初中数学思想传授谈

毕宝清

摘 要：初中数学教学不仅是对数学知识进行教学，还是对数学思想方法的教学。文章作者认为，教师在教学中可从两方面入手：一方面，通过数学思想的渗透，启发、帮助学生发现和认识教科书中阐述的数学方法，使数学教学不是单纯的知识灌输，而是使这些方法成为分析问题和解决问题的有力工具，做到自然而然地掌握和运用;另一方面，通过对数学方法的掌握，进一步了解隐含于其中的数学思想，认识到具体事物的本质，从而逐步掌握科學的思想方法。

关键词：初中数学思考;方程思想;分类思想;数形结合思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）23-0051-02

初中数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。《义务教育数学课程标准（2011年版）》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”，突出数学思想方法的教学，是当代数学教育的必然要求。

数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它反映了数学的本质特征，是对数学概念、原理和方法的本质认识，是分析和处理数学问题的指导思想。初中数学学科具有其自身的思想方法，它所体现出来的数学思想主要是指方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类思想、集合思想、统计思想等。数学思想具有本质性、概要性、指导性的意义，是人们分析、解决数学学科问题过程中思维活动的导航器。数学方法是人们学习、应用数学知识的思维策略或模式。数学思想和数学方法有密切的联系，思想是内含的，方法是外显的，思想融于知识中，通过方法来表现，方法的内核是思想，它以思想为指导，又可升华为思想。数学思想和方法隐含于现成的结论和说明中，这就需要我们在教学中，不能只停留在对教材表现的结论和说明的表述上，不能只盯住解题、做题，而应向学生传授数学思想方法，提高他们分析和处理问题的能力。下面主要介绍初中数学中几种重要的数学思想和方法。

一、方程思想

所谓方程思想，是指在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的数量关系入手，找出相等关系，运用数学符号语言将相等关系转化为方程（方程组），再通过解方程（组）使问题得以解决。方程思想是中学数学中非常重要的数学建模思想之一，其应用十分广泛。解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数;其次，适当选择一个或几个未知量用x（或y， z……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系;再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。

例1：在直角三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线交BC于点D，且CD=3，BD=5，∠C=90°，求AC的长。

教师通过此题可以向学生介绍，如何利用勾股定理列方程，即传授方程思想。

又如，一个角的余角比它的补角的1/3还少20°，求这个角。

解析：先设这个角为x 度，则根据题意，得到关于x 的方程：

90°﹣x + 20°=1/3 （180°﹣x ）

解得 x=75°。

运用方程思想，这类问题就会变得简单明了。

二、分类思想

所谓分类思想，一般是指解决问题时，将错综复杂的若干问题，按逻辑学规律，将问题逐一梳理规划，排列分类，采用不同的方式分析研究的一种正向思维。

在运用分类思想处理问题的关键是把握分类的标准，保证分类的科学性和合理性，分类要达到互斥、不漏、不重、最简的要求。

运用分类思想解题的过程中，要同中求不同（一个命题分成几种不同的类型）;不同中求同（几种不同类型的研究结果综合成命题的一个完整答案）。

在解题时，根据已知条件和题设的要求，分不同的情况做出符合题意的严谨、周密的解答。

例2：已知三角形的周长小于13，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（      ）。

A.2个      B.3个      C.4个      D.5个

分析：本题是要考查分类思想方法，解题中要对周长小于13的整数分别讨论，同时还要注意隐含条件“三角形两边之和大于第三边”，从而根据不同情况对问题做出全面解答，结果是以5、4、3和5、4、2及4、3、2为边的三角形符合条件，故选B。

在分类的时候，教师应鼓励学生按多种类别分类，并进行讨论交流，这样，一方面可给学生提供主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态;另一方面可培养学生思维的灵活性，加速体现分类的思想方法。在平时的训练中，我们要多通过这类题向学生传授分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。

三、数形结合思想

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕数与形展开的。初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图像、曲线等形象的表达式。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”与直观的图像“形”结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化。数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，化形象为直观，从而解决数学问题，这是一种重要的数学思想方法。数形结合思想是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用。