问题驱动,追问促深——“高中视角下的十字相乘法”的课堂实录与思考

广东省广州市番禺区实验中学(511400)刘政彪

1 “问题驱动,追问促深”教学模式

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质,创设合适的教学情境、提出合适的数学问题,引发学生思考与交流,形成和发展数学学科核心素养[1].问题驱动教学是指教师要挖掘知识产生背后的真实问题,结合学生的实际创设真实有效的问题情境,将问题融入情境让学生在探究活动中自然生成概念、性质、法则等,并获得相应的思想与方法[2].问题追问,是在原问题问答境域中的“再对话”,是对当前学生理解的再深入,是对问题本质的再接近,是对知识意蕴的再挖掘[3].深度学习基于认知与情感整合的视角,指向学生的主动参与学习,对接学生核心素养体系中的学会学习,以培养学生的高阶思维与问题解决为主,强调学习的情感投入与知识的构建[4].

“问题驱动,追问促深”教学模式是以教学内容为依据,以情境问题为引领,以学生探究为中心,以问题追问为抓手的基于新课标理念的教学模式.有效的问题设计可以激活学生对学习内容探究的主动性和积极性,可以打开学生的思维空间,培养学生的思维能力.有效的问题追问可以促进学生的深度学习和素养发展,可以化抽象为具体,化模糊为精准,让推理更自然.学生在问题的引领下,学会自主学习、探究合作,主动地运用知识和方法解决问题、收获新知.

2 十字相乘法的内容与地位

把一个整式写成几个整式的乘积,称为因式分解.初中阶段常见的因式分解方法有提取公因式法,乘法公式法(平方差公式和完全平方公式),分组分解法,求根公式法和十字相乘法.

十字相乘法适用x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解:先分解二次项,分别写在十字交叉线左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线右上角和右下角;然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数;每行对应二次三项式分解后的一个因式.十字相乘法的本质是多项式乘法法则的逆运算,将等式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq两边对调,便得到十字相乘法的运算法则x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

初中阶段因式分解的教学重点是求根公式法,因为用求根公式法分解因式是通性通法,思路简单,绝大多数高一新生更愿意、更擅长运用求根公式法解一元二次方程.十字相乘法适用范围相对较窄,而且配凑过程对思维要求较高,所以作为阅读材料引入北师大版初中数学教材.然而运用十字相乘法分解因式在讨论二次函数,解一元二次方程和一元二次不等式等方面举足轻重.高中阶段对学生运用十字相乘法能力要求的突然拔高和学生不够扎实的基础严重影响了“二次函数与一元二次不等式”的教学效果,因此有必要设置十字相乘法的衔接课程.由于大部分学生在初中阶段学习过十字相乘法,高中阶段要求掌握首项系数不是1 的二次三项式的因式分解和初高中阶段学习方法有较大差异等因素的影响,课程内容应该对初中知识进行梳理和加深.除了教学内容的衔接,教学方法也有必要进行衔接.学生可以通过对比初、高中视角下十字相乘法教学的差异,进一步了解初、高中数学教与学的方法的变化,帮助学生尽快调整和适应高中阶段的数学学习.

3 教学目标与教学重难点

3.1 教学目标

(1)理解十字相乘法的操作过程与运算本质;

(2)学会运用十字相乘法解首项系数不是1 的一元二次方程;

(3)了解十字相乘法的应用范围及拓宽数学视野.

(4)进一步了解初、高中数学教学与学习方法的差异,尽快做好调整和适应.

3.2 教学重点和难点

(1)教学重点:探索十字相乘法的运算本质及运用其解首项系数不是1 的一元二次方程;

(2)教学难点:十字相乘法运算本质的探索与发现.

4 “高中视角下的十字相乘法——以解一元二次方程为例”的课堂实录

追问:对比以上三种解法,你觉得哪种解法最优?为什么?

学生4:求根公式法最优,因为只要将系数代入公式就可以求出根来,就是计算麻烦一点.

学生5:我觉得十字相乘法最优,操作方便,计算量少(很多同学连声附和).

追问:有没有同学觉得配方法好?

学生6:配方法计算量太大了,容易算错,用配方法得到的结果就是求根公式的结果.

追问:用十字相乘法解一元二次方程真有那么大的优势吗?我们继续尝试.

问题2关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0有一根小于1,请选择合适的方法求出k的取值范围.

学生7:用十字相乘法,二次项x2分解为x·x,常数项2k+2=2(k+1)分解为(-2)·[-(k+1)],根据十字相乘法可知,原方程可以因式分解为(x-2)[x-(k+1)]=0,解得x=2 或x=k+1,所以k+1＜1,k ＜0.

追问:要不要试一下其他两种方法?

学生8:不用了,其他两种方法计算量太大了.

教师:既然十字相乘法这么好用,我们要好好研究一下.

问题3用十字相乘法解出方程x2+4x-12=0,并说明十字相乘法是什么?

学生9:二次项x2分解为x· x,常数项-12 分解为(-2)·6,记为,交叉相乘再相加等于一次项,所以方程可以因式分解为(x-2)(x+6)=0,这种方法就是十字相乘法.

追问:运用十字相乘法分解因式时,具体如何操作?

学生10:先分解二次项并分别写在左上角和左下角,再分解常数项并分别写在右上角和右下角,如果交叉相乘再相加的结果等于一次项,那么每行对应方程分解后的一个因式.

教师:从一般的角度看,因为二次项是x2,所以分解为x·x,假设常数项是pq且分解为p·q,记为,交叉相乘再相加等于(p+q)x,(p+q)x是方程的一次项,所以方程x2+(p+q)x+pq=0 可以因式分解为(x+p)(x+q)=0.

问题4十字相乘法是怎么想到的?

追问:为什么要分解二次项和常数项?为什么要交叉相乘再相加并判断相加后的结果是否等于一次项?这些操作的依据是什么?

学生11:例如方程(x-2)(x+6)=0,左边按照多项式乘法法则展开时,从左到右依次为x·x、x·6、(-2)·x、(-2)·6,一次项为x·6+(-2)·x,恰好对应了十字相乘法中首末项的分解和交叉相乘再相加等于一次项的操作.

追问:对于(x+p)(x+q)=0,也有这种规律吗?大家动手确认一下.

追问:我们通过多项式的乘法法则确认了十字相乘法的操作依据,你觉得十字相乘法分解因式的本质是什么?

学生12:是多项式乘法的逆运算,x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

问题5十字相乘法可以解二次项系数不是1 的一元二次方程吗?

学生13:可以,刚才已经用十字相乘法解出了方程5x2+107x+140=0.

追问:你怎么知道刚才分解的结果是正确的?我们初中只学过用十字相乘法因式分解二次项系数是1 的二次三项式.

学生14:将因式分解后的式子展开,看是否与原来的式子相同.展开(x+20)(5x+7)=0 得到x·5x+x·7+20·5x+20·7=0,所以十字相乘法可以解二次项系数不是1 的一元二次方程.

追问:那只能说明十字相乘法可以解这个方程,换个方程还能用吗?例如2x2-7x+3=0.

学生15:二次项2x2分解为x·2x,常数项3 分解为(-3)·(-1),记为,交叉相乘再相加等于一次项-7x,所以方程可以因式分解为(x-3)(2x-1)=0,展开(x-3)(2x-1)=0 后可以得到2x2-7x+3=0.

追问:通过这两个例子,能说明十字相乘法可以解二次项系数不是1 的一元二次方程吗?

学生16:要看这一类问题是否都能用.

追问:对于二次项系数不是1 的这类一元二次方程,如果能用十字相乘法因式分解,应该会分解成什么样子?

学生17:(ax+b)(cx+d)=0.

追问:它是由哪个一元二次方程分解出来的?

学生18:将(ax+b)(cx+d)=0 展开得到acx2+(ad+bc)x+bd=0,所以acx2+(ad+bc)+bd=(ax+b)(cx+d),可以用十字相乘法表示:.

教师:依据多项式乘法的逆运算,我们知道了二项式系数不是1 的一元二次方程依然可以用十字相乘法求解.请运用十字相乘法解下列方程:

(1)x2-3x-4=0;(2)x2-9=0;

(3)x2-6x+9=0;(4)x2-(2k+1)x+k2+k=0;

(5)2x2-x-3=0;(6)-3x2-4x+4=0;

(7)ax2+(a2-1)x-a=0;(8)a3x2+(2a-a2)x-2=0.

问题6在前面的探究过程中我们发现,十字相乘法在因式分解时具有较大的优势,那是不是意味着十字相乘法可以解所有的一元二次方程?

教师:请解出下列方程并尝试回答问题:(1)x2+6x+10=0;(2)3x2-6x+2=0.

学生19:方程(1)因为没有根所以无法因式分解,更不能用十字相乘法因式分解;方程(2)无法将首末项分解成满足“交叉相乘再相加等于一次项”的情况,不能用十字相乘法,但可以用配方法或者求根公式法求解.

追问:什么样的一元二次方程可以用十字相乘法因式分解求解?

学生20:具有acx2+(ad+bc)x+bd=0 的形状.

问题7:十字相乘法除了能因式分解二次三项式,还有其它的应用吗?

学生21:应该可以解二次以上的多项式.

追问:这个一元四次方程x4-5x2+4=0 可以用十字相乘法解吗?

学生22:x4-5x2+4=(x2-1)(x2-4)=0,x=±1或者x=±2.

追问:这个二元二次方程6xy-3y+8x-4=0 可以用十字相乘法解吗?

学生23:6xy-3y+8x-4=(2x-1)(3y+4)=0,或者.

追问:为什么这两个方程都能用十字相乘法因式分解?

学生24:把等式左右两边的式子对调位置,(x2-1)(x2-4)=x4-5x2+4,(2x-1)(3y+4)=6xy-3y+8x-4.

学生25:多项式乘法法则的逆运算.

5 课堂小结

(1)十字相乘法的本质是多项式乘法法则的逆运算,可以因式分解形如“acx2+(ad+bc)x+bd”的多项式,而且有较大优势.

(2)十字相乘法因式分解的操作过程为:先分解二次项并分别写在左上角和左下角,再分解常数项并分别写在右上角和右下角,如果交叉相乘再相加的结果等于一次项,那么每行对应方程分解后的一个因式.

(3)十字相乘法不局限于因式分解二次三项式.

6 教学反思

数学教学的本质是帮助学生解决“是什么?为什么?变成什么”的问题,这也是基于核心素养的课堂教学所倡导的,符合人类认识客观世界的规律.本节课通过七个问题的引领、多个追问的逼近、学生的自主探索和师生的良好互动,帮助学生理解和掌握三大重点内容:“什么是十字相乘法?十字相乘法是怎样来的?十字相乘法有哪些应用?”十字相乘法应用了两个多项式乘法运算的逆运算,这种运算不局限于二次三项式的因式分解,作为基本运算规律,它应该有更广阔、更多样的应用,这也体现了知识的根本性:越是根本的知识,应用范围就越广.“问渠哪得清如许,为有源头活水来”,只有学生真正了解知识的来龙去脉,才能更好的应用知识和发展素养.

数学擅长把复杂的问题简单化,把有规律的问题概括化,把本质相同的问题抽象化.十字相乘法就是一种被概括、抽象后得到的方法,它能把复杂的因式分解问题简单化(包括含参数的情况).但只能对其适用的问题起到简单化的作用,如果方程没有根,或者不容易识别出根的情况,则需要考虑求根公式法等其它方法.因此数学方法具有适用范围,方法的优劣因问题而异,学生可以通过这节课意识到“不但要学习数学工具,更要灵活应用数学工具”,现实生活中解决问题的过程何尝不是如此.

由于初中阶段学生知识和能力的不足,教师对十字相乘法的教学缺乏探究性的引导、本质性的深入和推广性的应用,甚至有教师用“教科书规定这么操作的”简单粗暴地回复学生的疑惑.与初中相比,高中数学教学更注重学生思维能力的培养,因此教师需要掌握数学内容的本质,结合学生的实际创设合适的情境,递进式地提出引领学生思考的问题,借助追问深挖和“逼出”知识的本源,帮助学生在思考和交流中形成和发展数学核心素养.初中的不足为高中开展十字相乘法的深度学习提供了有利的条件,“高中视角下十字相乘法”的学习为学生提供了认识初、高中数学教与学差异的机会,也帮助学生做好知识和方法过渡的心理准备.