实例教学法在一元二次方程教学中的应用——传播问题与一元二次方程

新疆乌鲁木齐市第五中学(830000)张琼

1 设计理念

2020年新冠病毒是全人类共同的危机,本节课通过对武汉和乌鲁木齐的实例分析,不仅使学生理解和掌握传播问题,还教导学生珍爱生命关爱健康,增强学生的防疫防控意识.为了实现目标,突破重难点,在教学过程中设计了:一引,一探,两实例,由简单到复杂,让学生逐步理解和掌握传播问题.通过实例:武汉和乌鲁木齐疫情,让学生体会新冠病毒传播过程中爆炸性增长,明白抗疫胜利的来之不易.

2 教材内容

本课选取人教版九年级上册第21 章“一元二次方程”第3 节第1 课时.实际问题与一元二次方程是九年级上期末考试常考知识点,本节课中,学生不仅要尝试将实际问题抽象出数学问题,还要建立数学模型对实际问题进行求解,并联系生活常识对解进行检验,本节课能充分体现数学联系实际.

3 学情分析

本节课利用一元二次方程求解实际问题,学生已掌握一元二次方程的解法.但因为学生程度一般,建模能力较弱,学生分析实际问题能力和数学建模能力还有待提高.

4 教学目标

知识与技能:经历建立数学模型求解传播问题的过程,掌握传播问题中的数量关系.通过对问题的求解和对实例的分析计算,让学生认识到方程的解必须进行检验,方程的解是要以实际意义为标准.

过程与方法:通过列一元二次方程解决病毒传播问题,培养学生“建模思想”和提高数学知识的“应用能力”.学生在分析武汉和乌鲁木齐新冠疫情并建立数学模型的过程中,进一步提高学生逻辑推理能力.

情感态度价值观:通过列一元二次方程解决实际问题,让学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,学会将实际问题转化为数学问题.在进行分析和计算中,感受疫情防控刻不容缓和不可懈怠,体会中国人民在大灾大难面前的爱国主义热情.对学生进行爱国主义教育,增强民族自信心和自豪感.

5 重点难点

重点:利用一元二次方程求解传播问题,理解传播问题中病毒源要参与两次传染.

难点:理解传播问题中的数量关系.

6 教学策略

教师先通过活动让学生感受到传染源会进行二次传染,然后通过过渡句进入本节课的重点:传播问题.通过求解传播问题,学生可以清楚的感受到病毒传播速度之快,体会疫情防控的重要性.接着利用实例展开对新冠疫情新的解读,通过自主探究和小组讨论,引起学生兴趣,学生在探究和讨论的过程中掌握传播问题,并对学生进行爱国主义教育,增强学生的国家自豪感和民族自信心.让学生将已有的知识用于实例中,通过数学建模解决实际问题,符合学生的认知发展,是本节课的关键.

7 教学过程

7.1 创设情景

经过四十余天的防控封闭隔离期,乌鲁木齐市人民团结一心、众志成城,成功击退新冠疫魔.乌鲁木齐为什么紧急按下暂停键?为什么政府要求大家居家隔离和核酸检测?今天的数学课,我们一起重新审视这些问题.

问题1有一个人患了流感,平均一个人一轮传染3 个人,一轮传染后有()个人患了流感,再经过两轮感染共有()个人患了流感.

设计意图因为学生的程度一般,先以具体的数字,进行分析和计算,为后面设未知数做铺垫.降低了难度,缩短了学生理解难度,符合学生的认知规律,助学生树立了自主探究的信心.

活动1情景再现

教师作为“病毒”进入人群,教师触碰到一名学生时,代表这名学生已被感染.第一轮,教师触碰了三名同学,三名同学起立.第二轮,让被感染的每位同学在触碰其他坐着的三名同学,又站起来九名同学.

这时,教师提出问题:同学们,在第二轮传播中,老师是突然恢复健康了么?还是被隔离了?在第二轮传染中,我们忽略了什么?

学生:还有老师,老师还会参与传染.

教师:非常好.老师作为病毒的源头,也要参与第二轮传染.

教师触碰另外3 名同学,使之起立.

教师:回到黑板上的问题,我们来填填空.

为了能够目标明确,思路清晰的进行探究,我精心设计以下问题:一开始有几个感染流感?一轮传播后,有几个人得了流感?第二轮传播后,又有几名同学被传染了流感?两轮传播后,共有几人得了流感?

设计意图通过活动,在逐层深入问题的引导下,让学生发现在第二轮传染时,教师也参与了第二轮传染,又使三名同学“感染”.活动进行到这里,可谓是“一石激起千层浪”,学生的思维再次活跃,通过相互讨论使得更多的学生理解为什么教师会参与到第二轮传染.在计算时学生很容易得到1+3+3(1+3)=16.在活动中,即提高了学生参与的热情,又形象的解读了问题1.

7.2 探究传播问题

教师:“同学们,流感爆发的时候我们很难准确知道一天中有多少人得了流感,但我们可以快速统计出一共有多少人得了流感去了医院.现在题目发生改变,我们一起看看要怎么办?”

问题2有一个人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?

教师:同学们是否见过一道类似的问题,你可以利用它的方法吗?

学生:因为不知道每轮传染中平均一个人传染了多少个人,可以先设未知数x,这就和问题1 是一样的.

教师:说的非常好,同学们,这个未知数要怎么设呢?

学生:设一个人平均传染了x个人.

教师:这里的传染,要注意‘轮’这个过程,像刚刚同学这样设,我们是不是也可以理解为平均一个人2 轮传染了x个人?

学生:不对,应该这样设:每轮传染中平均一个人传染了x个人.

教师:非常严谨,很棒!

设计意图学生很容易忽视设未知数环节,教师将关键之处点到,规避学生犯错.

活动2自主探究

提问:①题中有哪些数量关系?②如何理解两轮传染后共有121 人患了流感?

将问题1 变形:开始有一个人患了流感,平均一个人一轮传染x个人,一轮传染后有()个人患了流感,再经过两轮感染共有()个人患了流感.

列方程:1+x+x(1+x)=121

解方程:x2+ 2x-120=0,(x-10)(x+ 12)=0,x1=10,x2=-12

教师:同学们,若x2=-12,意味着一个得了流感的人进入人群中,每轮会治愈12 个人.这样可能吗?

学生异口同声:不可能,x2=-12 要舍去.

教师:这里更改为x1=10,x2=-12(舍).答:平均一个人一轮传染了10 个人.

设计意图此时大部分学生已经可以通过传播问题中的数量关系列一元二次方程求解传播问题.教师利用幽默的语句让学生注意到解方程后要检验结果符不符合题意或实际情况,要把不符合实际情况的根舍去.

教师:如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?

观察:填表格

第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数

方法1:以1 人为传染源,3 轮传染后的人数是:1+x+x(1+x)+x(1+x+x(1+x))=(1+x)3=1331.

方法2:以第2 轮传染后的人数121 为传染源,传染一次后就是121(x+1)=1331.

学生不难发现,第3 轮传染后人数是(1+x)3,同理可推出第n次传染后,感染人数为(1+x)n.

设计意图此时,有些同学会惊叹流感传播速度之快,在课堂中再一次调动了学生的学习热情.有了问题1 的铺垫,学生很快就发现问题2 中隐含的数量关系,突出了本节课的重点:利用一元二次方程求解传播问题.

7.3 新冠疫情案例分析

案例1冬天武汉新冠疫情爆发

2020年1月23日武汉正式封城,确诊病人为830 人(不计还未检测出的病人).国家卫健委高级别专家组成员曾光说:“如果晚封城几天,将会再出现两三个武汉”.

教师:同学们,还未进行封城和居家隔离时,在武汉平均每位患者每1 天传染6 人[1],现在我们尝试算一算,如果武汉晚封城2 天,让病毒继续肆无忌惮的传播,会有多少人感染?

小组讨论,进行展示.

学生板书:解:830(1+6)2=40670(个)

答:如果武汉晚封城2 天,会有40670 人感染.

学生:这么多人,太可怕.

教师:看到这组数据,我们发现如果晚封城2 天,感染人数会暴增到4 万人.武汉政府下达1月23日武汉封城的指令是正确的,也是坚决的.直到3月18日,湖北清零,意味着第一轮疫情阻击战胜利.

设计意图通过实例,培养学生爱国意识,并为后面分析乌鲁木齐新冠疫情做铺垫.

案例2夏天乌鲁木齐新冠疫情爆发

新冠病毒潜伏期大约为5 天[1],以2.5 天为一轮,乌鲁木齐疫情爆发时共有837 人感染(数据来源:阿里健康).乌鲁木齐政府在发现确诊病例时,立即采取措施,进行封城,有效降低了病毒传播速度.同学们算一算乌鲁木齐在这两轮传染中平均一个人每轮传染了人?

自主探究:(1)题中有哪些数量关系?(2)提出求解方案.

解设每轮传染中平均一个人传染了x个人1 +x+x(1 +x)=837,(1+x)2=837,1 +x ≈ ±29,x1≈28,x2≈-30(舍)

答:每轮传染中平均一个人大约传染了28 个人.

学生:不可思议,太可怕了.

教师:看到这个数据,我们来算一下,如果乌鲁木齐晚封城两天,会增加多少病例?

学生:837×28=23436 个人.

设计意图通过乌鲁木齐的案例对学生进行爱国主义教育,增强民族自信心.

7.4 小结

教师:同学们,今天我们学习了传播问题,你从这节课收获了什么?

学生:早发现,早治疗,早隔离,可以有效阻断病毒传播.

学生:被感染的人如果没有隔离和治疗,会不断的传染.

学生:疫情刚爆发时,越早进行居家隔离越能阻断疫情传播.

教师:同学们总结的很棒.在求解传播问题时,我们要注意传染源会进行二轮传染.

设计意图结尾处的学生发言即是对传播问题的小结,也是学生对这场抗疫新冠病毒的斗争换一个角度的认识.

8 教学反思

8.1 创设情境,导入新课

贴近学生生活的导入语,既缩短了教师与和学生的距离,又缩短了数学和实际问题的距离,吸引学生的注意力.以问题1 为引例,通过活动对传播问题中传染源会进行2 次传染进行展示,缩短了学生与知识的距离,符合学生的认知规律,学生更容易理解和接受,树立了自主探究的信心.

8.2 合作探究,探究新知

过渡语,将问题2 变得更加贴近实际生活,提高学生兴趣.通过师生对话令学生注意到“设”的完整性.问题2 与问题1 进行类比,观察异同点,填写填空题,体会数量之间的关系,从而突破教学难点.

8.3 热点问题,实例分析

新冠肺炎的爆发牵动着全球的目光,学生经历过了乌鲁木齐新冠疫情爆发,通过对实例的分析,提高了学生的学习积极性,从另一个角度对新冠疫情防控工作进行解读,帮助学生更加全面的认识到新冠疫情,认识到居家隔离的重要性,认识到自我防护的重要性.实例分析,使学生感同身受的理解传播问题.通过分析这两场抗疫阻击战的胜利的来之不易,进行爱国主义教育,增强学生的国家自豪感和民族自信心.

8.4 升华主题,爱国热情

在小结部分,学生不仅可以从数学方面对本节课进行总结,还可以谈论自己对新冠疫情新的认识.每个环节都对学生进行了爱国主义教育,使得本节课既是对学生建模能力的培养,也将思想政治工作贯穿教育教学的全过程.

总体而言，本节课贴近学生生活的导入语和过渡句,既缩短了教师和学生的距离,又缩短了数学知识和实际问题的距离.不但可以吸引学生的注意力,还对后续内容进行铺垫.通过导入语,学生快速进入学习状态,同时对本节课探究的内容也有了大致认识.真实的数学课堂教学要做尊重学生的认知发展,通过活动和自主探究培养学生的分析问题和数学建模能力.我们倡导的是主动探究、勤于思考,摒弃的是通过大量习题加以巩固“死记”题型的灌输式教学.本节课从一个简单的活动展开,逐步深入探究传播问题,并通过对实例分析,展开探究和讨论.在这个过程中,学生是充满兴趣的,不断前进的.教学过程的每个环节都对学生进行了思政教育;用润物细无声的方式增强了学生珍爱生命关爱健康意识;用实例教学法增强了学生的国家自豪感和民族自信心,将思想政治工作贯穿教育教学的全过程.