单元视域下数学核心素养的教学与思考——以“三角变换”为例

南京航空航天大学附属高级中学(210000)吴如光

数学学科核心素养是新时代高中数学课程目标的集中体现,更是数学教学育人的价值追求.数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析,六大核心素养既互相独立,又互相交融,是一个有机整体[1].近年来,素养导向的单元教学设计受到一线高中数学教师的关注.单元教学设计是指以教材为基础,用系统论的方法对教材中“具有某种内在联系性”的内容进行分析、重组、整合并形成相对完整的教学单元,在教学整体观的指导下将教学诸要素有序规划,起到优化教学效果的教学设计[2].基于核心素养的数学单元是“核心素养→课程标准→单元(主题)→课时教学”规划链环上的整体设计,教育目标是从“知识育人”走向“素养育人”.本文以“三角变换”为例,围绕素养目标的析出、知识“大背景”的挖掘、运用逻辑推出新命题、注重例题习题教学等整体把握与实施策略,和读者交流.

1 整体把握课标教材,析出数学核心素养

“三角变换”是新编苏教版教材必修二第10 章内容[3],单元目标在新课程标准一级主题“函数”和二级主题“三角函数”下,主要包括两角和与差的余弦、正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式和三角变换公式的应用[1].三角变换是三角函数、平面向量内容的后置单元,是研究周期现象的延续和深化.

从知识体系的构建过程来看,三角变换公式是基于三角函数定义推出的逻辑结论,并且三角变换公式之间存在着紧密的逻辑联系,由此看出本单元是学生进行数学发现的理想素材.再者,三角变换公式的推导本质上是一种三角函数运算,可以看出一种演绎的论证方式.所以,本单元的教学体现了公理化方法和推理论证在数学研究中的作用,可以析出本单元要落实的重点培育的数学核心素养是逻辑推理和数学运算.学生只有掌握了数学运算和逻辑推理方法,才能真正培养起数学关键能力,体现出“用数学思维来思考世界”的方法性目标.

基于以上观点,要实现数学方法素养育人目标,必然要整体理解课程标准和教材,寻找逻辑推理、数学运算素养的固着点、孕育点,注重各个课时之间逻辑关系的把握、每个课时内部设计节点的自然联结.数学方法素养的培养要经历充分的数学活动过程:发现和理解本单元研究对象的数量关系或图形性质,建立二者之间的因果关联,形成数学命题(三角变换公式),再对数学命题按照逻辑推理方法进行说理或论证,理解三角变换命题体系,理解三角变换公式,依据运算法则和运算程序解决问题,严谨求实的表达与交流.基于本单元“总—分”的逻辑关系,提炼出逻辑结构图1.

图1 三角变换逻辑结构

2 挖掘数学本质,探寻知识体系大背景

三角函数本质上是描述周期变化的数学模型,所以三角变换的单元教学要放在对周期现象进行研究的大背景下进行.三角变换教学不只要教三角变换公式“是什么”、“怎么样”,还要追“根”溯“源”挖掘三角变换公式的背景:在教材的章引言中给出了一个真实的背景材料,从周期运动合成的角度提出三角变换大问题,这正是对知识结构诠释“为什么”的大背景.教材又通过“连接”内容,给出了正弦函数、余弦函数叠加的问题结论,构建了一个相对完整的数学发现和应用过程,有助于学生从整体上理解知识.

所以,在本单元的教学中要利用这个周期叠加情境引导学生感悟数学本质,清本溯源,让学生经历完整的发现和提出问题、分析和解决问题的过程,实现对三角变换公式真正意义上的理解.本单元的起始课,立足章引言的“大背景”,要体现出三角变换公式的基本思想、数学本质和学生的思维起点,结合三角变换的单元起始课“两角和与差的余弦”,整体把握问题情境设计:

情境一.三角函数是刻画周期运动的数学模型,在现实应用中,周期运动的叠加也是值得关注的课题.请同学们阅读教材第48 页,思考y=sinx+cosx为什么也是一个三角函数(它能化成y=Asin(ωx+φ)的形式)?

情境二.在“平面向量”中我们曾经遇到这样的一个问题:已知向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),尝试用不同的方法计算a·b,并比较两次计算结果,说说你的发现.

辅助问题1-1.cos(α-β)=?说说你的想法和依据.

辅助问题1-2.你能证明你的猜想吗?证明的思路从哪里寻找?

问题2.如图2,在直角坐标系xOy中,角α,β的终边与单位圆交于点P1,P2,其中0 ≤α≤β≤π,计算探索cos(α-β)的展开式.

图2

问题3.你能将问题2 中的结论一般化吗?对任意的角α,β,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ还成立吗?说说你的理由.

问题4.cos(α+β)能否用α,β的三角函数表示?说说你的想法.

这样的设计,突出了三角变换知识的“大背景”,通过创设情境一、二尝试回答“为什么要学”的问题,揭示了问题本质.其次,通过对情境问题的活动过程,学生初步获得了解决两角差余弦公式的知识、方法策略,将问题从特殊发展到一般,提出猜想,将研究过成程从粗放走向精细,解决了“怎么学”的问题.再者,通过问题串1、2、3,引导学生积极参与,提出命题、尝试论证、归纳推广,再利用化归思想获得新命题,突出“学什么”的问题.

3 渗透逻辑思维方法,培养学生创新能力

三角变换公式是三角函数的逻辑结论,是训练学生逻辑思维能力的良好素材.逻辑推理包括两类:一类是归纳、类比,另一类是演绎.教师往往注重演绎推理能力的培养,对学生发展严谨有条例的思维品质起到了很好的作用,学生也习惯于解决(教师提出)问题,但是学生不会自己提出问题.所以在注重演绎推理能力的培养的同时,要突出归纳、类比推理的培养.学生掌握了类比、归纳的方法,就能够用已知探寻未知,尝试提出新的问题,提出问题的能力是创造性的体现.

比如在两角和与差的正弦课时的教学中,通过设计知识体系前后联系,突出逻辑关系的问题,启发学生思考和提出问题.

问题1.在上节课我们利用两角和与差的余弦公式求得了cos 75°,cos 15°的值,你能求出sin 75°的值吗?

问题2.sin 75°可以写成sin(45°+30°),分别用45°和30°的正余弦表示,当然也可以写成sin(60°+15°),用60°和15°的正余弦表示.你能将这个问题一般化吗?你能研究什么问题?请说说看.

问题3.请你推导sin(α+β)公式.

辅助问题3-1.前面学习的余弦公式和这个问题能联系起来吗?

问题4.你还能研究什么问题?不要急着推导,先说说你的猜想.

问题5.请你推导sin(α+β)公式.

问题6.你能说说cos(α-β),cos(α+β),sin(α+β),sin(α-β)的异同吗?

问题7.结合图3,这四个公式是什么关系?能由任意一个公式推出其它三个公式吗?

图3 两角和与差正余弦逻辑结构

以上问题串的设计,以知识生成为明线,以合情推理和演绎推理的方法渗透为暗线,将数学思想方法和数学核心素养融入其中.通过问题1、2,发展学生从特殊到一般的归纳能力,用“归纳”的逻辑方法提出新问题,再运用演绎的逻辑方法进行证明说理.问题4 注重类比的渗透,从sin(α+β)的研究过渡到sin(α-β),再结合问题6、7,将四个公式放在一起进行比较与观察,考查四个公式的深层逻辑关系.归纳和演绎只有在如此周而复始的相互转化过程中,才能弥补各自的缺陷,充分发挥其在探索真理过程中的方法论作用.实际上,从单元到课时的转化过程中,虽然变化的是知识,不变的却是思维的训练方式.在每一个课时的实际设计中都可以遵循这样的路径“考查特例——提出问题——证明说理——公式运用”,这应是本单元一以贯之的原则,反反复复的训练学生的思维,让学生真正掌握了逻辑推理的方法,相信逻辑的力量,做到合乎逻辑的思考,崇尚理性,追求真理.

4 注重例(习)题教学,促进数学运算素养发展

三角变换公式本质上是三角函数运算,是用演绎的论证方式进行建构的,所以本章要立足学生数学运算素养的提升,就要注重教材例题、习题的教学.在前后课时中有逻辑的进行例题设置,凸显数学本质和数学方法的运用.有人说,运算是童子功,最能体现一个人的数学水平.实际上数学运算是高阶认知活动,涉及诸多心智技能运用:要理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,涉及运算程序,求得运算结果.反复经历这样的过程,才能优化学生规范思考问题的品质.通过列举两个例子的使用,探讨本单元例题教学.

首先本题的运算对象是三角函数,运算法则是同角三角函数关系和两角和与差的正弦公式,工具性知识是多元的,难度是运算思路的探寻和最终运算方法的选择.教学中,先让学生尝试思考,不要急于往“拆角”上引导.学生一般会出现两类思路:一类是将按照公式展开,得到方程再联立sin2α+cos2α=1 解方程组.另一类是将所求的角α拆成(α+β)-β,转化成两角差的正弦公式.此时,教师做的才是要引导学生比较这两种解法的优劣,体会到“拆角”的简捷和思路的合理性,同时还渗透了化归思想.这样对运算方法的选择就“众望所归”,学生在后面的例题和习题的解决中,会自然的运用拆角的方法解决问题.

本题考查学生对两角和与差正切公式的正用、逆用,逆用的前提是对公式的结构有深刻的理解,能够整体把握代数特征,也是训练学生发散思维的良好素材.

联想1:15°=45°-30°或者15°=60°-45°;

联想2:1=tan 45°,可以将左边的分式还原为两角和的正切;

这道题目的解法是多样(甚至学习了二倍角公式后视角更广)的,各种运算思路、运算方法贯穿其中.可以让学生从不同角度欣赏本题的方法,但是最后还要进一步挖掘这些解法的本质(算理),也就是多种解法的一致性——将非特殊角的计算转为特殊角的计算,体现了化归思想的运用.这样发展学生的数学运算素养,形成高阶认知力,获得对数学的深刻理解.

总之,素养导向的数学单元教学,能够有效地促进学生对知识的整体建构和深度学习,为有效提升学生数学核心素养提供“学力场”.笔者认为,理论研究是开展单元教学的源头,理解数学是开展单元教学的根本,课堂生成是开展单元教学的关键.一线教师要更新教学理念,追求学生发展的长远利益,单元教学大有可为.