需要，还是提升教师专业素养的良好平台. 让我们脚踏实地，深入开展教学实践问题导向的教学创新研究，为提升我国的数学教育做出更大的贡献.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]吴增生. 整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系[J]. 中国数学教育（初中版），2019（7 / 8），3-11，37.