在课堂教学中融入数学文化的实践探究

陆一烽

关键词 课堂探究;数学文化;数学问题;理性思维

中图分类号 G633.6

文献标识码 A

文章编号 2095-5995（2021）12-0050-03

一、在课堂教学中融入数学文化的意义

作为教材的重要组成部分，数学文化是数学教学不可或缺的重要内容。中国传统数学文化，是一座取之不尽、用之不竭的宝藏，例如《九章算术》更相减损术、秦九韶算法、割圆术、杨辉三角、勾股定理、坐标法与吴文俊的机器证明等，都蕴含着深刻的价值观念与文化精神追求。《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出：“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动。”新课程标准倡导数学文化应融入课程内容，并通过学业水平考试与高考命题来考查学生对于数学文化的掌握情况。

实际上，在高中数学课堂教学中往往存在数学文化内容“好看而没有用”的现象。数学素养的核心是思维，要提升学生数学素养本质上就是发展学生的数学思维能力。因此，高中数学教学真正融入数学文化要基于课堂探究，以发展数学思维能力为前提;同时还需要让学生在经历用数学看待问题、分析问题、解决问题的过程中形成数学意识和积极的情感、态度、价值观。

二、在课堂教学中融入数学文化的实践

（一）试题呈现

2021年无锡高三数学质量检测卷第15题是一道以中国传统数学文化为背景的填空题。试题如下：

我国南北朝时期的祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，即祖啦原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等（如图1）。在xOy平面上，将双曲线的一支x²/4-y²=1（x>0）及其渐近线y=1/2x和直线V=0，y=2围成的封闭图形记为D，如图2中阴影部分。记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω，利用祖啦原理试求Ω的体积为_______。

该题文化气息浓郁，耐人寻味，对考查学生数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养有着积极的意义。但从阅卷情况来看，该题的市均分非常低，不到1分。通过对学生的调查，笔者发现学生解答该题时面临的困难主要在于：虽然高一时了解过祖暅原理，题目中也有祖咂原理的描述，但是在解题时不知道该如何运用。

（二）追根溯源

（三）课堂探究

既然教材留下了探究的空间，而学生又往往缺少自主探究的积极性，那么教师则应该做好引路人和合作者。笔者认为，在数学教学中，教师的一个主要作用就是要引导学生學会探究。

1.提出问题

在课堂教学时，教师要先明确探究的问题。以新版苏教版教材为例，“倒沙实验”表面上是让学生验证球体积公式，其实质到底是什么？在“倒沙实验”中，为什么要检验半径为R的半球体积等于底面半径和高都为R的圆柱，挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后的体积？这个想法到底是怎么出来的？怎样用祖暅原理证明这两个几何体的体积相同？

2.分析问题

师：祖咂原理的适用前提是什么？

生：是两个等高的几何体，并且这两个几何体在所有等高处的水平截面的面积相等。

师：我们想象这样一个场景，遥远的古代，数学家正在冥思苦想球体积的计算方法，正是因为古人不知道球体积公式，所以只能探索新的计算思路。这一计算思路应该建立在充分运用祖咂原理的基础上。

生：会不会想到构造一个与半球这个几何体等高并且任意水平截面积相等的一个几何体？

师：你的想象力太丰富了！大家继续想一想这是怎样的一个几何体呢？

生：这个几何体应该越往下，水平截面面积越大，越往上水平截面面积越小，直至0。

生：那这个几何体是不是就是那个几何体！那个底面半径和高都为R的圆柱，再挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后的几何体呢？

师：怎样可以严格地证明这两个几何体的体积相同呢？我们来试试吧。用一个水平截面去截这两个几何体，假设水平截面到底面的高为h，0≤h≤R，我们先来看这个水平截面半径为R的半球所得的截面是什么图形？

生：应该是一个圆面。

师：它的半径是多少呢？

师：太棒了！那么水平截面去截一个底面半径和高都为R的圆柱再挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后的几何体，所得的截面是什么呢？

生：还是圆面。

三、教学启示与反思

为什么一道本不难的题目得分如此之低？笔者尝试从心理学视角加以分析。从数学学习心理学角度分析，APOS的四个学习层次是合理的（如图3所示）。

“活动”阶段是学生理解概念的一个必要条件，丰富的数学文化背景是实施数学活动的良好载体。如祖咂原理中，学生通过取一摞书堆放在桌面上，轻推一下，发现这个几何体的形状发生改变，高度没有发生改变，所以能直观感受到体积也没有发生改变。在“倒沙实验”中，学生至少知道了半径为R的半球体积等于底面半径和高都为R的圆柱，挖去一个以上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥后的体积。但是活动所得的经验很多基于直观，并不深刻。“程序”阶段是学生对活动的思考，例如为什么这摞书的体积没有改变？在教材的“倒沙实验”中，为什么会构造这样一个特殊的几何体，来证明它的体积和半球的体积相等？这些都是学生对活动进行反思后，经历思维的内化后才能抽象出来的问题。“对象”阶段指通过前面的抽象认识到了概念的本质，如祖咂原理的探究中，学生终于认识到因为两个几何体在任意一个水平面的截面积相等，再加上它们的高相同，所以它们的体积才相同，这时祖咂原理在脑海里转化为一个具体的对象。所有经历的这些学习活动、程序、对象，最终和其他概念、规则、经验等在头脑中形成“图式”。心理学认为，以上过程一般不能逾越。这也从心理学上解释了为什么要重视数学探究？因为学生经过自己真正探究、理解过后的原理、概念、定理才能真正形成“图式”且被灵活运用。

因此，教师应在课堂中真正融入数学文化，通过数学探究活动，有意识地挖掘教材中的数学文化。对于学生在自主研究时有困难的部分内容，师生可以引导学生共同探究、积极思考、厘清脉络，这既有利于激发学生的数学学习兴趣，也有利于学生进一步理解数学知识，提升学生的科学精神。对于教学重难点，尤其是重要的数学概念、定理、方法，教师要通过数学探究等活动，拓展学生数学的思维活动，丰富学生的数学活动经验，帮助学生在生成概念、发现定理、探求证明上有所收获。在探究过程中，教师要以数学问题为核心，以分析问题为主线，以问题的解决为目标，引导学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界。

责任编辑：刘源