框架谱Beurling维数和密度的连续性

刘 春 苔

(武汉轻工大学数学与计算机学院，武汉 430023)

指数型框架，亦称为Fourier框架[1-2]，具有广泛的应用[1-3]，其定义如下．

定义1设μ是d中有限Borel测度，Λ是可数集.若函数族{e2πi〈λ，x〉:λ∈Λ}是L2(μ)中的框架，则称μ是L2(μ)的Fourier框架谱测度，且称Λ为测度μ的一个Fourier框架谱.特别的，若E(Λ)为L2(μ)的正交基，则称μ为谱测度，且称Λ为μ的一个谱．

为行文方便，Fourier框架谱测度和Fourier框架谱分别简称为框架谱测度和框架谱.如何确定一个测度是否为框架谱测度(或谱测度)是一个非常吸引人的问题，已经涌现大量结果(参见文献[3-10]及它们所提及的文献)，本文关心框架谱测度和谱测度的另一个问题:确定框架谱或谱的结构.对于此问题，常用的工具是Beurling密度和Beurling维数，其定义如下.可数集Λ⊂d的α阶上、下Burling密度定义为

这里，B(x，r)为球心在x，半径为r的闭球，#E表示集E的势.称数

为集Λ的上Beurling维数，记为dimBΛ．

当d=1，μ为[0，1]上的Lebesgue测度时(此测度为谱测度)，可数集Λ是否为L2(μ)的框架谱可用1阶上下Beurling密度来刻画[11-13].对于分形测度，Jorgensen和Pedersen[14]证明了四分Cantor测度是谱测度;对于由自仿迭代函数系所确定的自仿测度μ，文献[4]证明了在一定条件下，框架谱的Beurling维数等于此测度支撑集的Hausdorff维数.那么此结论能否推广到谱或谱测度呢？很不幸的是，对于四分Cantor谱测度而言，这个答案是否定的:它存在上Beurling维数为0的谱.一个有趣的开问题是:此谱测度谱的上Beurling维数和Beurling密度是否具有连续性.本文利用构造法，对一类框架谱测度(或谱测度)，证明了其框架谱(或谱)的上Beurling维数和上Beurling密度具有连续性.如下为主要结果，其中d中的距离和测度δ0在下节给出．

定理1设μ为d中一个框架谱测度(或谱测度)，Λ为其一个框架谱(或谱).如果0≤α≤dimBΛ，且s满足:若α=0，则s=∞;若0<α

1 预备知识

直线上原点的Dirac测度记为δ0.从此节开始，均假定μ为d上非原子的Borel测度，且记ρ=μ×δ0.设a=(a1，…，ad)，b=(b1，…，bd)∈d，定义

d(a，b)=max{|ai-bi|:1≤i≤d}.

闭球B(x，r)={y∈d:d(x，y)≤r}.定义μ的Fourier变换为

引理1[15]可数集Λ为μ的谱当且仅当对任意ξ∈d有

引理21)若μ是框架谱测度，Λ={λn}为其一个框架谱，则ρ为框架谱测度，且对任意{an}⊂R，集Λρ={(λn，an)}均为ρ的框架谱．

2)若ρ是框架谱测度，且有谱Λρ={(λn，an)}，则μ为框架谱测度，且Λ={λn}为其一个框架谱．

3)若将框架谱测度和框架谱分别替换为谱测度和谱，上述结论仍成立．

证明设h(x，y)∈L2(ρ)，那么y=0.从而f(x)=h(x，0)∈L2(μ).注意到

这表明

设λ∈n，a∈，则

〈f(x)，e2πi〈x，λ〉〉L2(μ).

1)设A为μ的下框架界.那么对任意{an}⊂R，有

即下框架界条件成立.类似可证上框架界条件成立.从而ρ为框架谱测度，且Λρ为相应的框架谱．

2)设A为测度ρ的下框架界，那么

即下框架界条件成立.类似可证上框架界条件成立.从而μ为框架谱测度，且Λ为相应的一个框架谱．

3)注意到对任意a，η∈，

条件μ为谱测度，Λ为其一个谱,等价于下面恒等式成立:

它等价于ρ为谱测度，Λρ为其一个谱．

引理3设Λ={λ1，λ2，…}⊂d，Λ′={(λn，an):n≥1}，其中诸an为实数，则对任意α≥0，有

证明当z=(x，y)∈d+1和r>0时，若(λn，an)∈B(z，r)，则an∈B(y，r).因此

#Λ′∩B(z，r)≤#{an}∩B(y，r).

则由上Beurling密度的定义可以导出所需结论．

下面均假定实数列{rn}满足

引理4设α>0和s∈[0，+∞]，令

(1)

其中k为满足rk≤r

证明对于n≥1，1≤j≤bn和m=0，1，定义

(2)

(1)式左边不等式成立.下证右边不等式．

所以，当y∈时，至多存在一个不小于k的整数(记其为n)，使得Γ(n)与B(y，r)相交非空.因此集Γ(n)∩B(y，r)的势不超过

当s=0时，取K=(r/log logr)α;当s∈+，取K=s·rα;当s=+∞时，取K=rαlog2r.直接验算，知若2j>K，则因此，倘若f(r)为题设所给，则有

#Γ(n)∩B(y，r)≤f(r)rα.

综上，对任意y∈，由{rn}的快速增长性，有

2 主要结论及其证明

本节将给出主要定理的证明，为此先给出3个引理．

证明令a2n-m=(-1)m2n，n≥1，m=0，1.记Γ={an:n≥1}，Λρ={(λn，an):n≥1}.注意到差分序列{a2(n+1)-m-a2n-m=2n}为严格单增序列，所以对于任意r>2，

于是当r充分大时，若n≥2log2r，则

|a2n-1|=|a2n|≥22log2r=r2>2r.

所以#Λρ∩B(0，r)<2log2r.设α>0，那么

故由引理3知dimBΛρ≤α.故dimBΛρ=0．

对于后一结论，设Λρ={(λn，an):n≥1}为ρ的一个(框架)谱，那么由引理2 2)知Λ={λn:n≥1}为μ的一个(框架)谱.注意到μ的(框架)谱是无穷集，故#Λρ=+∞.因此

所以后一结论也成立．

引理6设μ，ρ，Λ如引理5所给,且dimBΛ>0,则对于任意0<α

证明因为dimBΛ>0，所以当α∈(0，dimB(Λ))时有

(3)

因此存在实数列{rn}和d的点列{xn}使得

挑选{rn}的子列(不妨依旧记为{rn})，使之满足引理4的要求并且满足下述不等式，

其中cn为引理4所给.令an，j，bn，f(r)和Γ(n)，Γ1亦为引理4所给.那么，

任取Λ∩(B(xn，rn)B(xn-1，rn-1))中含有2bn个元的子集，并记其为Λ(n)={λin，1，…，λin，2bn}.设I=N(∪n，j{in，j})，并令Γ2={ak:k∈I}为中任一上Beurling维数为0的点列．

由引理4知，

因此Λρ(n)⊂B(zn，rn).所以

从而

综上，当s为正实数时，引理结论成立.当s=0时，上述下界证明表明当β<α时，

而当s=+∞时，上述上界证明表明当α<β

所以dimBΛρ=α.因此Λρ即为所求.

当n充分大时，有

故Λ∩(B(xn，rn)B(xn-1，rn-1))的势不小于

(4)

因此当0

所以dimB(Λρ)=α.证明完毕.

定理1的证明定理的结论分为三种情形:α=0;α∈(0，dimBΛ)和α=dimBΛ.而这三种情形分别被引理5、6、7所证，所以定理结论成立．