元认知理论在高中数学解题教学的应用

广东省广州市第二中学(510530)李碧

1 元认知理论

元认知(metacognition)的概念起源于对“记忆的记忆”之研究,由美国心理学家弗拉维尔(Flavell)最先提出.他将元认知概括为“个体对自己认知状态和过程的意识和调节”(Flavell,1985).元认知的核心意义是对认知的认知,故称其为“元认知”.弗拉维尔认为,元认知包含两个主要成分:元认知知识和元认知体验.元认知知识是个体有关自己或他人的认知活动、过程、结果及相关的知识.元认知体验是认知主体随着认知活动的展开而产生的理性或感性的综合体验或感受.

国内学者(如董奇、陈英和等)多倾向于认为元认知由三个成分构成:元认知知识、元认知体验和元认知监控.其中元认知监控是指主体在进行认知活动的过程中,将自己正在进行的认知活动作为对象,不断地对其进行积极而自觉地监视、控制和调节的过程.

2 元认知理论与数学解题的关联

波利亚解题理论中最著名的首推他的《怎样解题》.波利亚的“怎样解题表”分为“弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾”四个阶段,对整个解题的过程实施元认知监控.表中有大量提示性的问题,但这些问题不是问别人,而是问自己,实际是解题者的自我诘问,自我反思,也就是“客体水平”的,属于认知性的;问题中还有一部分是以解题者自身为对象,针对主体内部心理现象认识过程的,属于元认知性的.譬如说:“你以前见过它吗?”“你知道一个与此相关的问题吗?”等等.这些问题都没有直接涉及问题的具体内容,完全是针对主体自身思维,是对自身解题思维活动的反诘,是自我监察、自我意识、自我预测、自我调节、自我监控,这些都是元认知,整个表格就是一个完整的数学解题的元认知体系.在数学学习中,只有在学生的积极参与下,自我监控活动才能实现,也只有在学生的自主活动中,数学元认知能力才能获得发展.

3 元认知理论下的高中数学解题教学

高中数学解题教学,经常出现的问题是:教师自认为对问题的讲解很清晰,但学生在解决类似的问题、甚至是同一道题时都会错漏百出甚至无从下手.如何提高高中解题教学的效率?笔者根据元认知理论,在高中解题教学中采取以下教学策略,取得了很好的教学效果.

3.1 一题多解,丰富学生的元认知知识

一题多解是学生多角度思考及探索不同的解题途径,可以培养学生的发散思维,达到举一反三、融会贯通.学生再通过比较各种解法,优化思维方法.通过一题多解,可以丰富学生的元认知知识,拓展学生思路,提高学生解题的灵活性.

笔者以“函数零点与导数”解题课为例,探索一题多解在高中解题教学中的应用.

例1若函数f(x)=ex-ax在x ∈(0,+∞)上仅有一个零点,求实数a的值.

这道例题选择了学生较为熟悉的函数,旨在让学生以“说思路”的方式巩固解决函数零点问题的三种基本方法:单一函数、分离参数、曲线与曲线交点问题.通过思路4、思路5学习两种“新”的转化方式,强化转化,突破函数、方程等价转化的局限,突出换元思想.增加学生对于零点问题转化方式的元认知知识.

3.2 一题多变,提升学生的元认知体验

一题多变是通过改变题目条件、结论或者减少、增加条件等方式,进行新的求解.一题多变,可以提高学生思维的敏捷性、应变性及创造性等.通过一题多变提升学生的元认知体验,提高学生解题的速度.

笔者仍以“函数零点与导数”解题课为例,探索一题多变在高中解题教学中的应用.

变式1若函数f(x)=eax-x在x ∈(0,+∞)上仅有一个零点,求实数a的取值范围.

变式1 将例1 中参数a从一次项系数调整到指数的一次项系数,旨在巩固例1 换元的思想.变式1 要先将指数方程转化为对数方程,然后从三种常见方法中进行选择,强调方法选择的意识.增加学生对于零点问题转化方式的元认知体验.

变式2若函数f(x)=xex-a(x+1)2在x ∈(-∞,0)上有两个零点,求实数a的取值范围.

从例1 中指数函数与一次函数运算得到的函数,到变式2 中“类二次曲线y=xex”函数与二次函数通过运算得到的函数,暗藏题目的构造方式,引导学生用函数模型的眼光阅读理解题目,培养学生对要解决的函数模型的构造进行思考,提升优化解题思维的能力.进一步提升学生的元认知体验.

变式3若方程上有两个根,求实数a的取值范围.

变式4若函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx在x ∈(0,+∞)上有两个零点,求实数a的取值范围.

变式5若函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x在x ∈R上有两个零点,求实数a的取值范围.

3.3 多题归一,加强学生的元认知监控

学生自己做题时做不到自主地归纳总结,就知道做题,结果是相同或相近题目反复做,效率低下.作为教师,在平时的教学中,要有意识地帮助学生养成良好的归纳总结习惯.

教师在课堂教学中渗透多题一解,做出示范,逐步培养学生自己总结归纳、提炼数学方法和数学思想的能力,养成良好的数学元认知监控的习惯.

例2(2020 全国1 卷)已知A,B分别为椭圆E:的左、右顶点,G为E的上顶点,为直线x=6 上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.

(1)求E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

例2 的第(2)问解法很多,如果只注重讲解解法,学生可能不会迁移,碰到类似的问题,又陷入设参的选择烦恼和并不简单的计算中.教师若是引导学生分析题目条件,发现A,B两点关于原点对称,在求解过程中,将题目条件3kAP=kP B转化为,接下来设直线CD方程,则为常见题型.

习字教学在现行教学资源丰富的情况下，打破了空间限制。微课制作、PPT制作，使学生从枯燥单一的写字训练，变成轻松愉快的写字。练就一手好字，提高了语文知识的学习，提升了学生综合素质，传承了中华汉字文化发展。

为了强化学生对于这类问题的元认知监控,笔者在讲解这道题时给出了以下题组:

【题1】已知椭圆C:与点P(0,1),设直线l不经过点P,且与椭圆C交于不同的两点A,B,若直线PA与直线PB的斜率之和-1,求证直线l过定点.

【题2】已知A,B分别为椭圆C:的左、右顶点,过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同的两点P,Q(P在Q上方),设直线PA、BQ的斜率分别为k1,k2,求.

【题3】已知A,B分别为椭圆的左、右顶点,P,Q为椭圆上两点且满足kAP=7kQB,求ΔPQB与ΔPQA面积之差的最大值.

题1 巩固2020年高考题中证直线过定点的设参方法及加强计算练习;题2 强化将所求的斜率转化;题3 挖掘直线PQ过定点.题组选取的三道题的求解思路来源于2020年高考题的解题方法,并从不同侧面强化了解题的关键思路.经过这样的题组训练与多题一解,学生在面对类似的问题时,求解过程就会快捷很多,从而会增强解题的信心和兴趣.

对于高中数学解题中重点和难点内容,利用题组形式,形成多题归一,引导学生在大量的解题训练中进行元认知监控,不断反问自己解决问题的关键点,总结相似问题的统一解法,就会减少学生重复低效的训练,提高学习效果.

3.4 即时提问,培养学生解题的反思、调节意识

在高中数学解题教学中通过即时提问充分展现学生思维过程,暴露学生思维出现的问题,可以培养学生在解题过程中对自身解题思维活动的反诘,是自我监察、自我意识、自我预测、自我调节、自我监控的过程,提高学生解题的准确性.

下面是某节数学解题课的片段.

例3有5 本不同的书,其中语文书2 本,数学书2 本,物理书1 本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率为____.

这道题涉及了三种群体的不相邻问题,对于解题带来了一定的困难.有学生按照以下方法求解:

先排语文书,保证语文不相邻,中间插入一本书,分两类:(1)中间插入物理书,再在三本书形成的4 个位置中放数学书,有种摆放方法;(2)中间插入一本数学书,还有一本数学书可以放两本语文书之间也可以放两本语文书外面,有种摆放方法;故所求概率为.

笔者问:这种解法答案对吗?有同学说答案不对.

笔者追问:什么原因?学生们陷入了沉思.笔者趁机提醒学生反思一下解题过程.有学生很快发现第一类和第二类计数方法有重复.

笔者继续追问:那么问题出现在哪里呢?经过学生们的讨论和研究,他们发现:因分类标准不统一,第二类包含了第一类的部分摆放方法,应该在第二类中去掉物理书在语文书中间的情况,修改如下:

分两类:(1)中间插入物理书,再在三本书形成的4个位置中放数学书,有种摆放方法;(2)中间插入一本数学书,物理书要放在两本语文书外面,有种.故所求概率为

笔者继续追问:刚才的解法的错误根源在哪里?有学生回答:二级分类标准不清晰.笔者继续追问:怎么修改思路?

学生给出以下方法:

先排语文书,选择特殊元素物理作为分类的标准:(1)物理书放语文书中间,有种摆放方法;(2)物理书放两本语文书外面,有种.故所求概率为.

课后,笔者引导学生做好解题反思:分类、分步的方法是解排列组合问题的根本方法.面对较复杂的排列组合问题,如果一时没想到解法,建议从最基本的分类、分步思想入手,并注意选择好分类的标准,将复杂问题分解成简单的问题解决.笔者趁机提醒学生在解题中出现错漏时,不要轻易回避,应该对思路进行反思、修正,调节.

4 教学建议

一题多解,丰富学生的元认知知识,提高学生解题的灵活性;一题多变,提升学生的元认知体验,提高学生解题的创造性;多题归一,引导学生自我监控、总结归纳,提高学生做题的有效性;即时提问,培养学生自我调节能力,提高学生解题的准确性.

将元认知理论应用在高中数学解题教学,不仅可以优化教学方式,也是精准有效培养学生解题能力的关键.笔者建议在高中数学解题的教学实践中应将“一题多解”、“一题多变”、“多题归一”、“即时提问”等方式根据教学内容需要进行融合,提升高中数学解题教学的效率.