普通高中数学“高立意、高思辨、高互动”教学探索

王永庆

摘  要：在普通高中新课程新教材实施与教学改革视野下，高中数学教学要想有效落实“立德树人”根本任务、发展学生核心素养，就需要在新课程新教材实施中凸显“高立意、高思辨、高互动”教学特点。“高立意、高思辨、高互动”教学的实现，需要教师在课堂教学实践中，从较高的教学立意上调动学生学习积极性，渗透数学文化;抓住学生数学学习中较高层次的错误，引导其思考、探究、反思，进行思辨分析，让学生逐渐养成借助直观理解概念进行逻辑推理的思维习惯;与学生在高阶思维层面进行“对话”，并在主题活动背景下进行互动合作等。

关键词：高中数学教学;高立意;高思辨;高互动;生本理念

2020年6月，教育部发布了《普通高中课程方案（2017年版2020年修订）》和各学科课程标准，给予普通高中在新课程新教材（以下简称“双新”）实施的方向性指引。依据新课标，不同类型普通高中需要结合自身实际与学生发展需求，进行学科教学探索。上海市普通高中非统编数学教材（以下简称“新教材”）根据教育部颁布的课程标准（2017年版）编写，并经国家教材委员会专家委员会审核通过，自2020年秋起在上海各高中全面实施。新教材为高中数学教学活动提供了学习主题、基本线索和具体内容1，为提升学生数学学科核心素养、落实“立德树人”根本任务提供了良好载体。作为上海市第一期、第二期课程改革实验校，上海市上海中学在20余年的创新素养培育实践研究基础上提出“高立意、高思辨、高互动”（以下简称“三高”）的教学模式，指向课堂教学，对课堂生成过程中的教学立意、思辨方式、互动形式提出较高要求。实践证明，“三高”教学为资优生的进一步发展提供了良好的土壤。在新的课程改革背景下，如何突出数学学科本质，在新课程新教材实施中把握“三高”的数学教学要点，并创造性地进行课堂教学实践，是值得研究者及一线教师关注的重要课题。

一、“双新”视野下高中数学“三高”教学的内涵要点分析

1.“双新”视野下数学课程标准有关“三高”教学的要点解读

2001年启动的课程改革提出了三维教学目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，课程目标设置的三维目标是一种并行结构。2 2013年教育部启动普通高中课程修订工作，凝练了学科核心素养，一些学者如李艺1、吕世虎2 等把学科核心素养构建了多个层面，基于学科核心素养的水平划分，提出以层次结构替代并行结构构建数学核心素养体系，并在此基础上建构课程目标体系。新课程凸显了数学教育目标上的高立意变化：更加关注学科本质和人的发展。

2019年，教育部发布的《中国高考评价体系》依据高校人才选拔要求和国家课程标准，明确了“一核、四层、四翼”三部分内容，回答了“为什么考”“考什么”与“怎么考”的问题，指出考查要求要体现基础性、综合性、应用性、创新性，其中创新性要求可以概括为三个方面：敢于质疑和批判的思维能力、自主决策并发表见解的能力和独立自主设计方案的能力。3 而数学核心素养的水平划分可以以层次化的结构构建学生素养发展体系。本源是知识，以知识的理解作为逻辑起点，能够将知识迁移到数学情境、现实情境、其他学科情境中去解决问题;能够提出问题，对知识进行拓展，形成数学思维。4可见，新课程凸显了数学教育内容上的高思辨变化：关注学生的数学思维能力培育。

如何实现从理解到迁移，再到创新，从而达成发展学生数学核心素养的目标？这是一个从课程设计到课堂教学实现的关键问题，需要师生的交流与互动，这也是新课程凸显师生“高互动”的特点所在。在课堂教学中，教师要从体现核心素养的四个方面（情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思）进行有效突破，关注学生的知识、能力、思维与情感态度，设计具有一定挑战性、障碍性和开放性的问题，以促进在不同学习阶段的学生核心素养的达成。数学新课程要求的落实，需要从知识的高立意背景出发，通过高思辨的课堂对话，提升学生能力，发展高阶思维，以高效互动的教学形式，促进学生交流与反思，内化知识与方法，提升数学素养。

2.“双新”视野下上海高中数学新教材“三高”教学要求分析

新教材依据教育部发布的《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“课程标准”）编制。新教材较之上海“二期课改”教材，偏向于数学知识发生、发展过程的再现，揭示了数学知识的生成，意图从一定程度上激发学生创造与发现的灵感。新教材在阅读、探究、编写主线、数学建模等部分均体现了需要“三高”教学的驱动。

新教材的例习题和“探究与实践”“课后阅读”等专栏中包含各种热点和重大主题教育的内容，体现育人功能。许多章节介绍了数学史的相关内容，既体现人类文化知识的积累和创新过程，也帮助学生理解和掌握相关数学知识。新教材从多处（如“探究与实践”“课后阅读”“拓展与思考”等）渗透数学探究内容，突出“问题”作为数学核心素养培养的重要载体;新教材将“函数”“代数与几何”“概率与统计”三个主题作为教材编写的主线，形成层层递进的章节设计，体现整体性与连贯性，凸显高立意的要求。新教材注重“从特殊到一般，再指导特殊”的认识论规律，按照课程标准不涉及“原命题、逆命题、否命题与逆否命题”内容，而引入反证法，提升学生逻辑推理素养，体现了高思辨的特点。新教材中對数学建模活动的教学，强调活动性、探索性和综合性，在过程中不断提高学生分析问题、解决问题以及综合应用数学知识的能力，充分激发学生的创新精神和创造意识，促进高互动的生成。

要想利用好新教材，发挥新教材引领作用，需要教师具有“高立意、高思辨、高互动”的教学风格。首先，教师要有高立意的眼光，才能从高立意的视角引导学生。教师要挖掘教材所体现的背景和思想，对教材的各个章节思考其立意、地位和作用，核心概念的教学价值及其在数学发展过程中的重要影响;其次，教师要开展高思辨的教学，对教材内容进行深刻理解和充分思考，使学生对知识的掌握从理解跃升到迁移，再到创新;最后，教师要激励学生高互动地表达与交流，培养学生的互动合作精神与团队意识，并适时反思。

在新的高考评价背景下，评价是为了更好地教与学。在日常的教学活动中，特别是在探究性活动与建模活动中，教师要重视过程性评价;关注知识技能的范围和难度，设计有利于考查学生思维过程、思维深度和思维广度的开放性试题，设计有利于考查实践能力与创新意识的应用问题和探究性问题，关注数学核心素养的分布与水平。

3.“双新”视野下聚焦课堂教学的“三高”传承与内涵拓展

（1）“三高”教学与“双新”要求的融合

从课程标准和新教材特点可以看出，以“生本理念”为教学意识，通过“重视过程”的教学和评价，着力数学核心素养的提升，落实“立德树人”根本任务，正是“双新”所指明的教学方向。上海中学在“双新”视野下，推进“高立意、高思辨、高互动”教学的发展，在教学中进一步凸显“三高”教学与“双新”要求高度融合，体现在以下几个方面：

第一，“三高”教学关注“人”的发展。“高立意、高思辨、高互动”将激发学生的数学学习兴趣，培养学生良好的思维品质，引导学生感悟数学核心价值。因此可以说，对数学资质较好的学生群体进行“三高”教学，就是“生本理念”的最好体现。

第二，“三高”教学关注层次与方式。“高”是相对的，对数学基础不够好的学生而言，过高的立意、过难的思辨、过频的互动皆是无益的。教师与学生之间需建立良好的教学动态平衡，教师随着学生思维的变化而随时调整教学，因势利导，这正是“重视过程”的体现。

第三，“三高”教学关注课堂生成。“三高”教学追求高阶思维的生成，追求实践能力与创新意识的形成，追求数学核心素养和科学精神的达成。这样的目标决定了“三高”需要落实于每一个单元、每一节课，充分关注教学目标，关注课堂生成。

高立意、高思辨、高互动教学模式相对独立，但又相互作用、相互影响，是打造高效课堂，促进学生高阶思维形成，发展数学核心素养，培育理性精神的驱动器，其中，“高立意”是教学意识，“高思辨”是教学方式，“高互动”是教学呈现。

（2）“三高”教学内涵的拓展

“高立意”内涵要求教师能意识到学习主题或内容在数学学科中的地位与价值，能从系统性与一致性角度指出问题的实质，给出思想、方法层面的引导。注重激发学生的数学学习兴趣，重视数学强潜能学生的早期识别与体系化培育，重视学生在大中学衔接教学中进一步发展核心素养。

“高思辨”内涵要求教师能提出引起学习者高度关注的问题，能引导学生积极参与其中进行自主思考、探究与反思。学生在长期的高思辨学习过程中自觉形成良好的思考习惯或思维意识，指导学习和解决问题。高水平、高质量地深化数学基础知识与基本技能教学，并强化数学思维与数学逻辑运用，使不同能力层次的学生都在不断“试错”的过程中提高自己。

“高互动”内涵要求教师与学生、学生与学生能在高层次问题上互动，通过语言、眼神、动作等进行思维“对话”，发生思维碰撞，激发思维火花，关注情感态度，培育合作精神与团队意识。注重在数学实践与探究过程中的高质量参与和合作，重视数学教学的校本教学指南、发展型课程的系统匹配，重视建立诊断、反馈、提升的数学教学系统。

“三高”教学关注数学思维的立意挖掘与人的视野拓展，关注数学能力的互动提升与人的层次发展，关注数学知识的思辨激活

与人的情感表达。“三高”教学内涵拓展见图1。

二、“双新”视野下高中数学“三高”课堂教学实践

如何在课堂教学中深入贯彻新课程标准与新教材理念，实现“高立意、高思辨、高互动”的教学追求，是课堂教学改革需要深入挖掘的内容。笔者认为，可以从以下几个方面进行探索：

1.高立意：单元、学科内涵与文化的凸显

（1）单元整合视角下的序言课教学

单元序言课教学可以为本单元后继学习确定目标、设计路线、明确方法、提供动力。或者说，单元序言课教学应首先解决为什么学、学什么、如何学的问题，然后再视教学实际进行相关新知识的教学。1

在单元序言课中，教师要构思好本单元的教学逻辑，设计好本单元结构图并进行展示。以新教材必修第一册第2章为例，单元序言课应首先明确为什么要学习“等式与不等式”内容——数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与不等式则是表示相应数量关系的基本工具，在日常生活中也有广泛的应用。学的内容——等式与不等式的性质、不等式的求解、基本不等式及其应用。如何学——通过类比的方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式。可见，单元序言课具有整体性、“统领”性的特点，为学生初步了解本单元结构和内容提供宏观上的指导。

从单元整合角度进行序言课教学，可以培养学生的学科意识、单元意识和自主学习精神。从教学逻辑、学生感兴趣的内容入手，借助计算机多媒体技术，从较高的教学立意上调动学生学习积极性，并做好感情铺垫，以利于上课时学生的全情投入和积极参与。

（2）学科知识背景下的观点揭示

体现“国家标准，上海特色，国际水平”的新教材多次提出了類比的思想。布尔代数的创立者布尔思考“类”的概念：用x代表白的，用y代表绵羊，那么xy就表示白绵羊，用现代的数学术语xy类比成的是交集。再如xx=x这个代数式子经过变形后为x（1-x）=0，从逻辑代数的观点看，体现了这样一个含义：没有任何东西可以同时属于又不属于某个类，这刚好体现了亚里士多德的排中律。教师应鼓励学生进行类比，必要时引导方向或揭示，然后对类比后的数学对象进行研究，提高学生合情推理的能力，激发其创造性。

案例1  已知过点P（4，1）的动直线与椭圆[x24+y22=1]交于不同两点A，B，在线段AB上取点Q，满足|AP|[?]|QB|=|AQ|[?]|PB|，证明：点Q总在某条定直线上。

笔者除使用中学数学的方法（如使用定比分点公式）予以解决外，还指出其蕴含的高等几何背景——调和点列。在高等几何中有如下定义：一点P关于圆锥曲线[Γ]的所有调和共轭点的轨迹为一条直线p，称p为点P（关于[Γ]）的极线，点P称为直线p（关于[Γ]）的极点（简称为极），特别地，圆锥曲线焦点的极线就是与之对应的准线。当P在[Γ]外时，其极线p是从点P所引曲线[Γ]的两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）。2

在新教材中存在大量这样的素材，如函数概念的发展——三种定义，解析几何中换元的实质——图形的变换，函数零点的“二分法”与“牛顿切线法”——现代计算数学的迭代方法，圆锥曲线概念的由来——圆锥截线等，我们揭示其思想观点就是站在更高的角度上指出问题的学科知识背景，引导学生查阅相关资料，进行自主探究。同时也整合了大学与中学的知识，从更大的领域上理顺知识结构。

（3）数学文化的课堂融入

与上海“二期课改”教材相比，新教材更强调数学知识的发生、发展过程，而数学知识生成的过程蕴含着丰富鲜活的方法、思想、精神，即数学文化。例如新教材讲述“指数幂的拓展”时，先从指数为正整数拓展到整数，再到有理数，最后拓展至实数，充分展示了数学发展的过程。笔者在实际教学时强调了这一过程，并讲述了数学发展过程历经的种種困难与挑战，关注数学文化的渗透。

张奠宙教授认为，数学教学“既要讲推理，更要讲道理”1，这些道理中就包括数学文化底蕴，例如，新教材利用赵爽弦图证明等式与不等式以及利用边框对数学家进行介绍等，图文并茂，文化韵味浓厚。在实际教学时，教师可以把数学文化作为对教学内容的有益补充，如在教学“一元二次方程”时，可介绍三次方程求根公式的推理过程、背景，以及当时作为中学生的阿贝尔（N.H.Abel，1802—1829）对五次代数方程求解的探索故事。在教授“对数”内容时，介绍英国数学家纳皮尔（J.Napier，1550—1617）的贡献。在数学求解的过程中，揭示问题背景，如秦九韶公式、杨辉三角、3x+1问题（角谷猜想）、曼哈顿距离等。还可以通过对数学文化试题的讲解，介绍数学在人文艺术、科学技术和实际生活中的应用。通过数学文化的渗透，展现我国和世界丰厚的文化底蕴，拓宽学生视野，增强学生的民族自豪感和文化自信;引导学生学会运用数学知识，成为有社会责任感的新时代公民。

2.高思辨：能力与素养的提升

（1）从错误走向正确，引发共鸣，提升能力

高思辨的教学要求教师充分关注课堂氛围、学生心理与思维特点，于变化中抓住瞬间机会，恰当进行引导与思辨。

案例2  在一次单元测验中有下列问题（记为题1）：

围绕着这个错误解法，笔者设计了以下思辨问题：

思辨1：学生A的解法是否正确？若不正确，在哪里出了问题？

思辨2：题1与题2“函数f（x）对任意实数a，b都满足2f（a）-f（b）=2a-b，求f（x）的解析式”的区别在哪里？

思辨3：题1与题3“函数f（x）对任意实数x都满足2f（x）-f（x-1）=2x-（x-1），求f（x）的解析式”是否有区别？区别在哪里？

思辨4：在学生A的解法中m、n之间存在怎样的关系？你能否通过对自变量x进行赋值，使得m与n对换？对换后如何得出f（x）的解析式？

思辨5：仍以二次函数为背景，能否给出你的设计，使m、n具有与题1不同的对称性，并解决你设计的问题。

思辨1至4实质是为学生理解、解决问题搭建多个阶梯，教师则引导与帮助学生积极思考。整个思维过程需学生自主完成。而教师需抓住学生数学学习中较高层次方面的错误，引导学生进行思辨分析，总结思想方法，能让学生对数学问题的理解提高到新的层次。思辨5可以从中心对称角度来设计问题，帮助学生从理解进一步跃升到迁移、创新。

（2）从直观走向抽象，融合上升，发展素养

数学总是双重的，既是抽象的，又是直观的。抽象体现在它的高度概括性及形式化、符号化特征，直观则反映其概念形成及证明过程未经充分的逻辑演绎论证而外显的本质，是对客观世界的一种唤醒与回归，可以说数学是抽象与直观的结合体。1

以函数性质为例，新教材对函数性质（如幂函数）的介绍先采用了直观描述（“观察图4-1-5所示的幂函数y=xa（a>0）在第一象限的图像，可发现图像由左至右是上升的”），然后用第二句话转换到数学表达（“也就是说，随着自变量x的不断增大，函数值y也不断增大”），最后进行严谨论证（“这是因为……，从而由幂的基本不等式，得……”）的教学模式。后续对指数函数也采用了这样的描述与表达方式，引导教师与学生关注数学概念理解及逻辑推理所需要借助的直观载体，从而为学习带来简单易懂的体验。对数学直观的领悟，能揭示隐藏的抽象关系，识记与洞察数学对象的内在结构。

案例3  根据单调性定义，设计问题：

首先，应画出各种函数图像，检验是否符合条件，从直观上给出判断。

这样，我们先从直观的视角理解了函数F（x）的单调性，然后通过推理得到结论，这是对课程标准要求的理解。从高思辨的要求看，由于图像未必能完全反映函数的性态，上述推理过程借助了在数学中的直观，学生从直观上升到对单调性的抽象认识，其思维经历记忆、理解、分析与评价过程。

通过对函数定义的重新表征，获得解决问题的新设计，形成一个连贯的整体，让学生体验创造的思维过程，发展数学抽象与逻辑推理素养。为使学生思维进入创新阶段，提升数学核心素养的高水平，可进一步设计问题“解决了这个问题后，你能否提出一些新的问题，并解决你提出的一个问题”。要提出新的问题，可以根据新教材提出的“类比”思想，思考函数的其他性质，比如可以从奇偶性、最大值最小值角度考虑，从而培育学生的创新思维。

当然，过于抽象的概念与推理晦涩难懂，不利于教学工作的开展。教师应首先理解抽象问题的本质，然后充分利用语言艺术，通过抽象结论的几何意义诠释、抽象语言的直观表达、抽象推理的直观翻译等途径实现直观化，从而降低数学的抽象性对学生的消极影响。

3.高互动：高阶思维与团队意识的形成

（1）高阶思维层面上的课堂“对话”

数学课堂上的“对话”主要围绕着问题展开，问题是课程标准中体现核心素养的一个重要方面。杜威认为，“问题的性质决定思维的目的，而思维的目的则控制思维的过程” 1，可见，在课堂上，问题决定了思维的过程与深度。传统的问题常常是封闭的、孤立的，较难建立学生思维与其他知识或现实情境的联系，无法有效培养发散思维。在“双新”视野下，教师应联系情境，提出开放性的问题，与学生在高阶思维层面进行“对话”，有效提升学习质量;也应当鼓励学生提出具有上述特点的问题，师生进行课堂“对话”，并将“对话”延伸到课外。

这里的“对话”，强调的是思维层次与高质量。“对话”的合理性、高效性决定了一堂课的质量，决定了学生思维被“激发”的程度。2 教师应多从策略性知识角度，从数学思想和高觀点出发，激发学生思维，发生思维碰撞，擦出思维火花，引起强烈反思，促成高阶思维形成。

案例4  意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”。那么[a21+a22+a23+…+a22021a2021]是斐波那契数列中的第_______项。

笔者在特殊与一般、猜测与发现等高阶思维层面上设计问题，通过如“是否可以将所求式中的下标2021一般化为n”“上述观察只能给出初步的归纳结论，如何做出证明”“还有其他不用求通项的途径吗”等问题，以激励的话语引导学生摒弃不良学习习惯，克服畏难情绪，积极进行猜测探究，形成良好的研究问题的态度和严谨的探究精神。

研究者指出，注重高阶思维教学、关注学习过程的课堂有三个可以观察到的特征：能听到学生在解释、推测、描述模型或交流他们的观点;能听到教师询问学生有关为什么、是什么以及如何做的问题;能观察到学生对如下内容做出选择：使用哪些程序，如何将知识整合到新的、非常规的任务中，监督发展和评估解决策略。3这三个特征正是一线教师在课堂“对话”中需要掌握的原则。

（2）主题活动背景下的互动合作

课程标准指出，数学建模活动与数学探究活动是数学内容的主线之一，这条主线不仅能够帮助学生更好地掌握知识技能，更能帮助学生学会数学地思考和实践，是学生形成和发展数学学科核心素养的有效载体。

以建模活动为例，一个完整的建模活动有较多环节，主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型。针对这么多环节，教师必须采用分工合作、分解任务的方式逐一解决，才能使建模活动行之有效，施之有序。所有的步骤都应体现高互动性，在互动合作中落实建模活动，提升建模素养。通过活动，也可以培养学生的合作意识与团队精神。

案例5  乘出租车去“一大”会址。上海出租车在凌晨5时至当天晚上23时计费如下：起步里程为3km，费用为14元;超过起步里程至15km（含）内，每千米费用为2.5元;超过15km，按超起步里程的单价加50%计单价。低速等候费用为每4分钟收1km超起步里程单价。在假期中你打算乘出租车去“一大”会址。

在这个建模活动过程中，笔者设计了多个步骤，强调互动合作，将建模问题分解细化，便于有效开展活动，具体表现为：

步骤一：明确任务，师生分工。在这个步骤中，教师的职责是设计建模活动任务单，与备课组教师合作，并在学生完成任务的过程中给予指导，学生在完成三个任务的过程中如果遇到困难，可以向教师或同伴寻求帮助，完成后上交任务单。

步骤二：小组合作，讨论改进。学生由于观察问题角度不同，因而提出的模型具有多样性。在这个步骤中，教师与学生一起对模型进行分类，将相同或相似的放在一起，分成若干组，小组互动讨论，教师引导学生对模型进行改进，使之更接近真实，同时也为第三个步骤做好准备。

步骤三：汇报总结，撰写报告。学生进行汇报展示，同组学生进一步讨论汇报细节。教师可以邀请校内外专家、社会人士、家长等参与聆听由学生主导的展示课，教师点评，并对建模活动及时评价，突出活动意义，要求学生完成相应的成果报告，针对个体在小组活动中的作用注重多元评价，存入学生个人学习档案。

“双新”实施已在全国各地呈全面铺开之势，高中数学教育改革新的要求随之而来。教师应立足教材，理解教材，以学生发展为本，把握好数学的学术形态与教育形态。以课程标准的理念作为行动目标，关注体现核心素养的四个方面，通过高立意、高思辨、高互动的“三高”教学，实现国家课程目标与数学核心素养的可视化、可操作、可评价，切实提高学生的“四能”，使学生达到会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界的“三会”目标，落实“立德树人”根本任务，培养社会主义的建设者与接班人。